数字信号处理_8

1、)(txdtetxXtxtj)()j ()(tx(t)0X(j)0图图1 连续非周期信号及其频谱连续非周期信号及其频谱 )(txTTtnTTdtetxTnXtx0j0)(1)()(t0)(tTxT-TX(n0)0图图2 连续周期信号及其频谱连续周期信号及其频谱 kxkkekxeXkxjj)(kxk0X(ej)0.22图图3 离散非周期信号及其频谱离散非周期信号及其频谱 kx102jNkmkNekxmXkx0kxkN-N图图4 离散周期信号及其频谱离散周期信号及其频谱 mmX0N-N.tx(t)0X(j)0t0)(txkxk00kxkX(ej)0.22mmX0N-N.X(n0)0deXtxt j

2、)j (21)(dtetxXt j)()j (0( )cosx tt00(j )+-X tt0cos1A( )0tx tt22 sin(j )=2AXA Sa1 0( )sgn( )0 01 0tx tttt2/2/)(02()jX jdtetxXtxtj)()j()(TtnTTdtetxTnXtx0j0)(1)()(kkekxeXkxjj)(102jNkmkNekxmXkx有限长序列有限长序列 的傅立叶变换的傅立叶变换DFTkxN102jNkmkNNNNekxmXkx0 xkkN-1NmmX0N-1N 利用信号傅立叶变换具有的信号利用信号傅立叶变换具有的信号与与之间的对应关系，建立信号的之间

3、的对应关系，建立信号的DFT与四种信与四种信号频谱之间的关系。号频谱之间的关系。)(tx抽样抽样离散化离散化kx周期化周期化kx)(jXmmA)(jeX22TA假设连续信号持续时间有限，频带有限假设连续信号持续时间有限，频带有限mNmXTAmNmXTANmXTADFT的应用的应用截取截取抽样抽样( )sx t ( )trsxt周期延拓周期延拓( )sx t x k周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期 ()trjsXe()()sjXjX e卷积卷积 X m X m周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓ssT2抽样抽样0sTNTFTDTFTDTFTDFSDFT信号的频谱分析：计算信号

4、的傅里叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换1). 已知：已知：x(t)信号的最高频率信号的最高频率fm、抽样频率、抽样频率fsam和和DFT的有限的有限长度长度N。(书77例2-6)2). x(t)信号抽取信号抽取(采样采样)、截断、截断(加窗加窗/卷积卷积)和延拓和延拓(周期展开周期展开)()()jXjX e2=s a mTT；2=0,1,1m mNN；NXmX m()jNX eXm()()jXjX e2=s a mTT；()jNX eXm2=0,1,1m mNN；NXmX m0,20,1,1Nm-,m ,0,2 m-,0,20,1,1mN 2=s a mTT；2=0,1,1m mNN

5、；0,) 0,1,1 ;(01)22NNmm=,0,1,12samNm mNm-,0,20,1,1mN 2=s a mTT；2=0,1,1m mNN；,2) ,+1,1 ;(1)222NNNmNmN=-,+1,-122samsamNNmmNN已知语音信号已知语音信号x(t)的最高频率的最高频率fm=3.4kHz,用用fsam=8kHz对对x(t)进行抽样。若抽样信号作进行抽样。若抽样信号作N=1600点的点的DFT,试确定试确定Xm中中m=600和和m=1200点所对应原连续信号的连续频谱点点所对应原连续信号的连续频谱点f1和和f2。18=600kHz=3kHz1600samffmN当当m=6

6、00时，满足时，满足0 m 799,按按(书77)公式(2-61),可得到：28=-1200 1600 kHz=-2kHz1600samffm NN当当m=1200时，满足时，满足800 m 1199,按按(书77)公式(2-62),可得到：220,1,1,1NNX mXXXXX N222,1,1,0,11NNNX mXXX NXXX=-+,0,1,2,12samsammmNN-1+1220,1,1NNX mXXXXX N-1+1220,1,1NNX mXXXXX N= ,0,1,2,1mN？ )(txmXkx22)(jeXN022)(jeX0TAm)j (X0AmmmX01N)(txkxN

7、)(tx22)(jeX0mmX01N)(txkxmX )(txkxN)j (X0A22)(jeX022)(jeXN0mmX01Nkx)(txmX)j (X0A0A22)(j0eX)j (X0A0mm)(tx)2(1j (1)( j (1)(samnTXTnXTeXnnj)(0tx0kxmX)()()(jjjeWeXeXNNkwkxkxkxNNmX其中：其中：凯塞窗凯塞窗布拉克曼窗布拉克曼窗哈明窗哈明窗汉宁窗汉宁窗矩形窗矩形窗 kwN频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号 xk限制在一定的时间间隔内，也就是说，在时域对信号进行截短操作。或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，

8、时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏。改善方法： 1）增加xk长度2）缓慢截短其它 001Nkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51010203040其它 001Nkkw)(jeWNNN2N4N2主 瓣旁 瓣旁 瓣021jj)2/sin()2/sin(DTFT)(NNNeNkReWN/4N/2w其它 001Nkkw 主瓣在主瓣在 =0处有一个峰值，表示其主要是由处有一个峰值，表示其主要是由组成。由于矩形窗函数在其两个端点的组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多突然截断，使得频谱中存在许多。32)2/3(1)2

9、/3sin()2/3sin()()(0 j/3 jNNNNeWeWNdB46.13)()(log200 j/3 j10eWeWAN为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，现分析一无穷长的余弦信号的频谱。现分析一无穷长的余弦信号的频谱。 tttx),cos()(0)()()j(00XkkkTkx),cos()cos(00)()()(0202jeXkx)(txkxNmXkwkxkxNN)()(5 . 0)(00jNNNWWeXkx)(txkxNmX)j(X000()()j(32X000频率泄漏)j(64X000频 率 泄 漏已知一连续信号为已知一连续信号

10、为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf)/2cos()/2cos()(sam2sam1fkffkftxkxkTt12fffsam222fffTN30/samffNN2w矩形窗矩形窗已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。

11、其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30; %数据的长度数据的长度L=512; %DFT的点数的点数f1=100; f2=120;fs=600; %抽样频率抽样频率T=1/fs; %抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);hd=plot(w,ab

12、s(F);ylabel(幅度谱幅度谱)已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-10001002003000246810幅度谱频率(Hz)信号样点数信号样点数N=30信号样点数信号样点数N=20加矩形窗加矩形窗其他 00)/2cos(

13、5 . 05 . 0NkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520其他 00)/2cos(46. 054. 0NkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520其他 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0NkNkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51051015NkINkIkw0 ,)()/21 (1(0200510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520窗函数类

14、型窗函数类型主瓣宽度主瓣宽度旁瓣峰值衰耗旁瓣峰值衰耗(dB)矩形矩形4 / N-13Hanning8 / N-31Hamming8 / N-41Blackman12 / N-57Kaiser（ ）10 / N-5786. 5 已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。 )2cos(15.0)2cos()(21tftftxHz1001fHz1502f600samf利用利用Hamming窗窗计算有限长余弦信号频谱计算有限长余弦信号频谱N=50; %数据的长度数据的长度L=512; %DFT的点数的点

15、数f1=100;f2=150;fs=600; %抽样频率抽样频率T=1/fs; %抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N);f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱幅度谱)已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。 )2cos(15.0)2cos()

16、(21tftftxHz1001fHz1502f600samf-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=501,.,1 , 0 ,| )(2NmeXmXmNjNkxN)(jeXN)Hz(samNffc1 010 LkNNkkxkxNLNLLffc ),Hz(sam用DFT计算频谱时，只是知道为频率f=1

17、/ T0的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期T0，可使f变小来提高辨力，以减少栅栏效应。栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密2 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kxkkkkekxekxkxeXj -30j -jDTFT)()21cos623cos4(23 .j -ekmkkmNNkekxekxmX42j -302j -10j1 , 0 , j1 ,10j1 , 0 , j1 ,10mmeeXmX223 .j -42j)21cos623cos4(

18、)(，m=0,1,2,32 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kxkkkkekxekxkxeXj -701j -11j1DTFT)()21cos623cos4(23 .j -ekkekxj -301，m=0,1,2,7kmkkmkkmNNkekxekxekxmX82j -3082j -7012j -1011j6.52.7 j,1 j0.5,1.3 , 0 j0.5,-1.3 , j1 j6.5,-2.7 ,102 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kx002468102 /32 /2kx|

19、|mX| )(|jeX002468102 /32 /21kx| |1mX| )(|j1eX -300 -200 -100 0 100 200 300 0 10 20 幅度谱 频率(Hz) -300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)N=30, )(jNeXN=30, L=64, = 600/64 cfN=30, L=128, = 600/128 cfN=30, L=256, = 600/256 cf-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)2cos()2cos()(21tftftxk1sTf1ppTf01N-111scpff