中考圆有关的动点几何压轴题

1、次北辰教育最受信赖的教育品牌北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：年级：初三辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期授课时段授课主题中考25题压轴题之涉及圆问题分析教学内容与圆有关的常见辅助线添加方法辅助线秘诀一已知直径或作直径，我们要想到两件事：1;直径上有一个隐藏的中点（圆心）2;利用圆周角定埋构造直角二角形辅助线秘诀二作半径1;连半径，造等腰三角形2;作过切点的半径辅助线秘诀三涉及弦长，弦心距；可造垂径定理的模型，为勾股定理创造条件辅助线秘诀四切线的证明1；后交点：连半径，证垂直2;无交点：作垂直，证半径辅助线秘诀五已知数圆心角度数，要想到同弧所对圆周角度数，反之亦然。辅助线秘诀六出现等弧问题时

2、，我们要想到1;在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等。2;在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角，圆周角也相等。辅助线秘诀七已知三角比或求某个角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，没有作垂直注意；同角或等角的三角比相同辅助线秘诀八圆中出现内接正多边形时；作边心距，抓住一个直角三角形来解决辅助线秘诀九已知两圆相切，常用的辅助线是；1;作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系2;作连心线辅助线秘诀十已知两圆相交，常用的辅助线是；1;作两圆公切弦2;作连心线北辰教育教学部例题讲解成就孩子成就自己定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，三角形面积比值1 （本题满分14分，其中第（1）小题4分，

3、第（2）、（3）小题各5分）1已知：如图，在 Rt ABC中，/C=900, BC=4, tan/CAB=_，点O在边AC上，以点O为圆心的圆 2过A、B两点，点P为AB上一动点.（1）求。（2）联结O的半径；AP并延长，交边CB延长线于点D,设AP=x, BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域;（3）联结bp ,当点p是AB的中点时，求4备用图S rABP勺面积与 ABD勺面积比 3ABp的值.S .ABD成就孩子成就自己北辰教育教学部3定圆结合直角三角形，考察三角形相似，线段与三角形周长的函数关系次北辰教育最受信赖的教育品牌2 (2010?上海)如图，在 RtAABC中，/ACB=

4、90 °.半径为1的圆A与边AB相交于点 D,与边AC相交于点 E, 连接DE并延长，与线段 BC的延长线交于点 P.(1)当/B=30°时，连接 AP,若4AEP与4BDP相似，求 CE的长；(2)若 CE=2, BD=BC ,求/ BPD 的正切值；(3)若tan/BPD= 1,设CE=x, AABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题3.如图，在半径为 5的。中，点A、B在。O上，/ AOB=90 °,点C是弧AB上的一个动点， AC与OB的延 长线相交于点 D,设AC=x , BD=y .（1）求y

5、关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果。Oi与。相交于点A、C,且。O1与。的圆心距为2,当BD=1OB时，求。O1的半径;（3）是否存在点 C,使得DCBsDOC?如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切4 （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半彳空为4的。中，点C是以AB为直径的半圆的中点， ODLAC,垂足为D,点E是射线AB上的任意 点，DF/AB, DF 与 CE 相交于点 F,设 EF = x, DF = y .(1)(2)(3)如图1,当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解

6、析式，并写出函数定义域;如图2,当点F在。上时，求线段DF的长；（第如果以点E为圆心、EF为半径的圆与。相切，求线段 DF的长.成就孩子成就自己北辰教育教学部13动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似5 (14 分)(2014?金山区二模)如图，已知在梯形ABCD43, AD/ BC, AB±BC, AB=4, AD=3 sin /,P是边CD上一点(点 P与点C、D不重合)，以PC为半径的。P与边BC相交于点C和点Q(1)如果BP± CD 求CP的长；(2)如果PA=PB试判断以AB为直径的。与。P的位置关系;(3)联结PQ如果 AD可口 BQ科目似，求 CP的长.动圆结合内

7、切直角三角形，考察相似，两线段函数关系6. 2005中考(本题满分12分，每小题满分各为 4分)在4ABC中，/ ABC = 90° , AB = 4, BC = 3, O是边AC上的一个动点，以点 。为圆心作半圆，与边 AB相切 于点D,交线段 OC于点E,作EPXED,交射线 AB于点P,交射线 CB于点F。（1）如图 8,求证： ADEsaep；（2） 设OA = x, AP = y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（3） 当BF=1时，求线段AP的长.图9 （备用图）动圆结合定圆，考察两线段函数关系，圆相切7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第

8、（3）小题5分）如图1,已知e O的半径长为3,点A是e O上一定点，点 P为e O上不同于点 A的动点。1（1）当tan A =一时，求AP的长；2（2）如果eQ过点P、O ,且点Q在直线 AP上（如图2）,设AP =x , QP =y，求y关于x的函数关系式，并 写出函数的定义域；4（3）在（2）的条件下，当tanAu时（如图3）,存在e M与eO相内切，同时与e Q相外切，且OM 1OQ , 3试求e M的半径的长。（图1）（第25题图）动圆结合定圆，考察两线段函数关系，相似，勾股定理，圆相交和正多边形8.如图交于A、（1）若 解析式;1,已知。的半径长为1, PQ是。的直径，点 M是P

9、Q延长线上一点，以点 M为圆心作圆，与 OO B两点，连接PA并延长，交OM于另外一点C.AB恰好是OO的直径，设OM=x , AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求 y关于x的函数（2）连接 OA、MA、MC,若OALMA,且4OMA与4PMC相似，求 OM的长度和OM的半径长；（3）是否存在OM,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求 OM的长度和OM的半径长;若不存在，试说明理由.动圆结合三角形，考察相似，线段比，圆位置关系9.2006中考25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分） 已知点P在线段AB上，点O在线段

10、AB的延长线上。以点 。为圆心，OP为半径作圆，点 C是圆。上的一点。（1）如图，如果 AP=2PB , PB=BO。求证： CAOsbc。；（2）如果AP=m （m是常数，且 m>1）, BP=1, OP是OA、0B的比例中项。当点 C在圆0上运动时，求 AC:BC的值（结果用含 m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应 m的取值范围。1解：(1)联结OB在 RtABC 中，/C=90°,-1BC =4 , tan/CAB= 一, 2 .AG8.设 OB =x,则 OC =8-x .在 RtOBC 中，CC =9

11、0°,大北辰教育最受信赖的教育品牌-l x2解得2分)1分)= （8-X） +42 x=5 ,即。O的半径为5.15(2)过点O作OHLAD于点H.OH±圆心，且 OHL AD11AH =_AP =_x . 在 RtA AOH 中，可得 OH =1AO2 AH 2即 OH = ,'25x2100 -x2在 AOH和4NC =/OHA,42ACD 中，/HAO =/CAD , AOhb ADCA（1分）（1分）1分）OH AHCD AC.100-x2x2=24 y - 8得y-10031分）X定义域为0 <x <4v15 .1分）（3） P是 AB的中点，

12、AP=BP. AGBO，PO直平分 AB设 NCAB=ct,可求得 ZABO=a, NCOB =2a , /OBC =90 0 2a ,ZAOP =900-口 , /ABD=/APB. .ABM ABID/ABD =900+豆，/APB=2/APO = 90O+ot .1分）. SABL =囹1S.AbdAB/ABP=/D.由 AP=BP可得 /ABP=/PAB . PAB"D .BD =AB =4瓜 即 y =4套.（1分）.8 100 -x22由y =4可得xx= 50105 ,即 AP2SdBP应：2 50 -1075S .Abd ab805 - .582,考点：相似三角形的判

13、定与性质; 专题：几何综合题；压轴题。（1分）（1分）= 50-10v5 .1分）等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。分析：(1)当/B=30°时，ZA=60° ,此时 ADE是等边三角形， 若 AEP与4BDP相似，那么/ EAP土 EPA B=/P=30° ,此时(2)若BD=BC可在RtABC中，由勾股定理求得 BD BC的长;贝U/PEC玄 AED=60 ,由此可证得/ P=Z B=30° ;EP=EA=1即可在 RtAPEC中求得 CE的长；过C作CF/ DP交AB于F,易证得 ADa AFC,成就孩子成就自己北辰教育教学部It北辰教育最

14、受信赖的教育品牌根据得到的比例线段可求出 DF的长；进而可通过证 BCM BPD根据相似三角形的对应边成比例求得 BP、BC 的比例关系，进而求出 BR CP的长；在RtCEP中，根据求得的 CP的长及已知的 CE的长即可得到/ BPD的正切（3）过点D作DQLAC于Q,可用未知数表示出 QE的长，根据/ BPD（即/ EDQ的正切值即可求出 DQW长；在 RtADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得 EQ DQ AQ的长；易证得 ADQ ABC根据得到的 比例线段可求出 BD BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到V、x的函数关系式.解答：解：（1）B=30°

15、 , / ACB=90 ,/ BAC=60 . AD=AE，/AED=60 =Z CEP/ EPC=30 . BDP为等腰三角形. AEP 与 4BDP 相传I,/ EPA=Z DPB=30 , AE=EP=1在 RtECP中，ECEP；22(2)设 BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：(x+1) 2=x2+ (2+1) 2,解之得x=4,即BC=4过点C作CF/ DP. . ADE 与 4AFC 相似，.,即 AF=AC 即 DF=EC=2AC AFBF=DF=2. BFC 与 4BDP 相似，十,即：4tan /区二二二二CF 4 2(3)过D点作DQLAC于点Q.则4DQE与4

16、PCE相似，设 AQ=a 则 QE=1 a. . DQ=3 (1- a). 在RtADQ中，据勾股定理得：ADA&DQ即：12=a2+3 (1 - a) 2,解之得a=l (舍去), a=：. ADQf ABC 相似，成就孩子 成就自己北辰教育教学部17次北辰教育最受信赖的教育品牌3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。 专题：代数几何综合题；分类讨论。分析：（1）过。的圆心作 OH AC垂足为E.通过证明 OD94AOE求得里望,然后将相关线段的长度代入OE AE求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域;（2）当BD=1OB时，根据（1）的函数关系式求得

17、y=|, x=6.分两种情况来解答 OA的值当点O在线段OE上时,QE=O曰OO2;当点 O在线段 EO的延长线上时， QE=OE+OO6;（3）当点C为AB的中点时，/BOC之 AOC二/AOB=45 , / OCA= OCB=：'122，然后由三角形的内角和定理求得/DCB=45 ,由等量代换求得/解答：解：（1）过。O的圆心作DCB=/ BOC根据相似三角形的判定定理 AA证明 DC歆 DOCOE1 AC垂足为E,AE，A同口 oe=/aoZ - AE. /DEO之 AOB=90 ,D=90° / EODh AOE.OD曰 AOE一, . OD=y+5OE AE_5 o

18、r - 1之工 助2，y关于x的函数解析式为:57100- x2 产定义域为：0<x<56. （1分）成就孩子成就自己北辰教育教学部23(2)当BDOB时，尸2，区4万应三2_巴3 y 3 3 xx=6.AEr=3,。%5* - 3,二4当点 O在线段 OE上时，QE=0曰 OO=2，0 a二)口 E + AE*二2号 32R13 , 当点0在线段E0的延长线上时，0E=0E+006, 口川咏帝F二后焉 o O的半径为V1M 3a/5(3)存在，当点 C为标的中点时， DC"ADOC证明如下：当点 C为标的中点时，/ BOC= AOC=Z AOB=45 ,2，18&quo

19、t; 45"又. OA=OC=OB.,.Z OCAWOCB=- - 1 ，/ DCB=180 - / OCA- / OCB=45 .，/ DCBN BOC 又. / D=Z D,. DC歆 DOC存在点 C,使彳# DC"ADOC点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理.此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线 相似三角形的判定定理及性质解答，解答(2)时注意分两种情况讨论，不要漏解.OEL AC,利用4.解：（1）联结 OC AC是0O的弦，ODLAC，OBAD （1 分）1 _ 1. DF/AB . . CF=EF, . . DF=_ AE =-（AO+OE） .

20、（1 分）2 2点C是以AB为直径的半圆的中点， COLAB （1分）. EF=x , AGCG4, . .CE=2x , OE=TcE2 -OC2 =44x2 -16 =2v'x2 4 .（1 分）y =l（4+2Vx2 -4） =2+Vx2 -4,定义域为 x 之2. （1+1 分）211 _(2)当点 F在。0上时，联结 OC OF EF=1CE=OF = 4 ,，OGOB=AB=4.(分) 22 .DF=2+j42 4 =2+273. (1 分)(3)当。E与。O外切于点 B时,BE=FE. /_2_22CE2 -OE2 =CO2 , 22 一 22. (2x)2 (x+4)2

21、 =42, 3x2 8x32 =0,.XL*, X2=4(舍去).331144.7、 14 2.7. DF= (AB +BE) = (8+)=. 2233当。E与OO内切于点 B时，BE=FE. CE2 OE2 =CO2 ,1分）1分）22.22. . (2x)2 (4 x)2 =42, 3x2 8x_32 =0,_ -4 4,7_ -4 -4.7 .、 x _? x? _(iir) 1323，DF=1(AB.BE)(8.-4 4 7)J4-2722331分）1分）当。E与。内切于点 A时，AE=FE. CE2 OE2 =CO2 ,. . (2x)2 (4 x)2 =42, 3x2 +8x32

22、 =0,一x1-44.7，x2-1 DF= AE23217-2手舍去）.1分)1分)5. : (1)作 DHL BC于 H,如图 1, AD/ BC, AEJ± BC, AB=4, AD=3DH=4, BH=3在 RtADHO, sin/DCH图上, DC 5DC=5,CH4nc2 .dh"BC=BH+CH=6 BP, CD/ BPC=90 ,而/ DCH=/ BCP RtA DCHh Rt BCPI -BC FCPC=125(2)作PHAB于E,如图2, PA=PBAE=BEAB=2,2 PE/ AD/ BC, .PE为梯形ABCD勺中位线，PD=PC PE= (AD+B

23、C (3+6)以222PC=BC上,22EA+PC=PE 以AB为直径的。O与OP外切；(3)如图 1,作 PF71 BC于 F,贝U CF=QF设 PC=x,贝U DP=5 x,. PF/ DH . CPD ACDH解得CF旦士 5.生旦，即型,CD CH 5 3,-.CQ=2CF=,5BQ=BC- CQ=6- PQ=PC / PQC土 PCQ AD/ BC, /ADP+Z PCQ=180 ,而/ PQC吆 PQB=180 ,/ ADP=Z PQB当 ADW BQP,AD DP 叩 _I_ 5 -工 =,即 产=,BQ CP 6一且工5整理得 2x2- 25x+50=0,解得 xi£

24、;, X2=10 (舍去)，2经检验x=是原分式方程的解.2当 ADW PQB，生上，即上二二PQ BQ 父6 一旦5整理得 5x2 - 43x+90=0,解得 xi=i-, X2=5 （舍去），5经检验x=要是原分式方程的解.5如果 AD可口 BQP1似，CP的长为里或壁. 2 5图1图225.(1证明：连结ODQAP切半圆于 D, . ODA= PED =90 又 QOD =OE, ODE = OED90 ODE =90 OED. EDA =/PEA,又 Q A "AADE: AEPOD 二 CB OA - ACOD = 3= OD =3x = OE,同理可得：AD = 4 x

25、x 555Q ADE : AEP8APAEy5x464216xy x = y xAEAD8y4y5255x x55(x 0)(3)由题意可知存在三种情况但当E在C点左侧时B F显然大于4所以不合舍去当x A5时AP aAB(如图) 4 延长DO, BE交于H易证.DHE三DJE6.HD =x,Q. PBE =/PDH =90 5:PFB : .PHD1 PB =:PB =2= AP =6612x x55Pi； r j，5 .当x < 2时P点在b点的右侧4延长DO,PE交于点H同理可得 DHE =,'EJDPBF : PDHbp612一x 一x55-BP =2AP =4-2=2次

26、北辰教育最受信赖的教育品牌成就孩子成就自己7.DC BCDC sa= 取 二二点 P 在射线 DH 上，且 ZCDP-Z.tBC, DP 历1 DF BC , 2 分VT 3727244T 3即加二丁或而二m一R尸二或2,也今或pu)J1&历解：(1)作O&L4P于巴:0H过圆心，AP是弦,，APFAH.-在 RtAAOH 中 , ： tan=,OA=3,设 CH=t, AH=2k, 2由 AO： + AT/：得Jt丁 "4口一)3可_上 jTc. .a- h h - vv 一 一 -a w， 一 a; . r一 . m v» « 5廉结PO,联结

27、OQ:QQ 过点尸、3 JPQ=OQj，/QPQ=NQ。巳 ：力过点以乙，PO=ACb，NQPD=/A, .:/QOP=NAj 又£P-/P.QP0sA0PAj -AF AOjc 397 = Tr > PP - = _ f J 1 = ， 0 < 工 W 6OF QO3 yx(3)作FF_U(7于匕联结0P,设的半径长为r = - > .,.ifiPF=4a> A?=3a> a>0, .,.OF=3-3a； 3在 RtAOPF 中，,；OP1 PF-,即9 = (3 3骁y+16房，史7X*竺 2551 &g即工二廿.二。=二?95=18

28、21分1分-2分5二。"同时与®O相内切,与0Q相外切，小。=3一门 QM=一十厂 j =_一,一2: OM_L 口。，在 KtAOAIQ 中，人应工=OM: + OQ',成就孩子成就自己北辰教育教学部27叱+ D(“99-，即0皿的半径长为11112分8.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。次北辰教育最受信赖的教育品牌专题：计算题；证明题。分析：(1)过点M作MNL AC,垂足为N,可得加4二,再根据PML AB,又AB是圆。的直径，可得PNR2北辰教育教学部29在RtAPNM,再利用(2)设圆M的半径为 / PCMIB不可能是直

29、角. 应、点M与点P对应、sm/NPM二型即可求得y关于x的函数解析式；r,利用勾股定理求出 OM根据 OMMAPM(C可彳# PMO直角三角形.然后可得/ CPM 又利用/ AOM=2Pw / P,可得即若A OMA< PMG目似，其对应T只能是点 。与点C对 点A与点M对应.从而求得 OM然后即可求得。M的半径长.(3)假设存在。M使得AR AC恰好是一个正五边形的两条边，连接 OA MA MC AQ设公共弦 AB与直线OM 相交于点 G,由正五边形求得/ AMB /BAG再利用AB是公共弦，OML AB, / AMO=36 ,从而求得/ AOM= AMQ 在求证 MA0 MOA利用相似三角形对应边成比例即可求得.解答：解：(1)过点M作MNL AC,垂足为N, *；二 T 二一，由题意得：PML AB,又AB是圆。的直径,OA=OP=1 ./APO=45 , PA=V2, . PN=V2+-|v，在.pNMK加/如祥,FJIL又 PM=1+x / NPM=45 ,834T 二专1+x2y关于x的函数解析式为 (2)设圆M的半径为r, OAL MA/ OAM=90 ,0M=Vr2+l又. OMAA