2018版高中数学第一章三角函数导学案新必修4

1、与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式I=1a|r和扇形面积公式S=122la|r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题例 1 已知扇形的圆心为 60,所在圆的半径为 10,求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形 面积Ar解 设弧长为I，弓形面积为S弓，贝U a= 60=-3,r= 10,所以I=ar= ，所以S弓评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解第一章三角函数多思多想q

2、i 例说弧度制中的扇形问题例 2 扇形的半径为 R,其圆心角a(0V aW n)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少?解如图，设内切圆半径为则（Rr）sin =r,所以FSin r=-1+ sin 则内切圆的面积S=/aRsinna1 + sinnR1+sin sin. asin 因为-1+ sin111+ asin 所以当牙=F2n即a=n时，Smax=-4 .*r2sina =502例 3 已知扇形的周长为 30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为a，半径为r，面积为S，弧长为I，则有I+ 2r= 30,所以I= 301

3、12(152252152r,从而S=厅lr =-(30 2r)r= r+ 15r= r fcm ,所以当半径r=cm 时,22I 2 /42扇形面积最大，为CH?.这时a=-= 2.4r评注本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.针对练习：1. 扇形的周长C一定时，它的圆心角0取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？2. 在扇形AO沖，/AO= 90，弧AB的长为I，求此扇形内切圆的面积.3. 已知扇形AOB勺周长是 6 cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积.C答案

4、1.0= 2 时，扇形面积最大，最大值为23.2 cm .任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考 虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供 同学们参考.、概念不清错解 在角a的终边所在直线y= 2x上取一点P(1 , 2),则r= . 12+ 22=5.yx 21口所以 sina+ cosa=一+一=一+ 一=.rr5 55的终边上任取一点都可以确定角a的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的正解 在直线y= 2x的第一象限部分取一点P(1 , 2)，贝yr= 12+ 22= 5.y x 213,52.S

5、= nr2=128,212n错解剖析42 任意角三角函数问题错解辨析已知角a的终边在直线y= 2x上，求 sina+ cosa的值.剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角a的终边所在直线上取一点与角3所以 sina+ cosa=一+一=-+ =.r r5554在直线y= 2x的第三象限部分取一点F( 12),则r= /, 12+ 22= 5.、y x一 2 一 1所以 Sina+COSa=+=- +-=r乐巫综上，sina+ COSa的值为 乞或乞 V.55、观察代替推理 例 2 当a (0 ,)时，求证：sina0,y0,且x+yr.故 sin0+ cos0 1.而四个选项中只有

6、C 符合要求故选 C.以上列举了三种常见的错误，并给出正确解法同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结 合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用答案 2 点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切 函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论重点深化4 43 同角三角函数关系巧应用一、知一求二型例 1已知 sina2 5nIan，则tan解析由 sina且 sin2a+ cos2a= 1 得 cos=n因为asin

7、 cos -7714点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：将不同名的三角函数化为同名三角函数；用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；由单调性得出各值的大小关系二、重拳出击一一求解最值3n例 2 已知f(x) = . 2sin(2x才),x R 求函数f(x)在区间专,寸上的最小值和最大值nnn解 因为当 2knW2X才W2kn+2(k Z),n3n即kn二xkn(k Z)时，8 8函数f(x) = 2sin(2x -4)单调递增；rnn3n当 2kn + 2x4 2kn +(kZ),3n7n即kn+xcos荷cos10又f(才)=0，f(普)

8、=2，f(苧)=1.3n故函数f(x)在区间n,严上的最大值为、2，最小值为一 1.84点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中 要注意将3x+0看作一个整体利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合11运用、触类旁通一一解不等式n3nn7nn7n可得，当a（2,）时，2acosx成立的x的取值范围是 _ ,I,亠n5n由图知，x（，才）点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单、分类讨论思想例 2 证明：2sina +nncosa nnnsina+nn +sinann =(-1)cosa，n乙证明当n为偶数时，令n=

9、2k,k Z,、 2sin fa+2knCOS (a 2kn )左边sina+ 2kn+ Sina 2kn2sinacosa2sinacosa=cosa.sina +sina2s ina右边=(1)2 cosa= cosa,左边=右边n解当a=g时，不等式成立，当a= 琴时，不等式不成立当a0 ,nn）UC3, 2n时，COSa0,则原不等式可化为tana時，根据正切函数的单调性得,思想方法45 善用数学思想一一巧解题解析在同一坐标系中画出2n）的图象如图答案n5n（匚，）例 3 若 OWa 2n ,sina,求a的取值范围y= sin12当n为奇数时，令n= 2k 1,k Z,2sina+2

10、kn nCOSa2kn+ nsina +2kn n +sina2kn +n-ncosa + n n +sin |a +n2sina cosasina + sina2sinacosa=COsa2sina右边=(I)? COsa= COsa,左边=右边2sina +nncosa nnn亠、综上所述，=(1) cosa,n Z 成立.sin( a+nn +sin( a nn )点评解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kn a(k Z)的形式，往往对参数k进行讨论常见的一些关于参数k的结论有 sin(kn+kkk+1a)=(1) sina(kZ)；cos(kn + a)=

11、(1) COSa(kZ)；sin(kn a)=(1) sina(kZ);COs(kn a)=(1) COsa(kZ)等.三、函数与方程的思想例 3 函数f(x) = Q3cosx sin2x(-6xw才)的最大值是 _.解析f(x) = 3cosx sin2x= cos2x+ 3cosx 1/V327=(cosx +亍)4,设 cosx=t，因为 6wxw，所以由余弦函数的单调性可知，2wcosx三三 3，即2wtW，又函数f(t) = (t+-23)2 7 在【1,上单调递增，故f(t)max=f(f) = 5，所以f(x)的最大5答案 4 点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函

12、数求解最大值四、转化与化归思想13n一17n例 4 比较 tan(厂)与 tan( )的大小.左边=2sinasina1313nn17n2n解 tan( ) = tan , tan( ) = tan445514因为 0 ，且y=tanx在(0 ,)内单调递增，所以 tan 45224542n-tanV，加13n17n即 tan( )tan().45点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”要能够灵活地运用性质，必须在

13、脑海中能及时地浮现出三角函数的图象下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会一、定义域例 1 函数y= 寸 cosx舟的定义域为_ .1解析由题意得 cosx2，nn所以2knxW2kn+n，kZ.nn即函数的定义域是2kn石,2kn+三,k乙33答案2kn3， 2kn+ 才,k Z点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或 者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例 2 函数y= cos(x+nn) ,x (0 ,勺的值域是_,nnn2解析 因为 0 xW，所以nnx+亍三 3n,由f(x) = cosx的图象如图可知：思路点拨4 46 三

14、角函数的性质总盘点152nnRri11cos gnWcos(x+3)cos ，即一-yq.1 1故函数的值域是-,-).1 1 答案-,-)点评 解本题的关键是从x的范围入手，先求得3x+ $的范围，再结合余弦函数的图象对 应得出 cos(3x+ $ )的范围，从而可得函数的值域或者最值.三、单调性冗例 3 已知函数f(x) = sin( 2x)，求：(1)函数f(x)的单调递减区间；函数f(x)在n, 0上的单调递减区间n%解 由f(x) = sin( 2x)可化为f(x) = sin(2x牙),所以原函数的递减区间即为函数y33n=sin(2x石)的递增区间3nnn(1) 令 2kn W2

15、X32kn + ,kZ,n5n解得kn 12x0,然后把3x+$看做一个整体，根据y= sinx的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区 间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间16四、周期性与对称性17例 4 已知函数f(x) = sin(23x专)(co 0)的最小正周期为n,则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是()2nn解析 由T=n= 得o= 1，所以f(x) = sin(2x),2o3n n由 2x3= +kn ,kZ,5nkn解得f(x)的对称轴方程为x=2 +_,k Z,5n所以X=刁 2 为f(x)的一条对称轴，故选 C.答案

16、 C点评解本题的关键是先由周期公式求得3的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征一一对应的函数值为函数的最值解决同样地，求解对称中心也有两种方法五、奇偶性例 5 若函数f(x) = sin(0 , 2n)是偶函数，则$等于()解析 因为函数是偶函数，所以函数关于x= 0 对称;由严= +kn可得函数的对称轴方程是x=2+ 3kn $ ,k Z,令+ 3kn $ =3n0，解得 $ = + 3kn,k Z,3n又$ 0 , 2n)，故 $.答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数？函数图象关于y轴对称；奇函 数？函数图

17、象关于原点对称.7 数形结合百般好，形象直观烦琐少构建正弦、余弦函数图象解题八nInA=悝B.X =6 C.X=5n72D.7tx3A. i B.2nC.号D.18正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的19答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解、确定零点个数2.答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象， 借助于图象直观、准确求解.三、确定参数的值 例 3 已知f(x) = sin(3x+n3)(30) ,f咁 =f诗且 D 在区间亡,nn上有最小值,最大值性质， 而且它还有着广泛的应用

18、， 若能根据问题的题设特点灵活构造图象， 往往能直观、 准 确、快速解题一、确定函数的值域例 1 定义运算b为b= b.的值域为(A. 1, 1C. 1,D. 1，解析 根据题设中的新定义，得f(x)=sinx, sinxcosx,在一个周期内的图象，如图可知函数f(x)的值域为 II 1 ,例 2解析由图象可观察出交点个数为20解析Tf(x) = sini 3 x+-3 (w0)且f j6 =f 3 ,又f(x)在区间 ,内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示，n n-|-63nf(x)在2=4处取得最小值nnn . f3+3=2kng(kZ).103 =8k-3(kZ).3点评 本题考查对y=Asin(3x+)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点:图可以帮助解题 四、判断函数单调性例 4 设函数f(x) = jsin 卜 +亍! (x R)，则f(x)(30,.当103143；当k= 2 时,14亍答案14亍n是f(x)在 7 处取得最小值；二是在区间