届高三理科一轮总复习教学案《第三章导数及其应用》讲课稿

1、精品文档精品文档第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1导数概念及其几何意义导数与定积分(1) 了解导数概念的实际背景；是微积分的核心概(2)理解导数的几何意义念之一，也是中学选2导数的运算本章重学内容中较为重要(1)能根据导数定义，求函数y= c(c 为常占：八、的知识之一.由于其A数），y= x, y= x2, y= x3, y= , y= Jx的导1.导数应用的广泛性，为我A的概念；们解决有关函数、数数；2.利用列问题提供了更一(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简导数求切线般、更有效的方法 .单的复合函数(仅限于形如 f(ax+ b)

2、的复合函数)的斜率；因此，本早知识在咼的导数3.利用考题中常在函数、数导数判断函列等有关最值不等3导数在研究函数中的应用数单调性或式问题中有所体现，(1) 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间求单调区间；既考查数形结合思(其中多项式函数一般不超过三次)；4.利用想，分类讨论思想，导数求极值也考查学生灵活运(2) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小或最值；用所学知识和方法值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区5.利用的能力.考题可能以间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一导数求实际选择题或填空题的般不超过三次)

3、.问题最优解.形式来考查导数与4生活中的优化问题本章难点：导定积分的基本运算会利用导数解决某些实际问题数的综合应与简单的几何意义，5.定积分与微积分基本定理用.而以解答.题的形式来综合考查学生的(1) 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；分析问题和解决问(2) 了解微积分基本定理的含义 .题的能力.精品文档知识网络3.1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例 1】 已知函数 f(x)= 2ln 3x+ 8x, f(12Ax)-f(1)A,求lim的值Ax 0Ax【解析】由导数的定义知：【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Ax0 时，平均变化率

4、 严的极限Z.AX【解析】选 A.题型二求导函数精品文档limAx 0f(12Ax)f(1)Ax一2Am。f(12Ax)f(1)2Ax=2f件)一 20.【变式训练 1】 某市在一次降雨过程中，降雨量t2y(mm)与时间 t(min)的函数关系可以近似地表示为1B.4mm/minD.1 mm/minf(t)精品文档精品文档【例 2】求下列函数的导数(1) y= In (x + ;1 + x2);(2) y= (x2 2x+ 3)e2x;3x(3)y=1 x.【解析】 运用求导数公式及复合函数求导数法则=2(x2 x+ 2)e2x.3i(i x)22=3x3(1 x)【变式训练 2】如下图，函数

5、 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A、B、C 的坐标分别为(0,4), (2,0), (6,4),f(1+ Ax)f(1)由导数定义limA = f (1).Ax 0当 0WXW2 时，f(x)= 4 2x, fx)= 2, f (=) 2.,1 x(3)y=3(匚;)21-x+x(1 x)2则 f(f(0)=f(1+ Ax)f(1)(用数字作答).(2)y = (2x 2)e2x+ 2(x2 2x+ 3)e2xAx；Am。精品文档题型三利用导数求切线的斜率【例 3】 已知曲线 C: y= x3 3x2+ 2x,直线 l: y= kx,且 I 与 C 切于点 P(x, y)他工0,)求直

6、线 I精品文档的方程及切点坐标【解析】由 I 过原点，知 k=严(xoM0)又点 P(xo, yo)在曲线 C 上，yo= x3 3x0+ 2x0,0所以y0= xo 3xo+ 2.X0而 y= 3x1 2 6x+ 2, k= 3x0 6x0+ 2.又 k=也xo所以 3x0 6x0+ 2= x2 3x0+ 2，其中 X0MQ3解得 X0=2所以 y0= 8，所以 k= x0= 1，133所以直线 I 的方程为 y= 4X,切点坐标为(, 8).【点拨】禾 U 用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练 3】若函数 y= x3 3x+

7、 4 的切线经过点(一 2, 2)，求此切线方程【解析】设切点为 P(X0, y0)，则由y= 3x2 3 得切线的斜率为 k= 3x0 3.所以函数 y= x3 3x + 4 在 P(X0, y0)处的切线方程为y y0= (3x 3)(x X0).又切线经过点(2,2)，得2 y0= (3x0 3)( 2 X0),而切点在曲线上，得y0= X3 3x0+ 4, 1 函数 y= f(x)在 x=X0处的导数通常有以下两种求法：Ayf(x0+ Ax)f(x0), ,+(1)导数的定义，即求limAx=limAx的值;Ax 0AXAx 0AX先求导函数 f x),再将 X= X0的值代入，即得

8、fx0)的值.2 求 y = f(x)的导函数的几种方法：精品文档由解得 X0= 1 或 X0= 2.则切线方程为 y= 2 或 9x y+ 20= 0.精品文档精品文档(1) 利用常见函数的导数公式；(2) 利用四则运算的导数公式；(3) 利用复合函数的求导方法3导数的几何意义：函数y= f(x)在 x = xo处的导数 fx0),就是函数 y= f(x)的曲线在点 P(xo, yo)处的切线的斜率3.2导数的应用(一)典例精析题型一求函数 f(x)的单调区间【例 1】已知函数 f(x) = x2 ax aln(x 1)(a R),求函数 f(x)的单调区间【解析】函数 f(x) = x2

9、ax al n(x 1)的定义域是(1 ,+ ).a+ 22x(x)x 1，a+ 22x(x)fzx)= 0,x 1a+ 2a + 2所以 a 0 时，f(x)的减区间为(1, , f(x)的增区间为一, +8).a+ 2【点拨】在定义域 x 1 下，为了判定 fx)符号，必须讨论实数 与 0 及 1 的大小，分类讨论是解本题的关键【变式训练 1】已知函数 f(x)= x2+ In x ax 在(0,1)上是增函数，求 a 的取值范围fx) = 2xaa x若 a 0 在(1, +8上恒成立，所以 aw0 时，f(x)的增区间为(1,x 1若 a 0,a + 2则 1,故当x(1,a + 2

10、时,fx)=a+22x(x)w0；x精品文档1【解析】因为 fx) = 2x+- a, f(x)在(0,1)上是增函数，X1所以 2x+ - a 0 在(0,1)上恒成立，X1即 a 0 时，有 XV1 或 x 1 ；当刈=lx23V0 时，有一 1Vxv1.13所以函数 f(x)= 2x3x 在(g,1)和(1, + 上是增函数，在(1,1)上是减函数.所以当 x= 1 时，函数取得极大值 f( 1) = 1;当 x= 1 时，函数取得极小值 f(1) = 1.【点拨求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲，f(x)在点 x= X0处取极值的必要条件是 f x)精品文档精品文档1

11、33(2) 由得 f(x) = x3 x,精品文档精品文档=0.但是，当 X0满足 fx0)= 0 时，f(x)在点 x= X0处却未必取得极 值，只有在 X0的两侧 f(x)的导数异号时，X0才是 f(x)的极值点.并且如果 fx)在 xo两侧满足左正右负”，则 xo是 f(x)的极大值点，f(xo)是极大值； 如果 fx)在 xo两侧满足左负右正”，则 xo是 f(x)的极小值点，f(xo)是极小值.3【变式训练 2】定义在 R 上的函数 y= f(x)，满足 f(3 x) = f(x), (x Rfx)vo,若 xivx2,且 xi+ X23,则有( )A. f(xi)vf(X2)B.

12、f(xi)f(X2)C. f(xi) = f(x2)D.不确定3333【解析】由 f(3 x)= f(x)可得 f3 (x+) )=f(x + 2)，即 f(2 x) = f(x + 2),所以函数 f(x)的图象关于 x=X1+ X23f(xi)= f(X2)，因为 X1+ X23，所以一 2 2，相当于 X1，X2的中点向右偏离对称轴，所以故选 B.题型三求函数的最值【例 3】 求函数 f(x)= ln(1 + x) 4X2在区间o,2上的最大值和最小值.11 1 1【解析】f x)=亦，令一弄=o，化简为 x2+ x 2=o，解得 X1= 2 或 X2= 1，其中 X1= 21 + X2

13、1 + X2舍去.又由 fx)= 2x o，且 x o,2，得知函数 f(x)的单调递增区间是(o,1)，同理，得知函数 f(x)的1 + x2单调递减区间是(1,2)，所以 f(1) = In 2 丁丁为函数 f(x)的极大值 又因为 f(o)= o, f(2) = In 3 1 o, f(1) f(2)，1所以，f(o) = o 为函数 f(x)在o,2上的最小值，f(1) = In 2 4 为函数 f(x)在o,2上的最大值.【点拨】 求函数 f(x)在某闭区间a, b上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a, b)内的极值，然后，将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函

14、数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数 f(x)在a, b上的最值.【变式训练 3】(2008 江苏)f(x) = ax4 3x+ 1 对 x 1,1总有 f(x) 0 成立，则 a =_ .【解析】若 x= 0,则无论 a 为何值，f(x)0 恒成立.413(1 2x)设 g(x)= X2飞，贝 V g x)= X，I 对称.又因为(x |)f，x)vo,所以当 xI 时，函数 f(x)单调递减，当3XV2 时，函数 f(x)单调递增.当X1+ X2f(Xl) f(X2).精品文档精品文档31当 x (0,1时，f(x)0 可以化为 a匕一刁，X X精品文档精品文档1 1x (0, 2)时

15、，gx)0, x(2, 1时，g x)v0.1 因此 g(x)max= g(2)= 4，所以 a 4.当 x 1,0)时，f(x) 0 可以化为g(x)min= g( 1)= 4，所以 a 0,且 x D,求得函数 f(x)的单调递增区间；根据fx)V0,且 x D,求得函数 f(x)的单调递减区间.2求函数极值的步骤是：(1)求导数 fx)；求方程 fx) = 0 的根；(3) 判断 fx)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.3求函数最值的步骤是：先求 f(x)在(a, b)内的极值；再将 f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个

16、是最大值，最小的一个是最小值3.3导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式1【例 1已知函数 f(x) = ?x2+ ln x.(1)求函数 f(x)在区间1 , e上的值域；2求证：x 1 时，f(x)V3x3.3【解析(1)由已知 fx) = x+x当 x 1 , e时，f x(0，因此 f(x)在 1 , e上为增函数31a三 x2x3,此时 g *茫孑0,精品文档x精品文档故 f(X)max= f(e)= 2 +1, f(x)min= f(1) =j,1e2因而 f(x)在区间1 , e上的值域为【2，j + 1.2211(1 - x)(1 + x+ 2/)(2)证明：令 F(

17、x)= f(x)-3x3=- 3x3+ x2+ ln x,贝 V F x)= x+ x 2x2=因为 x 1，所以 F x)v0,故 F(x)在(1，+ 上为减函数.1又 F(1) = 6 1 时，F(x)v0 恒成立，2 即 f(x)v3x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明 方法【变式训练 1】已知对任意实数 x,有 f( x)= f(x), g( x)= g(x),且 x 0 时，fx) 0, g x) 0, 则 xv0 时()A.fx)0,gx)0B.fx)0,gx)v0C.fx)v0,gx)0D.fx)v0,gx)v0【解析】选

18、 B.题型二优化问题【例 2】(2009 湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 + x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y万元.(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；当 m= 640 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解析】(1)设需新建 n 个桥墩，则(n+ 1)x= m,m1.x所以 y= f(x) = 256n+ (n+ 1)(2 + x)xmm 厂=256(； 1)

19、+；(2 + .x)x256m+ m ,x+ 2m 256.精品文档精品文档13, 一 ，256 m 12m(2)由(1)知 f x)= + 2mx2=衣(x2512).3令 f刈=0，得 x2= 512.所以 x= 64.当 0VXV64 时，f刈V0, f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64VXV640 时，f x) 0, f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以 f(x)在 x= 64 处取得最小值故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.【变式训练 2】(2010 上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面8

20、 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值 (结果精确到 0.01 平方米).【解析】设圆柱底面半径为 r，高为 h,则由已知可得 4(4r + 2h) = 9.6,所以 2r + h = 1.2.S=2.4n3n2,h=1.22r0,所以 rV0.6.所以 S= 2.4 r 3nr2(0VrV0.6).令 f(r)=2.4 r3nr2,贝 U fr)=2.46nr.令 fr)= 0 得 r = 0.4.所以当 0VrV0.4, fr(0;当 0.4VrV0.6,fr)v0.所以 r = 0.4 时 S 最

21、大，Smax= 1.51.题型三导数与函数零点问题【例 3】1设函数 f(x)= x3 mx2+ (m2 4)x, x R.(1) 当 m= 3 时，求曲线 y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(2) 已知函数 f(x)有三个互不相同的零点0,a,且aV 3若对任意的 x a, 3，都有 f(x)f(1)恒成立，求实数 m 的取值范围.1【解析】(1)当 m= 3 时，f(x)= 3x3 3x2+ 5x, fx) = x2 6x + 5.2 2因为 f(2) = 3, f (= 3，所以切点坐标为(2, 3),切线的斜率为一 3,此时 n= 一一 1 =6406?1= 9.精品文档

22、精品文档则所求的切线方程为y1= 3(x 2)，即 9x+ 3y 20= 0.精品文档(2)f x) = x2 2mx+ (m2 4).令 f刈=0，得 x= m 2 或 x= m + 2.当 x(g, m 2)时，fx)0, f(x)在(一a,m 2)上是增函数；当 x (m 2，m+ 2)时，f x)v0, f(x)在(m 2, m+ 2)上是减函数；当 x (m+ 2,+g)寸，fx)0, f(x)在(m+ 2,+g)上是增函数.1nc因为函数 f(x)有三个互不”相同的零点 0,a,且 f(x) = -xx2 3mx+ 3(m2 4),2 2(3m)12(m4)0,所以23(m24)0

23、.解得 m ( 4, 2)U( 2,2)U(2,4).当 m ( 4, 2)时，m 2vm+ 2v0,所以avm 2v 3vm+ 2v0.此时 f(a=0, f(i) f(0) = 0,与题意不合，故舍去.当 m ( 2,2)时，m 2v0vm+ 2,所以avm 2v0vm+ 2v 0因为对任意的 x a, 0，都有 f(x) f(1)恒成立，所以av1v 0所以 f(1)为函数 f(x)在a, 0上的最小值.因为当 x= m+ 2 时，函数 f(x)在a, 0上取最小值，所以 m+ 2= 1,即 m= 1.当 m (2,4)时，0vm 2vm+ 2,所以 0vm 2v avm+ 2v 0因为

24、对任意的 x a, 0，都有 f(x) f(1)恒成立，所以av1v 0所以 f(1)为函数 f(x)在a,0上的最小值.因为当 x= m+ 2 时，函数 f(x)在a, 0上取最小值，所以 m+ 2= 1,即 m= 1(舍去).综上可知，m 的取值范围是 1.精品文档精品文档精品文档【变式训练 3】已知 f(x)=ax5 6 7(a R), g(x) = 2ln x.讨论函数 F(x)= f(x) g(x)的单调性；若方程 f(x) = g(x)在区间2, e上有两个不等解，求a 的取值范围.1【解析】 当 a0 时，F(x)的递增区间为(,+m)递”减区间为(0,Va当 a 0，当 K t 0.当 x = 0 时，t= 0；