平行四边形考点及练习

1、第十九章平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形/弋平行四边形的性质：、AB=CD,AD=BC );AB/CD,AD/BC );/ A=/C, / B=/D);(即：OA=OC , OB=OD);(1):平行四边形 对边相等(即:(2):平行四边形 对边平行(即:(3):平行四边形对角相等(即:(4):平行四边形对角线互相平分判定方法：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)2 . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3 .两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；4 .对角线互相平分 的四边形是平行四边形；5 .两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；考点1特殊的

2、平行四边形的性质与判定1 .矩形的定义、性质与判定(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。(2)矩形的性质：矩形的对角线 ;矩形的四个角都是 角。矩形具有 的一切性质。矩形 是轴对称图形，对称轴有 条，矩形也是中心对称图形，对称中心为 的交点。矩形被对角 线分成了 个等腰三角形。(3)矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是 的四边形是矩形；对角线 的平行四边形是矩形。温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角

3、或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2 .菱形的定义、性质与判定(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)菱形的性质菱形的 都相等；菱形的对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有 条。(3)菱形的面积 1菱形的面积=底*高，菱形的面积=-ab,其中a, b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的2直角三角形。（4）菱形的判定： 都相等的四边形是菱形；对角线 的平行四边形是菱形；有一组邻 边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理

4、需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3.正方形的性质及判定方法（1）正方形的性质：正方形的四个角都是 ,四条边都 ;正方形的两条对角线 ,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的 是正方形；对角线互相 的矩形是正方形；有一个角是直角的 菱形是正方形；对角线 的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定

5、就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。中考热点难点突破BG CD的中点，连接 AE、EF、AF,例1:如图，菱形 ABCN, / B= 60° , AB= 2, E、F分别是则AAEF的周长为（）A. 2料 B . 333 C . 4T3 D . 3例2：如图，把矩形 ABCD沿EF对折后使两部分重合，若A. 110°B , 115°C , 120° D , 130°一、选择题（每题 3分，共30分）D. 5AB = 5, / BCD =)2C.

6、40cm10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚1. （09年河北）如图，在菱形 ABCD中,A. 20B. 15C. 102. （09年广西南宁）如图，将一个长为线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（22A. 10cmB. 20cm3. （09年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O, M、N分别是边 AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是（A. AAOM和 AON都是等边三角形B.四边形 MBON和四边形 MODN都是菱形C.四边形AMON与四边形 ABCD是位似图形如图，在菱形 ABCDFD.四边形 MBCO和四边

7、形NDCO都是等腰梯形第5题图4. （09年杭州）中，/A=110 °, E,分别是边 AB和BC的中点，EPLCD于点P,则/ FPC=（）A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°5.将矩形纸片ABC弦如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB= 3,则BC的长为（）A.7.正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上，且 DM=2 N是AC上一动点，贝U DN+MN勺最小值为（）8.已知等腰梯形 ABCD勺中位线2717D . 10第9题图EF的长为6,腰AB的长为5,则等腰梯形的周长为（A . 11 B . 16 C . 17 D .

8、 22 9.如图， DABCD的周长是28cm, 4ABC的周长是22 cm,则 AC的长为 （D.8 cmB.12 cm11. （09年甘肃庆阳）如图，菱形 ABCD的边长为10cm, DE LAB, DE=6 ,则这个菱形的面积 =cm2.12. （09年南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD / BC , B 60°, AD 4, BC 7则梯形ABCD的周长是13. （09白银市）如图，四边形 ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 .14. （09年济宁市）在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AD = 3cm, AB = 4cm, ZB=60° ,则下底BC

9、的长为 cm .三、解答题（共60分）21.（本题6分）（09肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线 AC与BD相交于 O,ACD 30°, BD 6 .（1）求证： ABD是正三角形；（2）求AC的长（结果可保留根号）22. （09年宜宾）已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过 AB的中点E作AC的垂线EF ,交AD于点M,交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM;（2）若DF=2,求菱形 ABCD的周长.24 .如图：已知在 ABC中，AB AC , D为BC边的中点，过点D作第24题图DE ± AB, DF ± AC ,垂足分别为 E, F .(1)求证：A

10、BEDACFD ;(2)若 A 90°,求证：四边形 DFAE是正方形.25 .（本题8分）（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，/ C=60°, AD/ BC,且AD=DC, E、F分别在 AD、DC的延长线上，且 DE=CF, AF、BE交于点P.（1）求证：AF=BE;（2）请你猜测/ BPF的度数，并证明你的结论.26 .如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD, BD± AD, BC=CD, Z A=60° , CD=2cm.第26题图（1） 求/ CBD的度数；（2）求下底AB的长.27.（本题10分）如图， ABM为直角，点C为线段BA

11、的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点 B重合），FD ；连结AD ,作BE AD ,垂足为E ,连结CE ,过点E作EF CE ,交BD于F .求证：BF28. （2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形 ABC皿正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接求证： AM望 ENB 当M点在何处时，A- CM的值最小；当M点在何处时，A- B- CM的值最小，并说明理由；当AM BM CM的最小彳1为J3 1时，求正方形的边长.1、在平行四边形 ABCD中，过点C的直线CEXAB,垂足为E,若/ EAD

12、=53°,则/ BCE的度数为（）A.53B.37C.47D.1272、（2011江苏省无锡市，21,8)如图，在DABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF0 求证：/ BAE=/CDF.3、（2012浙江省湖州市，20, 8分）已知，如图，在上，且BF =AB ,连接FD交BC于点E。（1）说明ADCEAFBE的理由；CABCD中，点F在AB的延长线(2)若EC=3,求AD的长。4、如图，四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 BD 平分 AC,若 BD=8 , AC=6 , / BOC=120° ,则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号

13、)6cm,射线AG / BC ,点E从点A出发沿射线 AG以1cm/ s的5、(2013河南省)如图，在等边三角形 ABC中，BC速度运动，同时点 F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为 t(s)(1)连接EF ,当EF经过AC边的中点D时，求证：VADE VCDF证明:(2)填空：当为 s时，四边形ACFE是菱形;6、(2013?宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.(1)如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, Z BAD=120 °, /C=75

14、76;, BD平分/ ABC .证：BD是梯形 ABCD的和谐线;(2)四边形 ABCD中，AB=AD=BC , / BAD=90 °, AC是四边形 ABCD的和谐线，求 /BCD的度解答：（3）;AC是四边形ABCD的和谐线，. 4ACD是等腰三角形. AB=AD=BC ，如图 4,当 AD=AC 时，. . AB=AC=BC , ZACD= / ADC AABC 是正三角形，/ BAC= / BCA=60 °, / BAD=90 °,/ CAD=30 °,/ ACD= / ADC=75 °,. / BCD=60 +75 =135 

15、6;.如图 5,当 AD=CD 时，AB=AD=BC=CD , / BAD=90 ，四边形 ABCD 是正方形，. / BCD=90如图6,当AC=CD时，过点 C作CEXAD于E,过点B作BF，CE于F, AC=CD . CEXAD ,. AE=AD , / ACE= / DCE , / BAD= / AEF= / BFE=90 °,，四边形 ABFE 是矩形.BF=AE . / AB=AD=BC , . . BF=BC , ，/BCF=30 °. / AB=BC ,Z ACB= Z BAC . . AB / CE, . . / BAC= / ACE . . / ACB=

16、 / ACE= / BCF=15 °, . . / BCD=15 °X3=45°.【答案】解：. ABE是等边三角形，BA= BE, Z ABE= 60° . / MBN 60° , / MBNb / ABNk / ABE- / ABN.即 / BMA= / NBE.又. MB= NB, .AM望 ENB （SAS .当M点落在BD的中点时，AM CM勺值最小.如图，连接 CE当M点位于BD与CE的交点处时，A- BM CM的值最小. 9分理由如下：连接 MN.由知， AMB2 ENB，AM= EN.,. Z MBN= 60° , MB= NB. BMN等边三角形. . BM