2022年专题十线性规划专题复习教案

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专题八线性规划专题复习考纲研读明白二元一次不等式所表示的平面区域; 明白线性规划的意义, 并会简洁的应用.基础学问梳理1、二元一次不等式表示平面区域1在平面直角坐坐系中, 已知直线AxByC0 , 坐标平面内的点P x0 , y0 如 B AxByC0 , 就点 如 B AxByC0 , 就点Px0 , y0 在直线的上方;Px0 , y0 在直线的下方;如 B0 等于零 , 就比较简洁 . 一般情形下 , 我们可以将一个二元一次不等式化为 AxByC 0 0其中 B0) 的形式 , 就可利用 “ 大于零在上方, 小于零

2、在下方” , 画出相应的区域. “ 直线定界 , 不等式 点 定域 ”2、线性规划的概念(1) 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为 线性规划问题.(2) 满意线性约束条件的解叫可行解 , 由全部可行解组成的集合叫可行域 .(3) 可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解 .3、线性规划的应用用解线性规划解应题的一般步骤(1) 依题意设出变量, 分析并将已知数据列出表格;(2) 确定线性约束条件;(3) 确定线性目标函数;(4) 画出可行域;(5) 利用线性目标函数求出最优解;(6) 依据实际问题的需要, 适当调整最优解 如整数解等 .4. 规律与方法(1)

3、 假如可行域是一个多边形, 那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值. 最优解一般是多边形的某个顶点 , 究竟是那个顶点为最优解, 有两种解定方法:一是将目标函数的直线平行移动, 最先通过或最终通过的一个便是;另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判定.特殊地 , 当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时, 其最优解可能有无组解.(2) 求整点的最优解方法 调整优值法 , 适用于较复杂的问题. 网格法 , 精确作图 , 适用于可行域较小的问题. 逐点验证法 , 可行区域是有限区域且整点个数又较少.三、组型题组教学设计题型题组一线性区域问题yx1y【例 1】1全国卷 在坐标平面上, 不等式

4、组3 x1所表示的平面区域面积A. 2B.【解析】yx32C.13 22D.2yx1yA0, 1等价于y 3x1yx0x或3x10C-0xBD0,-精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -再画线性可行域 如下列图 于是有A0,1,B 1 ,1 , C 1, 2, D0,122S ABCS ADCS ADB32应选 Bx2y22x2 y102不等式组【解析】0x20y2y所表示的平面区域记为D, 就平面区域D 的面积为平面区域D 的面积为:42

5、1012x 关注 ：以解析几何、三角中的曲线作为区域边界的非线性约束条件题型题组二线性规划求最值问题2x3 y122xy4【例 2】已知平面内点P x, y 满意y0, O0,0为坐标原点 . 请完成下各题(1) 如 Q 1,1求目标函数zOP OQ的最大值和最小值.(2) 求目标函数z x2y26 x8 y2021 的最大值和最小值.(3) 求目标函数z3xy3 的最大值和最小值.z(4) 求目标函数2 y63x9的最大值和最小值.(5) 是否存在实数m , 使得有无穷多个P 点, 使得目标函数zxmy 取得最小值, 如存在 , 试求出出m 的取值, 如不存在请说明理由.【直观感觉】目标函数

6、新奇教材中的目标函数的几何意义一般是直线的斜率或截距；这里有“ 以向量为背景” ，有 “ 肯定值目标函数 ” ，有 “ 二次式目标函数” ，有 “ 二元一次商式目标函数” 等，较复杂；【思路方法】关键抓住目标函数它所给予的几何意义，这里要求有较强的转化意识和数形结合才能；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -yA0, 4Bx0C2,【解析】（ 1） zOP OQxyyA0,Bx0C2,易得 zOP OQ的最大值为6，最小值为2（ 2）目标函

7、数是两点间距离公式2z xa2 yb的型z x32 y421983 问题转化为先解决z22 x3 y4的最大值和最小值，它是表示点 x, y 到 D3,4 的距离的平方；25815依点到线的距离公式易求得z 的最小值为13z 的最大值为2021yA0,D3,Bx0C2,（ 3）目标函数是点到线的距离型，也就是目标函数是zAxByC22AB的形式zAxByC 可以变其它变为z AxByC A222ABB2，其几何意义是可行域内的点到直线AxByC0 的yA0, 4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word

8、名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -距离的A 2B 2 倍.求得 z3xy103 的最小值为103 10z3xy3 的最大值为2z4 目标函数是aybcxd 的形式 a, c 均不为0a yb zacxd d ,b a可以将目标函数化为c, 它表示可行区域内的点与点aa的连斜率的c 倍.2y62y3z3x93x3yA0,z2y6140BC2,2x得3x9 的最大值为9 ;最小值为9题型题组三线性规划中的整点问题【例 3】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格 , 每种钢板可同时截得小钢板块数如下表所示:规格类型钢板类型第一种钢板211其次种钢板123A 规格B 规

9、格C规格今需要A,B,C 三种规格成品分别为15,18,27块, 问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品, 且使所用的钢板张数最少.【解析】建模 : 设需截第一种钢板x 张, 其次种钢板y 张2xy15x2 y18x3 y27可得x, yN目标函数zxy . 作可行域如下图,y1B精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -1第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -183957183918 39平行直线zxy可知直线经过A,5xy5, 此时,5但 55A都不是整数, 故5,5不是

10、最优解,那么怎样求最优解呢.方法一 : 平移求解法18 39第一在可行域内打网格 , 其次描出A, 55邻近全部的整点, 接着平移直线l : xy0 , 会发觉移至B3,9,C4,8时 , 直线与原点的距离最近. 即 zxy 的最小值为12.方法二 : 调整优值法z18 39 由非整解最优解A,55得575 , 故 z12令 z12 , 即 y3x92 .x123, xx , 代入线性约束条件整理得4 这时最优整点为3,9和4,8调整优值法思想是先求非整点最优解, 再借助不定方程调整最优解, 最终挑选出来整点最优解.【例 3-2 】设某运输公司 7 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与 4 辆载

11、重量为 10 吨 B 型卡车 , 有 9 名驾驶员 , 在建某高速大路中 , 该公司承包了每天至少搬运 360 吨土方的任务 , 已知每辆卡车每天来回次数是 :A 型卡车为 8 次,B 型卡车为 6 次 . 每辆卡车每天来回的成本费用情形是 :A 型卡车 160 元,B 型卡车 252 元, 试问 ,A 型卡车与 B 型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低 .【解析】设每天出动的A 型卡车为x 辆, 就 0x 7 , 每天出动B 型卡车y 辆 , 就 0y 4 .由于每天出动的驾驶员最多9 名, 就 xy9 .每天要完成搬运任务, 就 48 x60 y360 ,每天公司所花费的成本费用为00

12、z 160xx 7y 4252 yxy9此题就是求满意不等组48 x60 y360且使 z160 x252 y 取得最小值时的非负整数x 与 y 的值 .不等式组表示的平面区域如下列图, 其可行域为四边形ABCD区域 含边界 其顶点是A 5 ,4, B7, 2, C 7, 2, D 5, 425, 结合图形可知, 在四边形区域上, 横坐标和纵坐标都是非负整数的点有:精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -3,4 、 3, 4 、 4, 4 、

13、 5,2 、 5,3EMBEDEquation.DSMT45, 4 、 6, 2 、 6,3 、 7,1、 7, 2 共10 个点 .yDACBx0作直线l :160 x252y0 , 将其向向上的方向平移, 可发觉与上述10 个点中最先接触到的是点5, 2 , 处, 得到的最小值 .zmin160525221304即 A 型卡车和B 型卡车在每天分别出动5 辆和 4 辆时公司成本费用最低.题型题组四线性规划中的综合与交汇xmyn【例 4】1 直线n 值是【解析】l : xmyn n0 过点A4, 43 , 如可行域3xy y00的外接圆直径为1433, 就实数直线 l : xmyn n0 过

14、点A4, 4 3 , 与轴交于Bn,0 , 而直线3xy0 也过点A4, 4 3 . 可行域如图所示 , 现在的问题是解三角形yAB2RAB2RsinA4A, 4O3B143sin 6007依题意得sinAOB,3222Bx再由余弦定理ABOAOB02OAOBcosAOB 得,4964n2即28n12 , 解得 n3 或 n5 ,故实数 n 的值是 3 或 5.f x1 x31 ax22bxc,2 设32, 如当 x0,1 时,f x 取得极大值, 当 x1,2 时,f x 取得微小值 , 就b2a1 的取值范畴是【解析】依题意知: 该问题可转化为的两根分别在和内, 由于'f '

15、; x00,11,2f ' xx2ax2b , 由方f 00'f 10'2b0a2b10b2程根分布学问得f 20问题转化为在线性约束条件yab20下, 求 a1 的取值范畴 .A（-B-P（1，2）0x精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -b求得 a21 的取值范畴为 1 ,143x4 yp :2 xy12080x, yR3 设命题x2 y60命题q : x2y2r 2 x, yR, rR , 如命题q 是命题p

16、的充分非必要条件, 就 r 的最大值是【解析】由简易规律知pq 但 q 推不出p , 由命题关系知图形关系, 三角形ABC区域应在圆外的区域内,半径最大的圆应是与直线rmax125AB : 3x4 y120 相切的圆 . 故 r 最大值应是原点到直线的最大距离, 即为yCBA0x专题八强化训练一、挑选题1、湖北 已知平面区域D, 由以A1,3,B5,2,C3,1为顶点的三角形内部和边界组成, 如在区域上有无穷多个点 x, y 可使目标函数zxmy 取得最小值, 就 m = A. -2B. -1C.1D. 42 北京考题 在直角坐系中xoy , 已知三角形AOB三边所在直线方程分别为解形 AOB

17、内部和边上整点 即横纵坐标均为整数的点 的总数是 A. 95B. 91C.88D. 75x 0, y0, 2x3y30 , 就三二、填空题3.湖南十校联考 给出平面区域如下列图, 目标函数 taxy ,x2 , y4y如当且仅当35 时,B2 42目标函数 taxy 取得最小值 , 就实数 a 的取值范畴是C , 3 5oAx4. 如直线y kx1 与圆 xy2kxmy40 相交于M， N 两点 , 且两点关于直线对称, 就 km 的值精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -kxy10kxmy0为;不等式组y0表示的平面区域的面积为三、解答题x 0y 05. 对 nN, 不等式ynx2n 所表示的平面区域为Dn , 把Dn 内的整点 横坐标和纵坐标均为整数的点按其到原点的距离从近到远排成点列:x1 , y1, x2, y2 , x3, y3 , xn, yn .求 xn , yn ;2111anyn 222 ayyy数列n满意 a1x1 , 且 n2 时,