朱磊5.5__直线与圆的位置关系(2)-----切线的判定与性质2

1、 在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cmBCA43分析：分析：要了解要了解AB与与 C的位置的位置关系，只要知道圆心关系，只要知道圆心C到到AB的的距离距离d与与r的关系已知的关系已知r，只需求，只需求出出C到到AB的距离的距离d。怎样求？怎样求？图上图上有没有？有没有？ 朝花夕拾D如何作出？如何作出？赣榆县黑林中学 朱磊 1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系在图（在图（1 1）、图（）、图（2 2）、图（）、图（3 3）中的直线）中的直线L L与圆与圆OO是

2、是什么位置关系？什么位置关系？一、复习、发现问题一、复习、发现问题llOl图（1）图（2）图（3）2 2、观察、提出问题、分析问题、观察、提出问题、分析问题 图（图（2 2）中直线）中直线L L是是圆圆OO的切线，你是怎样判断的？的切线，你是怎样判断的？（1 1）定义法：）定义法：直线与圆有唯一公共点直线与圆有唯一公共点（2 2）d d与与r r关系：关系：圆心到直线的距离等于圆的半径圆心到直线的距离等于圆的半径切线判定有以下两种方法切线判定有以下两种方法: : 1. 1.利用切线的定义利用切线的定义: :与圆有唯一公共点的直线是圆的与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。切线。 2. 2.利用利用

3、d d与与r r的关系作判断的关系作判断: :当当d dr r时直线是圆的切线。时直线是圆的切线。 3. 3.A AO O结论：直线结论：直线CDCD就是就是OO的切线的切线C CDD在作图的过程中发现在作图的过程中发现: : OA=r OA=r OA=d OA=d 即即d=rd=r 请按照下述步骤画图：请按照下述步骤画图：如图如图, ,在在OO上任取一点上任取一点A,A,连结连结OA,OA,过点过点A A作直线作直线CDOACDOA。（见。（见P P9191. .活动一）活动一） 思考以下问题：思考以下问题：（1 1）圆心）圆心O O到直线到直线CDCD的距离与圆的半径有什么关系？的距离与圆

4、的半径有什么关系？ （2 2）直线）直线CDCD与与OO有什么位置关系？有什么位置关系？探究一探究一: :一、探索一、探索切线切线判定判定直线直线CDCD的特征的特征: :(1)(1)经过半径的外端经过半径的外端(2)(2)与半径垂直与半径垂直结论：直线结论：直线CDCD就是就是OO的切线的切线探究一探究一: :A AO OC CDD经过经过半半（直直）径）径的外端的外端并且并且垂直于这条半径垂直于这条半径的直线是的直线是圆的切线。圆的切线。一、切线的判定定理一、切线的判定定理 OA OA是半径，是半径，OAOACDCD于于A A CDCD是是OO的切线。的切线。（两个条件（两个条件切线判定有

5、以下三种方法切线判定有以下三种方法: : 1. 1.利用切线的定义利用切线的定义: :与圆有唯一公共点的直线是与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。圆的切线。 2.2.利用利用d d与与r r的关系作判断的关系作判断: :当当d dr r时直线是圆的时直线是圆的切线。切线。 3.3.利用切线的判定定理利用切线的判定定理: :经过半径的外端并且垂经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直于这条半径的直线是圆的切线。如图如图, ,ABCABC内接于内接于O,ABO,AB是是OO的直的直径径,CAD=ABC.,CAD=ABC.判断直线判断直线ADAD与与OO的位置关的位置关系系, ,并说明理由

6、并说明理由. .DDOOA AB BC CDDOOA AB BC C 如图如图, ,ABCABC内接于内接于O, CAD=ABC.O, CAD=ABC.判断直线判断直线ADAD与与OO的位置关系的位置关系, ,并说明理由并说明理由. .变式变式: :E E注：证明一条直线是圆的切线时，如果这条直线与圆的公共点已确注：证明一条直线是圆的切线时，如果这条直线与圆的公共点已确定，则定，则连结这点和圆心连结这点和圆心，证明，证明直线垂直于经过这点的半径或直径直线垂直于经过这点的半径或直径. .分析：由于分析：由于ABAB过过OO上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明，只要证明 ABO

7、CABOC即可。即可。 证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图) )。 OA OAOB,CAOB,CACB, CB, ABOC( ABOC(三线合一三线合一) ) OC OC是是OO的半径的半径 AB AB是是OO的切线。的切线。 再次强调：证明一条直线是圆的切线时，如果这再次强调：证明一条直线是圆的切线时，如果这条直线与圆的公共点已确定，则条直线与圆的公共点已确定，则连结这点和圆心，连结这点和圆心，证证明明直线直线垂直垂直于经过于经过这点这点的的半径半径或直径或直径. .证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC，ODABODAB ODAB OD

8、AB于点于点D D OE OEODOD OD OD是是OO的半径的半径 OE OE也是半径也是半径 AC AC是是OO的切线。的切线。练习练习1 1与练习与练习2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点和则连结这点和圆心圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：有交点有交点, ,连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2) (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂

9、线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为：无交点无交点, ,作垂直作垂直, ,证半证半径径。 试一试：（试一试：（书本书本P P131131） 如图如图,AB,AB是是OO的直的直径径,B=45,B=45,AB=AC.,AB=AC.判断判断ACAC与与OO的位的位置关系置关系, ,并说明理由并说明理由. .OOB BA AC C二、探索二、探索切线切线性质性质 如图如图, ,直线直线CDCD与与OO相切于点相切于点A,A,直径直径ABAB与直线与直线CDCD有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ?说说你的理由说说你的理由. . 直径直径ABAB垂直于直线垂

10、直于直线CD.CD. 议一议议一议n老师期望老师期望:n圆的对称性已经在你心中落地生根圆的对称性已经在你心中落地生根.n小颖小颖的理由是的理由是: :n右图是轴对称图形右图是轴对称图形,AB,AB是对称轴是对称轴, ,n沿直线沿直线ABAB对折图形时对折图形时,AC,AC与与ADAD重重合合, ,因此因此,BAC=BAD=90,BAC=BAD=90. .CDBOA探索探索切线切线性质性质 小亮小亮的理由是的理由是: :直径直径ABAB与直线与直线CDCD要么垂直要么垂直, ,要么不垂直要么不垂直. . 假设假设ABAB与与CDCD不垂直不垂直, ,过点过点O O作作OMCD,OMCD,垂足为垂

11、足为M,M, 议一议议一议n则则OMOA,OMOA,即圆心即圆心O O到直线到直线CDCD的距离的距离小于小于OO的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与OO相相交交. .这与已知条件这与已知条件“直线直线CDCD与与OO相切相切”相矛盾相矛盾. .CDBOAn所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直. .M二、切线二、切线的性质定理的性质定理 参考小颖和小亮的说理过程参考小颖和小亮的说理过程, ,请你写出这个命题请你写出这个命题 定理定理 圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径. . 议一议议一议n如图如图nCDCD是是OO的切线的切线,A,A是切点是切点, , CDOA.CDO

12、A.CDOA已知直线和圆相切时：常已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。连接切点与圆心。-辅助线辅助线BAOPC例例 题题例例2. PA2. PA、PBPB是是OO的切线，的切线，切点切点分别为分别为A A、B B，C C是是OO上一点，若上一点，若APB=40APB=40，求，求ACBACB的度数的度数. .已知直线和圆相切时：常已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。连接切点与圆心。-辅助线辅助线（2012年连云港、年连云港、3分分）如图，圆周角如图，圆周角BAC55，分别过，分别过B、C两点作两点作 O的切线，两的切线，两切线相交与点切线相交与点P，则，则BPC 在解有关圆的切线问题在解有

13、关圆的切线问题时时, ,常常需要作出过切点的半常常需要作出过切点的半径径. . 添辅添辅 助线：助线：( (遇到切点连半径遇到切点连半径) )1. 1. 判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2. 2. 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（半径垂直于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直） 直线与圆的公共

14、点不确定时，过圆心作直线的垂线段，直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径作垂直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径（遇到切点想到半径遇到切点想到半径）.点点O O是是DPCDPC的角平的角平分线上的一点，分线上的一点，OO与与PDPD相切于相切于A A， 求证：求证：PCPC与与OO相切相切. .DCBAOPE 证明一条直线是圆的切线时证明一条直线是圆的切线时: : 直线与圆直线与圆“无无”交点时，过圆心作直线的垂交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径线，证明垂线段的长等于半径. .G GO OE EB BD DC CF FA A已知：如图已知：如图, ,在在ABCABC中中,AD