第8章-假设检验

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.       什么是假设检验？（基本概念、假设检验）答：所谓假设检验是指根据样本观察值，用统计的方法检验总体参数或分布的假设是否正确。有三种基本的假设检验问题：（1）已知总体 ，要检验“ 等于某个常数 ”或“ 等于某常数 ”的假设是否正确，这就是正态总体参数的假设检验问题；（2）总体 的分布未知，要检验“总体 的分布函数为 ”的假设是否正确，这是总体分布的拟合检验问题；（3）非正态总体参数的假设检验（小样本容量）。2.       假设检验的基本

2、思想。（假设检验）答：假设检验的基本思想是“小概率事件的实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。我们举例说明：设以口袋中有红球或白球，总数为100，需要检验的假设是“其中有99个是白球”。若假设是正确的，那么在袋中只有一个黑球。从袋中任取一个球，得到黑球的概率显然是 ，这是一个小概率事件，小概率事件在一次试验中通常是不会出现的。因此，如果抽得一球是黑色，即经过一次试验后小概率事件居然发生了，那么我们有理由认为我们最初的假设有问题，需要否定前面假设。反之如果摸得的是白球，小概率事件没有发生，一般就接受前面的假设，认为假设是正确的。3.   

3、60;   假设检验的两类错误。（基本概念、假设检验、两类错误）答：假设检验是依据小概率事件的实际推断原理来判断假设是否正确，由于抽样是随机的，这就可能导致错误判断。一般有一下两类错误：（1）当假设 实际上为真时，检验结果有可能拒绝 ，称这种“弃真”的错误为第一类错误。犯第一类错误的概率的最大者就是显著性水平 ，即 ；（2）当 实际不真时，检验结果有可能接受 ，称这种“纳伪”的错误为第二类错误。犯第二类错误的概率记为 ，即 。我们通常希望犯这两类错误的概率越小越好，但当样本容量确定后，犯这两类错误的概率不能同时减小，减小其中一个，另一个往往会增大。通常是现控制第一类错误的概

4、率，当 被取定后，则可通过增加样本容量使 减小。4.       什么是原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域和临界点？（基本概念、原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域、临界点）答：我们通过一个例子来解释。设某台机器生产零件，零件的长度服从正态分布 ，其标准差为 ，当机器生产正常时，总体均值应该为 ，也即是 。因此，要判断某天机器是否正常生产，只需要从生产的零件抽取一批样本看它们的平均长度是否等于 ，也即是根据样本判断假设 是否正确，称 为原假设，而称 为备择假设。当原假设为真是，则接受原假设，否则就拒绝原假设而接受备择假设。那我们应该

5、如何来判断是接受还是拒绝原假设呢？这需要借助假设统计量。如前面的例子，我们做的是有关总体均值的假设检验，自然会想到使用样本均值来判断。当机器生产正常时，样本均值 和 不应该有太大的偏差（即 应该比较小），若偏差较大，这可以怀疑原假设的正确性。但直接估计 是不容易的，但我们知道如果 是正确的，则 ，其中 是样本容量，故可以把对 的估计转化为对 的估计，称 为检验统计量。其方法是：现给定一个小整数 ，使得 （其中 是 分位点，这说明 是一个小概率事件，在一次试验中一般不会发生），再计算检验统计量的观察值 ，如果 （这说明在一次试验中小概率事件发生了），则拒绝 ，否则就不拒绝 。我们称 位显著性水平

6、， 为拒绝域，当检验统计量的观察值落入拒绝域时，则应该拒绝原假设。把拒绝域的边界 称为临界点。5.       假设检验的基本步骤？（假设检验、基本步骤）答：（1）根据实际问题提出适当的原假设 和备择假设 ；（2）选取适当的检验统计量，并在原假设 成立的条件下确定统计量的分布；（3）选取显著性水平 ，并根据统计量的分布查表确定临界值和拒绝域；（4）根据样本观察值计算统计量的观察值，并将它与临界值作比较；（5）若检验统计量的观察值落入拒绝域，择拒绝原假设，否则不拒绝原假设 。6.     

7、;  什么是双侧检验和单侧检验？（概念、双侧检验、单侧检验、左侧检验、右侧检验）答：若提出的假设有如： ； ，称为双侧检验；若提出的假设如： ； ，称为右侧检验；若提出的假设如： ； ，称为左侧检验。右侧检验和左侧检验统称为单侧检验。7.       一个正态总体均值的假设检验。（假设检验、一个正态总体、总体均值、双侧检验、单侧检验）答：一个正态总体均值的假设检验分为两种情形：一是已知总体方差；一是总体方差未知。（1） 已知时，总体均值 的假设检验。²     &#

8、160;  双侧检验： ； （ 已知）。当原假设成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查标准正态分布表得到 分位点 ，使得 ，于是拒绝域为 ，这种检验法称为 检验法。²        单侧检验：1）右侧检验： ； ，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，当原假设成立时，有 ，也即 ，即 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。（2） 未知时，总体均值 的假设检验。²  

9、60;     双侧检验： ； （ 已知）。当原假设成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查标准正态分布表得到 分位点 ，使得 ，这种检验法称为 检验法。²        单侧检验：1）右侧检验： ； ，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，当原假设成立时，有 ，也即 ，即 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。8.     

10、;  一个正态总体方差的假设检验。（假设检验、一个正态总体、总体方差、双侧检验、单侧检验）答：一个正态总体方差的假设检验分为两种情形：一是已知总体均值；一是总体均值未知。（1） 已知时，总体方差 的假设检验。²        双侧检验： ； （ 已知）。当原假设成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查 分布表得到 和 分位点 和 ，使得 ， ，于是拒绝域为 ，这种检验法称为 检验法。²        单侧检验：1

11、）右侧检验： ； ，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，当原假设成立时，有 ，也即 ，即 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定的显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。（2） 未知时，总体方差 的假设检验。²        双侧检验： ； （ 已知）。当原假设成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查 分布表得到 和 分位点 和 ，使得 ， ，于是拒绝域为 ，这种检验法称为 检验法。²     

12、;   单侧检验：1）右侧检验： ； ，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，当原假设成立时，有 ，也即 ，即 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定的显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。9.       两个正态总体均值的假设检验。（假设检验、两个正态总体、总体均值、双侧检验、单侧检验）答：两个正态总体均值的假设检验分为两种情形：一是已知两个总体方差；一是两个总体方差都未知。设有两个总体 ， ，从这两个总体中抽取样本容量为 和 的两个独立的样本 及 。样本均值和

13、样本方差分别为： ， ；， 。（1） 已知。²        双侧检验： ； 当原假设成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查正态分布表得到 分位点 ，使得 ，于是拒绝域为 。²        单侧检验：1）右侧检验： ； ，当原假设成立时，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。（2） 未知时，但

14、。²        双侧检验： ； 。当原假设成立时，选取检验统计量为 ，其中 ，对于给定的显著性水平 ，查表得到 分位点 ，使得 。²        单侧检验：1）右侧检验： ； ，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。10.   两个正态总体方差的假设检验。（假设检验、两个正态总体、总体方

15、差、双侧检验、单侧检验）答：两个正态总体方差的假设检验分为两种情形：一是已知两个总体均值；一是两个总体均值都未知。设有两个总体 ， ，从这两个总体中抽取样本容量为 和 的两个独立的样本 及 。样本均值和样本方差分别为： ， ；， 。（1） 已知。²        双侧检验： ； 注意到， ， ，且 相互独立，由 分布的定义可知 。令 ，在假设 成立的时候并结合前面的表达式显然有 。对于给定的显著性水平 ，查 分布表得到 和 的分位点 ， ，使得 ， ，于是拒绝域为 。这种检验法称为 检验法。但实际应用中， 的取值都

16、比较小，此时 。因此，一般取检验函数为 ，其中 为 的分子所对应的样本的容量， 为 的分母所对应的样本的容量。按照这种定义，很显然 ，且 不可能小于 ，于是拒绝域可以改写成 ²        单侧检验：1）右侧检验： ； ，当原假设成立时，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使得 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。（2） 未知时。²        双

17、侧检验： ； 。由于样本方差是总体方差的无偏估计，此时 ， ，且 与 相互独立，所以 ，从而当假设 成立时，选取检验统计量为 ，对于给定的显著性水平 ，查 分布表得到 和 的分位点 ， ，使得 ， ，于是拒绝域为 。但实际应用中， 的取值都比较小，此时 。因此，一般取检验函数为 ，其中 为 的分子所对应的样本的容量， 为 的分母所对应的样本的容量。按照这种定义，很显然 ，且 不可能小于 ，于是拒绝域可以改写成 。²        单侧检验：1）右侧检验： ； 。，选取检验统计量为 ，取定显著性水平 ，查表得到 ，使

18、得 ，所以拒绝域为 。2）左侧检验：与右侧检验类似，给出假设 ； 。对于给定地显著性水平 ，可以得到拒绝域为 。11.   假设检验与区间估计有什么异同？（假设检验、区间估计）答：假设检验和区间估计是从不同角度解决同一个问题。假设检验是根据总体 的样本和预先给定的显著性水平 ，来对预先给出的假设做出肯定或否定的判断。而区间估计是根据总体 的样本和预先给定的置信度 ，来估计总体 的分布或总体的未知参数的取值区间。有时候，在拒绝了原假设后还需要作区间估计。12.   在假设检验中，如何确定原假设和备择假设？（原假设、零假设、备择假设）答：（1）若是为了检验判

19、断某个假设是否成立，则把此假设为原假设 。（2）若问题要判断新方法是否比现有方法好，则将现有方法取为原假设 ，而将新方法作为备择假设。（3）对于双侧检验，首先确定原假设 ，然后确定备择假设；对于单侧检验，先确定备择假设，再确定原假设。13.   在假设检验中，怎么理解“拒绝 ”和“接受 ”。（假设检验、原假设）答：所谓接受或拒绝 都是在某种概率的意义上进行的，它并不是判断某一命题的正确性。“拒绝 ”并不是断定“ 为假”，只是在一定显著性水平的担保下，有比较充分的理由认为“ 为假”；而“接受 ”并不是肯定 一定是正确的，只是目前的样本不能给出充分的理由拒绝 。不同的显著性水平

20、或不同的样本有可能得出完全不同的结论。也就是会产生假设检验的两类错误14.   有4个盒子排成一排，某人向盒中投球6次，结果这6次全投入第1或第2盒中，能否判定他是故意把球投入这两只盒子？（小概率事件、实际推断原理）解：如果投球不是故意的，那么球投入4个盒中应该具有随机性，也就是说球进入盒中的几率是一样的。现在投球六次，球全都进入了第2或第4个盒中，这个事件发生的概率为 ，这是一个小概率事件，根据实际推断原理，小概率事件在一次试验中是不大可能出现的，因此可以认为是故如把球投入这两个盒中的。15.   某厂生产零件，从中抽取8件样本测量零件长度为（单位：m

21、m）：10.1，10.6，10.3，10.4，10.1，10.0，10.2，10.2。设零件的长度值服从正态分布，问在 下能否认为零件的平均长度为10.3mm。（假设检验、一个正态总体、总体均值、双侧检验）解：根据题意给出假设， 。由于总体方差未知，所以使用 检验法，取检验函数为 ，可知其拒绝域为 。查表可知， 。计算可知， ， ， ，检验函数的观察值不属于拒绝域，所以可以认为零件的平均长度为10.3。16.   甲、乙两个厂家同时生产一种疫苗，用 表示这种疫苗的疗效，假定 服从正态分布。若已知乙厂生产的疗效为1.2，若从甲厂抽取容量为10的样本来测试疗效，数据如下：1.3

22、，1.4，1.0，1.6，1.3，1.4，1.1，1.2，1.5，1.4，请判断哪个厂家生产的疫苗更为有效？（给定显著性水平 ）。（假设检验、一个正态总体、总体均值、右侧检验）解：首先给出原假设和备择假设。由于是判断哪种疫苗更为有效，这应该是一个单侧检验的问题，设 。由于总体的方差并不知道，所以选取检验函数为 ，其中 是样本标准差，其拒绝域为 。通过查表可知， 。通过计算可知， ， ，所以 ，故不能拒绝 ，即甲厂生产的疫苗比乙厂更为有效。17.   某厂生产一批零件，要求零件长度的标准差不得超过0.1mm。现从这批零件中抽取10个样本，测得样本的标准差为0.3mm，设零件的

23、长度服从正态分布。问在 下能否认为这批零件长度的标准差显著偏大？（假设检验、一个正态总体、总体方差、单侧检验）解：本题是在 下检验下面的假设。由于总体的均值未知，所以选取检验函数为 ，拒绝域为 。查表可知， ；而 ，所以，样本函数的观察值位于拒绝域内，所以认为零件长度的标准差明显偏大。 18.   测定某种金属中所含杂质的比例，从它的10个样本测得样本标准差为 ，设总体服从正态分布，问在 下能否认为总体标准差为0.004。（例题、假设检验、一个正态总体、总体方差、双侧检验）解：给出假设， 。由于总体均值未知，所以选取检验函数为 ，拒绝域为 。查表可知， ， 。，显然观察值不

24、在拒绝域内，所以可以认为总体标准差为0.004。19.   设某厂生产电子元件，电子元件的平均寿命为10（千小时），更新技术后，在生产的元件中抽取10个样本，测得元件的寿命为：10.2，10.5，11.0，10.3，10.1，10.0，9.9，10.1，10.3，10.4。如果元件的寿命 服从正态分布，且总体方差 ，问更新技术否元件寿命是否有明显的提高？（ ）（例题、假设检验、一个正态总体、总体均值、单侧检验）解：根据题意给出假设 。由于总体方差已知，选取统计量为 ，拒绝域为 。经过简单计算可知， ，查标准正态分布表得到 ，所以， ，很显然 ，故不能拒绝假设 ，也即是元件寿命并没有显著提高。20.   某项考试要求成绩的标准差为12，现在从成绩单任取15份，求得该样本方差为16。设成绩服从正态分布，问这次考试的标准差是否不合要求？（ ）（例题、假设检验、一个正态总体、总体方差、双侧检验）解：这是正态总体的方差检验问题，给出假设为：。由于总体均值未知，选取统计量为 ，拒绝域为 。经过简单计算可知， ，查表知， ，所以 ，故不应该拒绝原假设，即认为这次考试的标准差不合要求是没有根据的。21.   设甲、乙两厂生产相同的元件，已知元件的寿命服从正态分布，且甲厂的 ，乙厂的 ，现从甲厂抽取容量为36的样本，测