2019-2020年高中数学《圆的标准方程》教案11新人教A版必修2

1、2019-2020年高中数学 圆的标准方程教案11新人教A版必修2（一）教学目标1知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的 圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示圆的条件（2） 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力2.过程与方法通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的 实际能力3情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索（二）教学

2、重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用（三）教学过程教学环节r教学内容师生互动设计意图问题：求过三点A（0,0）,B（1,1),C(4,2)的圆的方程课题引入,利用圆的标准方程解决此问题显设疑 激趣导入课题然有些麻烦，得用直线的知识解决又有 其简单的局限性，那么这个问题有没有 其它的解决方法呢？带着这个问题我 们来共同研究圆的方程的另一种形式让学生带着问题进行思考圆的一般方程请同学们写出圆的标准方程：（x-整个探索过程由学生完通过2 2 2a) + (y-b) =r，圆心(a,

3、b)，半成，教师只做引导，得出圆的学生对圆径r.一般方程后再启发学生归纳的一般方把圆的标准方程展开，并整理：圆的一般方程的特点：程的探究，2 22 . 2（1x2和y2的系数相使学生亲-r2=0.冋，不等于0身体会圆概2:取D=-2a, E=-2b,F=a+没有xy这样的二次项的一般方念形b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F= 0（2）圆的一般方程中有三程的特点，成与这个方程是圆的方程个特定的系数D E、F,因此及二元二深化反过来给出一个形如x2+y2+Dx+只要求出这三个系数，圆的方次方程表Ey+F= 0的方程，它表示的曲线一定程就确定了示圆所满是圆吗？（3）与圆的标准方程相比足的条件.2

4、 2把x+y+Dx+Ey+F= 0配较，它是一种特殊的二兀二次方得方程，代数特征明显，圆的标(.D)2卄.E)2D2+E24F准方程则指出了圆心坐标与半（x+2）+（y+2）-4径大小，几何特征较明显(配方过程由学生去完成)这个方程疋不疋表示圆？(1) 当D2+E2-4F0时，方 程表示以为圆心，为半径的圆；(2) 当D) +E2-4F= 0时，方 程只有实数解，即只表示一个点；(3) 当D2+E2-4FV0时，方 程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2-4F0时，它表 示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+

5、Ey+F= 0的表示圆的方程称为 圆的一般方程应用举例例1判断下列二兀二次方程是否 表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆 心及半径/ 、2 2(1)4X+ 4y-4X+ 12y+ 9 = 02 2(2)4x+ 4y-4x+ 12y+ 11 =0解析：(1)将原方程变为22c八x+y-x+ 3y+= 0D=-1,E=3,F=./ D2+E2-4F= 10此方程表示圆，圆心(，)，半 径r=.:(2)将原方程化为*2 2x+y-x+ 3y+= 0D=-1,E=3,F=.D2+E2-4F=-1v0此方程不表示圆学生自己分析探求解决途 径：用配方法将其变形化成 圆的标准形式运用圆的一 般方程的判断方法求

6、解但是， 要注意对于(1)4x2+ 4y2-4x+ 12y+ 9 = 0来说，这里的D=-1,E= 3，而不是D=-4,E= 12,F=9.通过例题 讲解使学 生理解圆的一般方 程的代数 特征及与标准方程 的相互转 化更进一步培养学 生探索发 现及分析解决问题 的能力例2求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标分析：据已知条件，很难直接写出 圆的标准方程，而圆的一般方程则需确 定三个系数，而条件恰给出三点坐标， 不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F= 0-A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上，所

7、以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程， 可以得例2讲完后学生讨论交流，归纳得出 使用待定系数法的一般步骤：1根据题设，选择标准方 程或一般方程2根据条件列出关于a、b、r或D E、F的方程组；3.解出a、b、r或D E、F,代入标准方程或一般方程到关于D E、F的三兀一次方程组：F =0即gD +E +F +2 =0fD +2E +F +20 =0解此方程组，可得：D=-8,E=6,F= 0所求圆的方程为：x2+y2-8x+ 6y= 0;得圆心坐标为（4，-3）.2 2或将x+y-8x+ 6y= 0左边 配方化为圆的标准方程，（x-4） + （y+ 3）2= 25，从而求出圆的半径

8、r= 5, 圆心坐标为（4，-3）.例3已知线段A是（4,3），端点A在圆=4运动，求线段AB白 程.解：设点M的坐标 的坐标是（xo,yo）由于3）且M是线段AB中重，于是有X。= 2x因为点A在圆（上运动，所以点A的坐1）2+y2= 4,即（X0+把代入，得（2x-4 + 1）2+整理得所以， 点M的轨迹 径长为1的圆.B的端点B的坐标2 2K上（x+ 1） +y勺中点M的轨迹方示是（x,y），点A点B的坐标是（4, 点，所以4,y= 2y-3x+ 1）2+y2= 4直标满足方程（X+2 21） +y。= 4（2y-3）2= 4,F是以为圆心，半y教师和学生一起分析解题 思路， 再由教师板

9、书.分析：如图点A运动引起 点M运动，而点A在已知圆上 运动，点A的坐标满足方程（x+ 1）2+y2= 4.建立点M与点A坐标之间的关系， 就可以建立 点M的坐标满足的条件，求出 点M的轨迹方程.课堂练习：课堂练习题.丿x习P130第1、2、3归纳总结1.圆的一般方程的特征12与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学 生更进一步（回顾） 体会知识的形成、发 展、完善的 过程.课后作业1布置作业：见习案4.1的第二课时学生独立完成巩固深化备选例题例1下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径(1)X+y2+x+ 1 = 0；/ 、2 2 2(2)

10、x+y+ 2ac+a= 0 (az0)；2 2(3)2x+ 2y+ 2ax-2ay= 0(az0).【解析】(1)因为D=1,E=0,F=1, 所以D2+E2-4Fv0方程(1)不表示任何图形；(2)因为D=2a,E=0,F=a2,所以D2+E2-4F=4a2-4a2= 0,所以方程(2)表示点(-a,0)；（3）两边同时除以2，得x2+2y+ax-ay= 0,所以D = a,E=-a,F= 0.所以D+E2-4F0,所以方程（3）表示圆，圆心为，半径r JjD2+E2-4F|a22点评：也可以先将方程配方再判断例2已知一圆过P（4，-2）、Q-1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方

11、程【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半 径所构成的三角形解之【解析】法一：设圆的方程为：2 2x+y+Dx+Ey+F= 0将P、Q的坐标分别代入得令x= 0，由，得y2+E）+F= 0由已知|y1-y2| =，其中y1,y2是方程的两根./ （y1y2）2= （y1+y2）-4 yy =E2-4F= 48解联立成的方程组，得= -2fD=-10E =0或E=-8F - -12F=4故所求方程为：x+y-2x-12 = 0或x+y-10 x-8y+ 4 = 0.法二：求得PQ的中垂线方程为x-y-1 = 0所求圆的圆心C在直线上，故设其坐标为（

12、a,a-1）,又圆C的半径由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.代入并将两端平方，得a2-5a+ 5 = 0,解得a1= 1,a2= 5.故所求的圆的方程为：（x-1）2+y2= 13或（x-5）2+ （y-4）2= 37.【评析】（1）在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之, 以简化运算例3已知方程x2+y2-2（t+ 3）x+ 2（1-t2）y+ 16t4+ 9 = 0表示一个圆，求（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围.【解析】原

13、方程表示一个圆的条件是D2+E2-4F= 4（t+ 3）2+ 4（1t2）24（16t4+ 9）0即7t2-6t-1V0 ,22 242=(t - 3)(1 t ) -(16t- 9) - -7t6t 12019-2020年高中数学圆的标准方程教案2新人教A版必修2一、 教学目标（一）知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出 圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题， 并会推导圆的标准方程.（二）能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题 的能力.（三）学科渗透点圆基于初

14、中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆 的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可 以适时进行辩证唯物主义思想教育.二、 教材分析1重点：（1）圆的标准方程的推导步骤；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程.（解决办法：（1）通过设问，消除难点，并详细讲解；（2）多多练习、讲解.）2难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.（解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题.）三、 活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读.四、 教学过程（一

15、）复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）.问题2:图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反 映了圆的什么特点？D2E2-4F4圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M

16、)|，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明.其中步骤(3)(4)必不可少.冋题4：当a0叭二角f(刃二是同解方程吗？当臼0吋仗)二F二(肩-a)(+ a) = 0 O点分-a = 0Jf=九故当爲0时，= a是同解方程*下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(二)建立圆的标准方程1.建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法教师指出：这两 种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导.因为

17、C是定 点，可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).2.写点集根据定义，圆就是集合P=M|MC|=r.3.列方程由两点间的距离公式得：4圆心在点C(3, 4),半径是酉经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3);圆心在点C(1,3)，并且和直线3x-4y-7=0相切.2 2 2 2教师纠错，分别给出正确答案：X +y=9;(x-3)+(y-4) =5;(3)(x野+(y +掰二25； (4)仗-厅+仗笋指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)22(1)(x-3)+(y-2) =5；22(x+4) +(y+3) =7；2

18、 2(3)(x+2) +y =4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径.4化简方程将上式两边平方得：2 2(x-a) +(y-b)=r2.(1)方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程.这时，请大家思考下面一个问题.问题5:圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x,y的系数都是1点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时，方程为x2+y2=r2.教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r0，

19、圆的方程就给定了. 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决.(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；例3(1)已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决. 解法一：(学生口答)设圆心C(a,b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：宀又由两点间的距离公式得:r=CPA=J(4护+(9-6)亍=师所

20、求圆的方程为：2 2(x-5) +(y-6)=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决.解法二：(给出板书)直径上的四周角是直角，对于圆上任一点P(x,y)，有P P1丄P P2.化简得:2 2x +y -10 x-12y+51=0. 即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程.解(2):(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：|CM|= J(6-5尸+(96尸=710；|CN|= 7P-5)3+(3-6)3=10；|CQ|= 7(5+(3-6)2= 3r;(3)点在圆内dvr.3.以A(xi,yj、B(X2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-xi)(x- x2)+(y- yi)(y- y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m拱高0P=4m在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m).此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算