浅析无理型函数值域的几种常规求法讲义.doc

1、.浅析无理型函数值域的几种常规求法 一观察法:通过对函数定义域及其解析式的分析,从而确定函数值域例1.求函数y=3+值域解:2,函数值域为5,+二单调性法:如果函数在某个区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值例2.求函数y=x-的值域 解:函数的定义域为,函数y=x和函数y=-在上均为单调递增函数,故y=,因此,函数y=x-的值域是(-,三换元法:通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法 例3.求函数y=x+的值域 解:定义域为x ,令t= (t0),则x=于是y=-(t-1)2+1,由t0知函数的值域为-,1本题是通过换元将问题转化为求二次函数值

2、域,但是换元后要注意新元的范围对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数例4. 求函数的值域 解:令,则且,则当,即时,当时,故函数值域为另外对于根号下的是2次的,我们同样可以处理:例5.求函数y=x+的值域解:1-x20,-1x1,设x=cos,0,则y=cos+sin=sin(+),0,+,sin(+)-,1,sin(+)-1,函数y=x+的值域为-1,其次如果有两个根号的话,我们也可以处理:例6. 求函数的值域 解:由,得 令且, 则 由,得, 则,故函数的值域为对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自

3、变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数四配方法 :通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a0)的函数,借助配方法求函数的值域,要注意x的取值范围 例7.求函数y=的值域解:1-x0,且x0, 0x1,又y>0,y2=x+1-x+2=1+2令t=-x2+x=-(x-)2+,0x1,0t,0,y21,2,函数y=的值域为1,五数形结合法:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题 例8.求函数f(x)=-的值域解:f(x)=-=-f(x)表示动点P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差,求f

4、(x)的值域就转化为求P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差的范围问题(如图),|PA|-|PB|AB|(当且仅当PAB共线时取等号),|PA|-|PB|1,即f(x)1,f(x)=-的值域是高中数学无理函数值域的常见求法一形如“”的函数 例1. 求函数的值域 解:令,则且,则当,即时,当时,故函数值域为 说明:此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数二形如“”的函数 例2. 求函数的值域 解:由令且,则 由,得 当时,; 当时, 故函数值域为 说明:这类函数根号内外自变量的次数不同,不适合第一类型的解法又且的函数定义域一定为闭区间,如,则可作三角代换为且,即可化为+k型函数至于且及其他类型,可自己分析一下三形如“”的函数 例3. 求函数的值域 解:由,得 令且, 则 由,得,