第六章 IIR数字滤波器

1、第6章 无限冲激响应(IIR） 滤波器设计6.1 滤波器的基本概念；6.2 模拟低通滤波器设计；6.3 冲激响应不变法；6.4 双线性Z变换法；6.5 数字高通、带通及带阻滤波器设计；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通过系统后使输出中不再含有的频率成分 而使的成分不失真的通过.1. 1. 滤波原理滤波原理6.1 滤波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 有效去除. 分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) 2. 滤波器的分类( )

2、x n( )( )( )x ns nu n加法性噪声( )u n( )s n( )u n每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 转移函数分别为:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪声( )( )* ( )x ns nu n卷积性噪声信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或

3、信号本身。2s11()jH ep21/10通通带带过过度度带带阻阻带带1 1(或或 )3. 滤波器的技术要求低通：绝对指标绝对指标阻带下限截止频率又称通带上限频率通带截止频率:)(:sp分别为通带和阻带的容限12, pRsA0 ppR ssA通带允许的最大衰减；通带允许的最大衰减；阻带内应达到的最小衰减阻带内应达到的最小衰减| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH单位 (dB)若幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半功率点）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pj

4、pjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减带通： 为带宽。p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减slsh13slsh带阻：p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减slsh1. 给定所设计的滤波器的技术指标：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 设计出一个 ，使( )H z()jH e满足给定的技术要求没有考虑相位,( ):ppssG s给定模拟低通滤波器的技术指标设计低通滤波器NNNNNNNNscscsccsdsdsd

5、dsG 11101110)(210lg |()|,.pspsG j使其对数幅频响应在处分别达到的要求6.2 模拟低通滤波器的设计一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定义衰减函数22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面两式将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系了起来。注意，由于衰减指标只有两个，因此也只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系。 我们的目的是由幅平方特性 求出模拟滤波器的转移函数 ，如何将二者联系起来( )G s2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G

6、sG s GsG j 因为2|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于衰减指标只有两个，只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系，因此，幅平方特性的表达式必须简化。2| )(|jG将 按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的 表达式：( )G s1. 巴特沃兹(Butterworth)滤波器NcG2211)j (称为截止频率，称为截止频率，N N称为滤波器阶数。称为滤波器阶数。c2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器2221|() |1()npG jC1( )cos( cos ( ) nCxnx其中其中222221|()|()1(/)nsnsG jCC

7、3. 切比雪夫II型滤波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函数本课程只讨论 Butterworth 和 Chebyshev-I 滤波器的设计（二者都是全极点型）4. 椭圆滤波器NcG2211)j (由由有有221( )10lg10lg|()|()|G jG j 二、Butterworth滤波器的设计 1. 确定确定截止频率截止频率 和滤波器阶数和滤波器阶数 N N：c()/10210|()|G j, 11010/ )(2Nc分别将分别将 ， 代入代入ps得：得：2/10101 pNpc2/10/10101101psNps两式的比为两式的比为2/10101 sNs

8、c(i)(ii)/10/10lg(101)/(101)2lg(/)pspsN(6.1)则则可以是以下区间的任意数值可以是以下区间的任意数值c1/102(101) pNcp ) 110() 110(2110/2110/NscNpsp由式由式(i), (ii)可分别得到可分别得到1/102(101) sNcs (6.2)2. 确定( )G s求极点：令求极点：令 则有则有22222/ j(j)1( ) ()(j)(j)1jNcNNNsccG s GsGss22(j)0NNcs121j()2221(j)e , (1,2,2)kNNkccskN 或写成或写成21j()2e , (0,1,21)kNNk

9、cpkN 21exp2kckNpjN Nk2 , 2 , 1 ccc即 2N 个极点均匀分布在 s 平面半径为的圆上，取左半平面的 N 个赋予 ，右半平面的 N 个赋予 ( )G s()GsNk, 2 , 1 对对 有：有：kNkpp Nk, 2 , 1 21exp2kckNpjN 所求的传递函数为所求的传递函数为1( )()NcNkkGssp在虚轴上和右半平面内无极点，因果稳定。在虚轴上和右半平面内无极点，因果稳定。( )G s(6.4)注意注意:（1）将成对共轭极点对应的两个因子相乘，）将成对共轭极点对应的两个因子相乘， 可将传递函数化成实系数二阶网络级联结构可将传递函数化成实系数二阶网络

10、级联结构. （2）指标）指标 ， 的单位是：弧度的单位是：弧度/秒；秒； 若给定频率（若给定频率（Hz）指标）指标 ， 利用公式利用公式 化成角频率。化成角频率。(6.3)pspfsf2f 20, |()|1,(0)0,0G j (1). 当时即在处无衰减;3.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:222|()|,( ), |()|,|()|G jNG jG j(3). 单调减小单调增加越大减小的越慢 即在通带内越平；c1(j)0.707,2G , 5 . 021)j (2G（2 2）. .当当 时，时，22( )10lg|()|10lg1NcG j ()10lg23dB, cN22(5).|()|0

11、,1G jN 在处对的一阶 二阶 直至阶导数皆为零.c2)j ( G（4 4）. .当当 时，时， 单调减少，衰单调减少，衰减速度比通带快，减速度比通带快，N N越大，衰减越快。越大，衰减越快。例8.1(P292)例8.3 (p296) 给定 如下技术指标，设计模拟低通 Butterworth滤波器习题P8.1 (P365)切比雪夫多项式：当1coscos( )cos()nxxCxn2221|() |1()npG jC三、切比雪夫I型模拟低通滤波器设计1( )cos( cos ( ) nCxnx 1px 令：令：11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )( )cos(1

12、)cos()cos( )sin()sin( )nnCxnnnCxnnn11( )2( )( )nnnCxxCxCx两式相加得递推公式：两式相加得递推公式：由定义可知：由定义可知：01( )1 , ( )CxC xx由递推公式知由递推公式知 确是确是 的多项式。的多项式。 ( )nCxx012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CxC xxCxxC xCxxC xxCxC xxxCxxC xCxxx首项系数是12n(1)1nC由定义有由定义有,1. 将频率归一化 得归一化的幅平方特性 即)(11|

13、 )(|222nCjG设计步骤：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n注意：1 p1/102(101)p因此： 时，切比雪夫多项式要重新定义，采用双曲函数：求n要利用另外的条件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必须不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee )(coshcosh()(1xnxCn其中其中在这种定义下得到的仍为多项式且与在这种定义下得到的仍为多项式且与 有相同形有相同形式式 。 1 x将 代入得到注意到注意到 则有则有)(1lg(10)(22nC1s110)(10/22ssnC210

14、/10/210/121110110110)(cosh(coshdnpsss即即kss1 p其中其中d，k分别为定义过的判别因子和选择性因子。分别为定义过的判别因子和选择性因子。)1(cosh)1(cosh11kdn3. 确定确定( )G s求根求根2/ j221( ) ()(j )1()jsnpG s GsGsC221( )0jnqCp qs其中其中1( j )jnCq 11cos cos ( j )jnq 令令)1(sinh112n112cos (), jqj可得可得,2) 12(1nk1ln)(sinh21xxx注注：12cosh ( )ln1xxx22(21)sinsinh()2(21)

15、coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( ),1,2,knpG sGsG skn此式求出的个极点一半属于一半属于把左半平面的极点赋于即nk2 , 2 , 1 最后导出：切比雪夫滤波器的极点分布 反映了实际频率最后得到转移函数为最后得到转移函数为：pp1p1( )2()nnnkkG ssp思考题思考题：以例8.5为例按上述关键步骤编写Matlab程序求切比雪夫I型低通滤波器的传递函数。6.3 6.3 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR DFIIR DF,psps ,psps( )H s( )H z)(f)(zfs 频率变换频率变换复平面映射复平面映射模拟低通设计模拟低

16、通设计数字滤波器设计步骤数字滤波器设计步骤:由由s平面到平面到z平面：平面：时域：时域：)(tx复频域：复频域： dtetxsXst)()(jsf2双边Laplace 变换 s 平面j0( )( )()snx nx ttnT() ()ssnx nTtnT对离散信号做拉普拉斯变换 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：ssTseznsnTszXsXenTxnxL)()()()(即：即：这是抽样信号的L变换与z-变换之间的关系。而z平面与 s平面之间的映射关系为ssTez 映射关系讨论：映射关系讨论：

17、令令则由则由 （为方便可以用（为方便可以用T代替代替T s）有）有je , jrzsssTez 1, 01, 01, 0rrrTrrTTTeeeejjZkTTkTsT,eee)2j(由指数函数的周期性有ssTez )(s)(zj1T/T/T/3T/3s平面每一条宽度为平面每一条宽度为 的左半带形区域都重叠映的左半带形区域都重叠映射到射到z平面的单位圆内。非带限信号会产生频率混叠。平面的单位圆内。非带限信号会产生频率混叠。T/2,psps ,.ps.,不变ps利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器( ),( )G pG s( )H z获得数字滤波器H(z)最直接的方法可以如下：sT 利用：1,ln

18、ssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但这样做， 将不再是 的有理多项式，给极零分析带来困难。( )H zz0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：冲激响应不变法模拟滤波器的冲激响应数字滤波器的单位抽样响应assG1)(若 则其拉氏逆变换为atetg)(110011)()()(zezeznThzHssaTnnaTnnssanTsenTh)(在因果稳定的前提下就有22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTzezH22)cos(2)sin()(注：用欧拉公式将正弦函数换成指数函数再求和。( ),( )( ),

19、G sG sH z总可由一阶和二阶系统并联或级联而成故由上面两式可实现由到的转换 该转换所遵循的基本关系仍是ssTez (1),.spspsT 利用将转换为.,不变ps).()2(sG设计低通模拟滤波器).()() 3(zHsG转换为将|()|()|,jH eG j相对于有较大失真 这是因为抽样频率过小时，易产生混迭。此外，该方法对高通、带阻滤波器不适用。线性转换关系3111342)(2sssssG例6.3 设模拟滤波器的系统函数为sssssssTTTTTTTezeezeezezezzH423131311)(1)(1111)(试用冲击响应不变法,设计IIR数字滤波器.解:G(s)有两个一级极点s1= -1,s2= -3, 故所求数字滤波器的系统函数为6.4 用分式线性映射