2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦学案苏教版必修4

1、3.1.1两角和与差的余弦【学习目标】1. 了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤3理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能 利用公式进行化简求值.西问题导学-知识点一两角差的余弦思考 1 cos(90 - 30 ) = cos 90 - cos 30。成立吗?思考 2 单位圆中(如图)，/POx=a，/P2Ox=3，那么P,P2的坐标是什么？OP与OP的夹角是多少?思考 3 由思考 2，体会两角差的余弦公式的推导过程.梳理 两角差的余弦公式COS(a 3)=_.(C(a -3)知识点二两角和的余弦思考 你能根据两角差的余弦推

2、导出两角和的余弦吗?2梳理 两角和的余弦公式COS(a + 3) =_.(C(“+B)特别提醒：(1)公式中的角a,3是任意角， 特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数, cos(a3) ,cos(a+3)是一个整体.(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反， 可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式.题型探究类型一给角求值问题例 i 求下列各式的值:(1)cos 40 cos 70 + cos 20 cos 50反思与感悟对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则.如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.

3、一般途径有将非特 殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约 分求值，要善于逆用或变用公式.跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos(a 35)cos(a +25)+sin(a 35)sin(a +25);2sin 50 + 厂 1 过 I + 3 AI-1 1F，A/2COS5 cos 7-sin15 sin 8cos 812cos 15+ 仝 sin 1523类型二已知三角函数值求值453n n、,Sin3=石，且nV a V-,片V n ,求 COS(a51322引申探究45n1 .若将例 2 改为已知 sina=, sin3=石，且n V a V

4、2n, 0V 3，求 cos(a51323).43n162.若将例 2 改为已知 sina= -,nVaVV3Vn, cos(a3)=，求 sin3.52265反思与感悟（1）在用两角和与差的余弦公式求值时,的函数值中的角表示成已知函数值的角.(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：a= (a+3) 3,a=3 (311a), a =(2a 3)(a 3), a =q(a+3 )+(a 3),a=?(3+a ) (3 a)等.1例 2 已知 sin a常将所求角进行拆分或组合，把所要求跟踪训练 2-n3n已知亍V 3 V a V，且 COs(12a 3)=而 sin(3a+3) =

5、_ 二，求 COs 25的类型三已知三角函数值求角13n3)=初，且 03a2，求3的值.4例 3 已知 COsa= 7, COs(a5反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤:(1)求角的某一个三角函数值.确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练 3 已知锐角a,3满足 sina=电, cos3=，求a+3的值.5105nnnn.口1 .计算 cos Trncos + cos sin 二 的值是.12 6 12 6 -2 .若a= (cos 60 , sin 60 ),b= (cos15 , sin15 )，贝Uab=4n3 .已知 cosa=匚，且a为第一象限角，则 cos(n

6、+ a) =_56当堂训练6求 cos 23的值.4 .已知 sina +sin33=：,cos5a +cos43= 5，求 cos(a3)的值.5.已知 sin(a3)55 口13,sin(a + 3)=13, 且a7规律与方法1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2 “给值求角”问题， 实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1) 求角的某一三角函数值；(2) 确定角所在的范围(找区间

7、)；确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.8问题导学知识点一思考 1 不成立.思考 2R(cos a , sin a ) ,P2(cos3, sin3).OP与OP的夹角是a3.思考 3 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角a,3，其终边分别与单位圆交于设向量a=OP= (cosa, sinb=OP=(cos3 ,sin3),则ab=|a|b|cos(a 3)=cos(a 3).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a-b=cosacos3 +sinasin3 ,所以 cos(a 3)=cosacos3 +sinasin3.(C(a B)梳理cosacos3 +s

8、inasin3知识点二思考台匕冃cos(a + 3)=cosa ( 3)=cosacos( 3)+sina sin( 3)=cosacos3 sinasin3梳理cosacos3 sinasin3题型探究例 1 解(1)原式=cos 40 cos 70 + sin 70合案精析Pi(cosa ,sina),Ra(COS3, sin3)，则/PiOP=a3.由于余弦函数是周期为2n的偶函数，所以，我们只需考虑OW a3 W n的情况.sin40=945)原式=CUS I；) X sin 15sin 8cos 8cos 15cos 8cos 8=cos 15=cos(6021310=cos 60

9、cos 45 + sin 60 sin 45.2+ 64Tcos 602 sin 60 = -2,1- qcos 15+ fs in 15 = cos 60 cos 15 + sin 60 cos 15=cos(60-15)=cos 45跟踪训练 1 解(1)cos(a 35)cos(a +25)+sin(a 35)sin(a +25)=cos(a 35)(a +25)=cos(60)=2.2sin 50 +2sin；0cos 101-cos 10+ #sin 102sin 50+ 2cos 60 10:2cos 52sin 50 + -cos 50ocos 5/ sinacosa=1 sin

10、 cos3引申探究1解cos又 sin当n：2cos 52cos 504543n5, n V a V亍,cos 5=2.=1 sin3)=cos1213cos31245163+sinasin3=(3)x(13)+(-4)x153=丽5sin3=畐，=1sin235,且na V时,Ov3 v_2，12Va V2n ,11cosa =1sin2a35,cos(a 3)=cosacos3 +sinasin3=(-3)X124_池+ (5)X乜=55665当32nVa V2n时，cosa =1sina35,cos(a 3)=cosaCOS3 +sinasin33124=5X新(5)5X13=6516综

11、上所述，cos(a 3)=56 十 16或.656542解sina=5,且3nn V a V -, COsa = 1COsa =35.n又 V3V n ,nn V 3 V ,-0V a 3 Vn.又 cos(16a 3)=65,/ sin(a 3)= x,11COsa 31626365265cos3 =cosa (a 3)=cosa COS(a 3)+sina sin(a 3)3=(3)X少+ (4)X63655651213, sin3=1cos23 =13.跟踪训练n2 解因为V3V琴，所以43nn 1_ .,n V a+3一 , 0V a3 V，又因为COs(a123)=后，sin(a+3)354,所以 sin(a3) =, cos(a+3) = ?所以 cos5135122a =cos(a 3)+(a+3)=COS(a 3)COS(a + 3)si n(a 3)si n(a