c第2章_测量误差

1、2.1 量值和误差的概念量值和误差的概念2. 2 系统误差的产生、发现和消除系统误差的产生、发现和消除2.3 随机误差的统计特性和算术平均值原理随机误差的统计特性和算术平均值原理2. 4 函数误差的基本问题及一般关系函数误差的基本问题及一般关系2.5 有效数字和测量结果的表示有效数字和测量结果的表示第第2 2章章 误差分析及实验数据处理误差分析及实验数据处理第第1节节 量值和误差的概念量值和误差的概念量量是是现象现象、物体和物质物体和物质可以定性区别和定量确定的一种属性。可以定性区别和定量确定的一种属性。由由一个数一个数和合适的和合适的计量单位计量单位表示的量称为表示的量称为量值量值。(1)(

2、1)量和量值量和量值约定真值约定真值：一个量的真值相近似的可供使用的值。：一个量的真值相近似的可供使用的值。(2)(2)真值、约定真值和实际值真值、约定真值和实际值真值真值：理想情况下，表征一个物理量真实的值。：理想情况下，表征一个物理量真实的值。基准值基准值：为了确定：为了确定基准误差基准误差而作为而作为参比基准参比基准的明确规定值。的明确规定值。 基准值是为了便于比较而设定的。如测量范围上限。基准值是为了便于比较而设定的。如测量范围上限。(3)(3)基准值和指示值基准值和指示值指示值指示值：仪表的示值，或量具的标称值。：仪表的示值，或量具的标称值。一、一、量值量值的概念的概念 (1) 任何

3、测量结果与被测量的真值都存在误差。任何测量结果与被测量的真值都存在误差。 (3) 通过研究误差的来源、性质和传递规律，掌握如何通过研究误差的来源、性质和传递规律，掌握如何消消除除、减小减小、固定固定和和估计估计误差对测量结果的影响；误差对测量结果的影响； (2) 任何一个描述和表征测量结果的数据，若不知其可信任何一个描述和表征测量结果的数据，若不知其可信程度如何，则该数据是无价值和意义的。程度如何，则该数据是无价值和意义的。二、误差的概念二、误差的概念 误差理论误差理论：运用：运用数学的方法数学的方法来研究来研究误差的规律误差的规律，认识并运用，认识并运用 其规律，从而得到可靠的、真实反映事物

4、本质的其规律，从而得到可靠的、真实反映事物本质的 相关理论，称之为相关理论，称之为误差理论误差理论。三、误差的表示三、误差的表示绝对误差绝对误差0 xxx相对误差相对误差%100%1000 xxxx 四、误差的分类四、误差的分类1. 系统误差系统误差系统误差的分类系统误差的分类系统误差概念系统误差概念 误差的值保持不变，或遵循一定的规律变化，误差的值保持不变，或遵循一定的规律变化， 这种误差称为系统误差。这种误差称为系统误差。按变化规律按变化规律变值系统误差变值系统误差定值系统误差定值系统误差按误差来源按误差来源人身误差人身误差仪器误差仪器误差环境误差环境误差方法误差方法误差系统误差的发现和处

5、理，一般属于系统误差的发现和处理，一般属于技术上技术上的问题。的问题。粗差：明显超出预期的的误差称为粗差。粗差：明显超出预期的的误差称为粗差。 概念概念 当在同一条件下对同一量进行多次重复测量多次重复测量(即进行一列等精度测量一列等精度测量)时，在极力消除或改正一切明显的系统误差之后，每次测量结果仍会出现一些无规律的随机性的无规律的随机性的变化。将这种随机性的变化归因于随机误差随机误差。 2. 随机误差随机误差 处理方法处理方法 随机误差随机误差服从统计规律。统计规律。随机误差的发现和处理发现和处理，可通过概率论的理论和统计学概率论的理论和统计学的一些方法。 产生原因产生原因 许多小的许多小的

6、、相互独立的相互独立的影响因素导致测量结果对其真值真值的偏离，偏离，即导致了随机误差的存在。3. 粗差粗差粗差产生的原因：实验者的粗心；多次测量时，必然会出现粗差产生的原因：实验者的粗心；多次测量时，必然会出现 较大的随机误差。较大的随机误差。随机误差与系统误差的辨证关系系统误差系统误差准确度准确度(accuracy)随机误差随机误差精密度精密度(precision)综合误差综合误差精确度精确度(correctness)4. 系统误差和随机误差的表征系统误差和随机误差的表征不确定度不确定度(uncertainty)：由各种估计给出的误差绝对值的上界。：由各种估计给出的误差绝对值的上界。. .

7、.M. . .精密度低准确度高精密度高准确度低精确度高第第2节节 系统误差的产生、发现和消除系统误差的产生、发现和消除基本误差：仪表制作的不完善所产生的误差，属于基本误差：仪表制作的不完善所产生的误差，属于系统误差系统误差。附加误差：附加误差：影响量影响量所引起的误差。附加误差与安装、调整、所引起的误差。附加误差与安装、调整、 环境有关。环境有关。理论分析的不完善或近似等因素引起。理论分析的不完善或近似等因素引起。如：引线和接触电阻；热电势；仪表接入后的影响等。如：引线和接触电阻；热电势；仪表接入后的影响等。1. 仪器仪表的误差仪器仪表的误差一、系统误差的产生一、系统误差的产生2.方法及理论误

8、差方法及理论误差 实验者的固有习惯等生理特点所引起的误差。实验者的固有习惯等生理特点所引起的误差。如指针式仪表的读数误差。如指针式仪表的读数误差。3. 人员误差人员误差 讨论仪表接入后，测量仪器对测量结果的影响所讨论仪表接入后，测量仪器对测量结果的影响所产生的系统误差产生的系统误差 指针式一类电工仪表，其指针式一类电工仪表，其机械偏转的能量机械偏转的能量来源于来源于被被测电路测电路。换言之，电表接入前后，被测电路的工作状态。换言之，电表接入前后，被测电路的工作状态是不同的。是不同的。例：如右图，例：如右图，R R1 1=60k=60k ,R,R2 2=40k=40k . . U U=100=1

9、00V V. .用内阻用内阻R Rv v=50k=50k 的电的电 压表测量电阻压表测量电阻R R1 1两端的压降，两端的压降， 试计算测量的相对误差。试计算测量的相对误差。R R2 2 R R1 1U UV VR RV V 而而R R1 1两端压降的实际值两端压降的实际值U UN N=60V=60V，因此，因此，电压表内阻的影响，使得测量结果偏小。电压表内阻的影响，使得测量结果偏小。100VR R2 2 R R1 1U UV VR RV V 40k60kUx50kR R1 1两端压降的测量值两端压降的测量值U UX X为为 解解 V.URRRRRUVVX5440100506040506012

10、1 /%.%.43210060605440 NNXUUUU 1. 用仪器对一已知量进行多次测量，其均值与标准值有差异，用仪器对一已知量进行多次测量，其均值与标准值有差异， 既有系统误差。既有系统误差。二、系统误差的发现二、系统误差的发现通过实验发现系统误差的一些通过实验发现系统误差的一些简单方法简单方法2. 残差残差的大小有规律的变化，说明有系统误差。的大小有规律的变化，说明有系统误差。3. 改变改变测量条件，测量条件，观察测量列残差的变化。观察测量列残差的变化。 三、系统误差的性质、特点及一般处理原则三、系统误差的性质、特点及一般处理原则对于系统误差的处理，一般属于测量技术上的问题。对于系统

11、误差的处理，一般属于测量技术上的问题。 系统误差的处理没有普遍通用的方法。很大程度上取决系统误差的处理没有普遍通用的方法。很大程度上取决于观测者的经验与技巧。于观测者的经验与技巧。系统误差不能依靠概率统计的方法来消除和减弱的。系统误差不能依靠概率统计的方法来消除和减弱的。1. 系统误差的性质、特点系统误差的性质、特点2. 系统误差的一般处理原则系统误差的一般处理原则 测量前测量前尽可能预见到系统误差的来源，并设法消除或减弱之；尽可能预见到系统误差的来源，并设法消除或减弱之； 实际测量中实际测量中，可采用一些有效的测量方法，来消除或减弱，可采用一些有效的测量方法，来消除或减弱系统误差对测量结果的

12、影响；系统误差对测量结果的影响； 数据处理时数据处理时，可设法检查，可设法检查是否存在是否存在变值系统误差；并设法估变值系统误差；并设法估计出残余的系统误差的计出残余的系统误差的数值范围数值范围。 四、消除或减弱系统误差的典型测量技术四、消除或减弱系统误差的典型测量技术 选择一个同种的已知量选择一个同种的已知量(通常为可调的标准量通常为可调的标准量)代代替被测量，并使二者对测量仪器的效应相同的方法。替被测量，并使二者对测量仪器的效应相同的方法。 测量装置只起辨别两者有无差异的作用，测量测量装置只起辨别两者有无差异的作用，测量装置本身的误差不带给测量结果。但它需要有相应装置本身的误差不带给测量结

13、果。但它需要有相应的的灵敏度灵敏度和短时的和短时的稳定性稳定性。例例直流直流电桥电桥被测被测电阻电阻标准标准电阻电阻1.1. 替代法替代法 若若 A-X=0A-X=0，则则 X=AX=A此测量方法称此测量方法称零值法零值法要求要求1.1.标准量可以调整；标准量可以调整；2.2.指零仪有相应的指零仪有相应的 灵敏度。灵敏度。标准标准电压电压被测被测电压电压UnUx+ + +- - -指零仪指零仪例例：零值法测量电压的电路：零值法测量电压的电路当指零仪指零时，当指零仪指零时，Ux=Un 电路的内阻对测量结果电路的内阻对测量结果无影响。测量结果只取决于无影响。测量结果只取决于的的Un准确度、稳定性和

14、指准确度、稳定性和指零仪的灵敏度。零仪的灵敏度。 被测量被测量X X与同种的标与同种的标准量准量A A进行比较进行比较, ,2.2. 零值法零值法 在零值法中，标准量具在零值法中，标准量具A不能完全补偿被测量不能完全补偿被测量X，存在一差值存在一差值a，即，即 A-X=a. 再测量出差值再测量出差值a ，则则X=A+ a 。此法称差值法。此法称差值法。例例 为了测量某标准电池的电势为了测量某标准电池的电势Ex, ,令它与另一标准电池的电势令它与另一标准电池的电势En相比相比较，并用直流电位差计测量其差值较，并用直流电位差计测量其差值 U, ,则则 Ex=En+ U直流直流电位差计电位差计Ex

15、En3.3. 差值法差值法( (微差法微差法) )差值法的误差分析差值法的误差分析aaXaAAaaXaXAXaXAXXaAX aAX A/A为标准量具的相对误差；为标准量具的相对误差； a/a为测量差值的为测量差值的相对误差，且相对误差，且 a/a以以 a/X为倍数影响测量结果。为倍数影响测量结果。X与与A差值越小，测量差值的误差带给测量结果的影响越小。差值越小，测量差值的误差带给测量结果的影响越小。 在两次测量中，第一次令标准器的量值在两次测量中，第一次令标准器的量值N与被测量与被测量x相相加。在加。在N+ x的作用下，仪器给出一个示值；第二次去掉被的作用下，仪器给出一个示值；第二次去掉被测

16、量，并改变标准器的量值为测量，并改变标准器的量值为N，使仪器的示值与第一次使仪器的示值与第一次相同相同。4.4. 补偿法补偿法补偿法补偿法是是替代法替代法的一种特殊形式。的一种特殊形式。于是得到于是得到 x= N- N例例直流直流电桥电桥R RN NR Rx xR RN NR Rx x+R+RN N = = R RN NR Rx x= = R RN N - -R RN N 在最后结果中，标准器的在最后结果中，标准器的系统恒差系统恒差由于相减而被消除掉。由于相减而被消除掉。 在测量时设法获得对称数据，并利用测量数据的对称在测量时设法获得对称数据，并利用测量数据的对称关系进行适当处理，从而消除系统

17、误差的方法。关系进行适当处理，从而消除系统误差的方法。 5.5. 对称观测对称观测法法6.6. 正负误差补偿法正负误差补偿法例：等时距对称观测；例：等时距对称观测；LCLC谐振曲线谐振频率的测量。谐振曲线谐振频率的测量。 在不同的实验条件下进行两次测量，使系统误差对读在不同的实验条件下进行两次测量，使系统误差对读数的影响一次为正、一次为负，则两次读数的平均值可数的影响一次为正、一次为负，则两次读数的平均值可将系统误差消除掉。将系统误差消除掉。如如(1)消除测量环境中恒定直流磁场的影响；消除测量环境中恒定直流磁场的影响； (2)消除电桥热电势的影响。消除电桥热电势的影响。五、系统误差消除的准则五

18、、系统误差消除的准则系统误差不可能完全消除。系统误差不可能完全消除。问题问题：残余系统误差残余系统误差小到什么程度才认为是可以忽略不计忽略不计？ 如果总的残余系统误差的绝对值如果总的残余系统误差的绝对值| x|不超过测量总误差绝对不超过测量总误差绝对值值| x|最后一位有效数字的最后一位有效数字的1/2，按四舍五入原则，按四舍五入原则，| x|可舍掉。可舍掉。系统误差可忽略的准则：系统误差可忽略的准则：若若| x|由两位有效数字表示，则由两位有效数字表示，则 x可略的准则为可略的准则为xxxx 005020010212. 例：设例：设| x|=20，按上式可知，按上式可知| x|1520。t

19、分布检验准则分布检验准则 若测得值若测得值xd比测量列的其它各测得值偏离较大，则假定它比测量列的其它各测得值偏离较大，则假定它为可疑坏值，然后计算不包含的测量列的算术平均值为可疑坏值，然后计算不包含的测量列的算术平均值 和标准和标准偏差偏差x dnnNxx1 22 Nxxdnn ，则，则xd确实为坏值，应与剔除。确实为坏值，应与剔除。 NaKxxd,如果如果xd满足满足其中其中 2111 NNNtNaKa, 1 Nta为为学生分布学生分布的置信系数，的置信系数， 可通过查表得到。可通过查表得到。 NaK, 实际对测量数据处理时，采用何种判据剔除坏值，主要实际对测量数据处理时，采用何种判据剔除坏

20、值，主要取决于测量次数取决于测量次数N：N200时，建议采用莱因达准则；时，建议采用莱因达准则；n=20100时，建议采用肖维涅准则；时，建议采用肖维涅准则；n20时，建议采用时，建议采用t分布检验准则。分布检验准则。 研究研究间接测量间接测量中各被测量误差的合成。这里只讨论中各被测量误差的合成。这里只讨论系统误差系统误差的合成问题。的合成问题。 自变量的误差分别为自变量的误差分别为 1， 2， m，由此所导致的函，由此所导致的函数误差为数误差为 Y，第第4节节 函数误差的基本问题及一般关系函数误差的基本问题及一般关系函数函数mXXXfY,21 mmXXXfYY ,2211一、基本问题一、基本

21、问题正问题：已知各自变量的误差和函数关系，求函数的误差。正问题：已知各自变量的误差和函数关系，求函数的误差。反问题：已知函数关系和函数误差，求各自变量的误差。反问题：已知函数关系和函数误差，求各自变量的误差。第三问题：寻找使函数误差达到最小的条件。第三问题：寻找使函数误差达到最小的条件。二、函数误差的基本关系二、函数误差的基本关系利用多元函数的泰勒公式，并略去二阶以上的高阶无穷小，得利用多元函数的泰勒公式，并略去二阶以上的高阶无穷小，得 Y为函数为函数Y的绝对误差，其相对误差为的绝对误差，其相对误差为imiiXfY1imiiYXfYY1ln三、几种常见的函数误差的综合误差三、几种常见的函数误差

22、的综合误差1. 和差函数的综合误差和差函数的综合误差若若 Y=A1X1+A2X2+.+AmXm则则imiiAY12. 积商函数的综合误差积商函数的综合误差则由则由设设miAiiXkY1imiiYXfYY1ln 得得imiiYAYY 1例例 电阻消耗的功率电阻消耗的功率 P=I2R，若电流和电阻的相对若电流和电阻的相对误差为误差为 I和和 R，则由上式，功率的相对误差为则由上式，功率的相对误差为 P=2 I+ R第第5节节 有效数字和测量结果的表示有效数字和测量结果的表示一、有效数字一、有效数字二、数据舍入规则二、数据舍入规则测量结果的有效数字的位数取决于测量仪表的准确度。测量结果的有效数字的位数取决于测量仪表的准确度。 一个数据，从左边第一个非零的数字至右边含有误差一个数据，从左边第一个非零的数字至右边含有误差的一位为止，中间的所有数字均为有效数字。的一位为止，中间的所有数字均为有效数字。对于误差而言，只要保留一位或最多两位数字即可。对于误差而言，只要保留一位或最多两位数字即可。原则：原则：四舍、六