6-1+二次型及其矩阵表示 (2)

1、1第六章第六章 二次型二次型二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示化二次型为标准型化二次型为标准型惯性定律和正（负）定二次型惯性定律和正（负）定二次型二、二、 无穷大无穷大 第六章第六章 二次型二次型上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v 二次型的表示方法二次型的表示方法v 二次型及其标准型定义二次型及其标准型定义 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为称为二次型二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn, 121; , 称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型. ,

2、称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或（或平方和式平方和式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；二次型； 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形. . 323121321,xxxxxxxxxf 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,131132112222222111

3、21222 , 对二次型对二次型取取则则于是于是,ijjiaa ,2ijjijiijjiijxxaxxaxxa 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxa

4、xxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ., 为为对对称称矩矩阵阵其其中中则则二二次次型型可可记记作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个

5、对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系; 的的矩矩阵阵叫叫做做二二次次型型对对称称矩矩阵阵fA; 的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵 Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二次型矩阵二次型矩阵 A 的特点：的特点：（1 1）主对角线元素依次是平方项的系数；）主对角线元素依次是平方项的系数；（2 2）其他位置元素）其他位置元素 是交叉项是交叉项 系数的一半。系数的一半。jiijaa jixx二次型标准型的矩阵二次型标准型的矩阵 A 是对角矩阵是对角矩阵.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113