13控制原理课件wa chapter

1、2022-3-26Chapter 2-41 By Hui Wang2022-3-26Chapter 2-42Outline of this chapterIntroduction Differential Equation of Physical SystemsTransfer FunctionState Equation of SystemsBlock Diagram, Signal Flow Graphs LinearizationThe relation of various models Differential equation Transfer function State equ

2、ation Block diagramCan these forms be transformed freely?2022-3-26Chapter 2-43Outline of this chapterThe relation of various models Differential equation Transfer function State equation Block diagramCan these forms be transformed freely?uniqueNot uniqueUsually difficulty to dobridgeUniqueUnique？202

3、2-3-26Chapter 2-44Transfer function modelState equation model 可控标准型（相变量法可控标准型（相变量法-Ac、bc） 可观标准型（可观标准型（可控型的转置可控型的转置Ao、co） 正则规范型正则规范型(canonical form)中文版中文版P59-62(See P158. 5.9)2022-3-26Chapter 2-45实现问题实现问题：已知系统或对象的微分方程或传递函数，选用什么样：已知系统或对象的微分方程或传递函数，选用什么样的结构与状态变量来表达这些已知的特性，称为的结构与状态变量来表达这些已知的特性，称为“实现问题实现

4、问题”有理分式有理分式：一般情况下，传递函数是一个有理分式：一般情况下，传递函数是一个有理分式不可约有理分式不可约有理分式：分子与分母间没有公因子：分子与分母间没有公因子真有理分式真有理分式：即分子的阶次：即分子的阶次m分分母的阶次母的阶次n（若不满足，若不满足，可以先做一个综合除法？）可以先做一个综合除法？）最小实现最小实现：由于分子与分母间可能存在可约性（有公因子），故：由于分子与分母间可能存在可约性（有公因子），故实现的维数也可能不同，但一定存在最小维数的实现，这就称为实现的维数也可能不同，但一定存在最小维数的实现，这就称为最小实现最小实现实现的非惟一性实现的非惟一性：即使是最小实现，由

5、于状态变量选取的非惟一：即使是最小实现，由于状态变量选取的非惟一性，状态空间表达式也存在非惟一性。性，状态空间表达式也存在非惟一性。2022-3-26Chapter 2-46【例例】设给定系统的传递函数为设给定系统的传递函数为 )3)(2(2)()(2sssssUsY2132123( )22( )3561356YssssU sssssss1122331230100001065312 1 0 xxxxuxxxyxx 采用相变量法，则其状态空间描述采用相变量法，则其状态空间描述解：解：由已知传递函数可以看出，其分子和分母多项式有可约去的因由已知传递函数可以看出，其分子和分母多项式有可约去的因子（子

6、（s+2），），下面先求出不约去因子（下面先求出不约去因子（s+2）的状态空间描述实现。的状态空间描述实现。试求该传递函数的状态空间描述实现和最小实现。试求该传递函数的状态空间描述实现和最小实现。2022-3-26Chapter 2-47)3)(2(2)()(2sssssUsY进一步考察题目所给的传递函数式进一步考察题目所给的传递函数式把它化简成不可约的传递函数形式，则有把它化简成不可约的传递函数形式，则有31)3)(2(2)()(22sssssssUsY应用上述相同的方法，可求得这时的状态空间描述为应用上述相同的方法，可求得这时的状态空间描述为1122010311xxuxx 1210 xyx

7、以上结果表明，对在数学表达式上相等的两个传递函数表达式，因为有以上结果表明，对在数学表达式上相等的两个传递函数表达式，因为有公因子的存在，能求出两种不同阶次的状态空间描述（一个为三阶，另公因子的存在，能求出两种不同阶次的状态空间描述（一个为三阶，另一个为二阶）。而其最小实现是二阶的，即采用二阶已经完全能描述系一个为二阶）。而其最小实现是二阶的，即采用二阶已经完全能描述系统的动态行为。统的动态行为。(以后我们可以知道，最小实现是系统的可控可观部分）以后我们可以知道，最小实现是系统的可控可观部分）2022-3-26Chapter 2-48已知控制系统由下列已知控制系统由下列n n阶微分方程来描述阶

8、微分方程来描述（参见中文版（参见中文版P60英文版英文版P157图图5.30）ububububyayayaynnnnonnnn1)1(1)(1)1(1)(nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(其传递函数：其传递函数：uxAxccBuxDcycw这是相变量方法中已经碰到过的这是相变量方法中已经碰到过的CASE2（故，推导此略），其状态故，推导此略），其状态传递信号流图参见书传递信号流图参见书P60，图图2-80（或下页）（或下页）1210100001000010nnCaaaaA1000CB式中式中注意：下标注意：下标C2022-3-26Chapter

9、 2-49ux)()()(00110110bbabbabbabynnnn00b)()()(0110110babbabbabCnnnnc0bDc00bcxx 001mnnnbbby001mnnncbbbC0D2022-3-26Chapter 2-410请写出如图所示系统的传递函数请写出如图所示系统的传递函数2022-3-26Chapter 2-411再请写出如图所示系统的状态空间表达式再请写出如图所示系统的状态空间表达式2022-3-26Chapter 2-412nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(设已知传递函数仍为：设已知传递函数仍为：ubxyn

10、0输出方程与输出方程与状态方程：状态方程：特别注意特别注意：中文版：中文版P61，图图2-81信号流图有误。信号流图有误。与原传递函数等价的话：所与原传递函数等价的话：所有的反馈线应从有的反馈线应从y节点开始，节点开始，而不是如书上图中从而不是如书上图中从xn点开始。而该书上的状点开始。而该书上的状态变量也有错误！态变量也有错误！uabbxaubyaxnnnnnn)(01uabbxaxubyaxxnnnnn)(101110112uabbxaxubyaxxnnnnnn)(101111112uabbxaxubyaxxnnnn)(10111111特别注意：中文版书上这里是特别注意：中文版书上这里是x

11、n2022-3-26Chapter 2-413nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(已知传递函数仍为：已知传递函数仍为：状态空间状态空间表达式：表达式：uxAxooBuxDcyo式中：式中：121100010001000aaaaAnnno1000oc0bD 1012021010abbabbabbabbBnnnnnno00b00b00mnnobbB0D注意：式中的下标注意：式中的下标 Ouabxaxnnnn12022-3-26Chapter 2-414nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(已知传递函数仍为

12、：已知传递函数仍为：uxAxooBuxDcyo仔细观察两种规范型中的系统矩阵仔细观察两种规范型中的系统矩阵A、控制矩阵控制矩阵B以及输出矩阵以及输出矩阵C，可以发现可控标准型与可观标准型之间存在关系：可以发现可控标准型与可观标准型之间存在关系：uxAxccBuxDcyc可控标准型可控标准型可观标准型可观标准型TcoAA)(TcoCB)(TcoBC)(这是普遍规律这是普遍规律?2022-3-26Chapter 2-415【例例5】设控制系统的传递函数为设控制系统的传递函数为试求系统的试求系统的可控标准型可控标准型状态空间描述。状态空间描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：将系统

13、传递函数对照：将系统传递函数对照可控标准可控标准型公式，可得型公式，可得1231231,3,2,7,12,0bbbaaa进而可得系统的进而可得系统的可控标准型可控标准型状态空间表达式为状态空间表达式为11223312301000010012712 3 1xxxxuxxxyxx 2022-3-26Chapter 2-416【例例5】设控制系统的传递函数为设控制系统的传递函数为试求系统的试求系统的可观标准型可观标准型状态空间描述。状态空间描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：将系统传递函数对照：将系统传递函数对照可观标准可观标准型公式，因为型公式，因为1231231,3,2,7,

14、12,0bbbaaa进而可得系统的进而可得系统的可观标准型可观标准型状态空间表达式为状态空间表达式为uxx1327101201000 x100y11223312301000010012712 3 1xxxxuxxxyxx 可控标准型可控标准型2022-3-26Chapter 2-417 以上的方法实际上是先转换为微分方程，然后再化为状态空间表达式。以上的方法实际上是先转换为微分方程，然后再化为状态空间表达式。另一种方法是结合状态变量图（方块图分解）的方法导出。另一种方法是结合状态变量图（方块图分解）的方法导出。 以典型的三阶系统为例。已知传递函数为：以典型的三阶系统为例。已知传递函数为：322

15、132120)()()(asasasbsbsbsUsYsG 分子分母同除分母分子分母同除分母S的最高次，得：的最高次，得：322132120asasasbsbsbU(s)Y(s)3322113221101)()()(sasasasbsbsbsUsYsG2022-3-26Chapter 2-418 以以E(s)作为输入变量，作为输入变量，Y(s)为输出为输出变量，变量，s1的输出端为状态变量作图的输出端为状态变量作图3322113221101)()()(sasasasbsbsbsUsYsG)(1)()(332211322110sEsasasasUsbsbsbsY)()()(322110sEsbs

16、bsbsY)()()()()(332211sEsasEsasEsasUsE 在已经作好的图上增加系在已经作好的图上增加系统输入统输入U(s)与与反馈部分反馈部分 最后根据状态变量图写出系统的状态空间表达式（作图此略最后根据状态变量图写出系统的状态空间表达式（作图此略,参见中文版参见中文版P266图图77）2022-3-26Chapter 2-419322132120)()()(asasasbsbsbsUsYsG)()()(212032213sUbsbsbasasassY)()()()()()()(32211023sYasUbsYasUbssYasUbssYs)()()()()()()(3222

17、11101sYasUbssYasUbssYasUbssY2022-3-26Chapter 2-420)()()()()()()(32211023sYasUbsYasUbssYasUbssYs)()()()()()()(322211101sYasUbssYasUbssYasUbssY)()(3sXsY)()()()()()()(321211103sYasUbssYasUbssYasUbssX令令则则令令则则)(2sX)()()()()(321212sYasUbssYasUbssX令令)(1sX则则)()()(321sYasUbssX 最后根据上面的状态变量拉氏变换式可画出状态变量图，并写出系统的

18、状态最后根据上面的状态变量拉氏变换式可画出状态变量图，并写出系统的状态空间表达式（作图此略，参见中文版空间表达式（作图此略，参见中文版P,268图图78）。）。2022-3-26Chapter 2-421当已知传递函数的分母可以写成因式相乘的形式，而且特征根各不相同，则当已知传递函数的分母可以写成因式相乘的形式，而且特征根各不相同，则传递函数可以展开为下列部分分式传递函数可以展开为下列部分分式niiiscDsUsYsG1)()()(其中，其中， 是是 处处的留数。对每一个环节的传递函数：的留数。对每一个环节的传递函数：icis输出方程：输出方程：Dxcxcxcynn2211iiiiiscsUs

19、XcsG)()()(uxxuxxuxxnnn222111环节的状态方程环节的状态方程2022-3-26Chapter 2-422此为系统特征根为各不相同的单根时的正则规范型状态空间描述。是一此为系统特征根为各不相同的单根时的正则规范型状态空间描述。是一种最简单的情况。对于存在复根的情况，种最简单的情况。对于存在复根的情况，A阵为约当阵。如阵为约当阵。如P169,5.12所所示。此略。有兴趣的同学可自学。示。此略。有兴趣的同学可自学。由图可得系统的状态空间表达式为由图可得系统的状态空间表达式为niiiscDsUsYsG1)()()(得到的状态信号流图如中文版得到的状态信号流图如中文版P62图图2

20、-82所示（所示（注意：注意：书中每个回路的反馈增书中每个回路的反馈增益错为，应为）或英文版益错为，应为）或英文版P159图图5.31所示（注意：图中的符号！）所示（注意：图中的符号！）iix由已知系统传递函数由已知系统传递函数uxx11100000021nDcccynx212022-3-26Chapter 2-423因此可得系统的正则因此可得系统的正则规范型状态空间描述：规范型状态空间描述：【例例6】设控制系统的传递函数为设控制系统的传递函数为试求系统的试求系统的正则规范型正则规范型状态空间描述。状态空间描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：将系统传递函数化为：将系统传递函

21、数化为分母为因式相乘的分母为因式相乘的型式，型式，41233132161)()(ssssUsY系统的特征根为系统的特征根为0，3，4；相应的留数可求得为；相应的留数可求得为23,32,61即：即：uxx111400030000 x233261y2022-3-26Chapter 2-424Block diagramState equation model 由一般的方块图直接得到状态方程由一般的方块图直接得到状态方程中文版中文版P622022-3-26Chapter 2-425因为一个控制系统的方块图主要由比例环节。积分环节、一阶滞后因为一个控制系统的方块图主要由比例环节。积分环节、一阶滞后环节（

22、惯性环节）、二阶振荡环节等基本环节所组成，要将其改画环节（惯性环节）、二阶振荡环节等基本环节所组成，要将其改画成状态变量图是很方便的，只要把其中的一阶惯性环节和二阶振荡成状态变量图是很方便的，只要把其中的一阶惯性环节和二阶振荡环节，按图示的方式改画成局部状态变量图就可以了。环节，按图示的方式改画成局部状态变量图就可以了。设一阶环节：设一阶环节：11)(TssG2022-3-26Chapter 2-426设二阶环节：设二阶环节：121)(22TssTsG2022-3-26Chapter 2-427如中文版如中文版P63例例2-38所示，从已知的控制系统方块图中，选择一阶环节所示，从已知的控制系统

23、方块图中，选择一阶环节的输出变量作为状态变量，经直接计算将方块图化为状态变量图，从而的输出变量作为状态变量，经直接计算将方块图化为状态变量图，从而可得系统的状态空间表达式。可得系统的状态空间表达式。【例例7】已知如下系统，状态变量如图示，请写出状态空间表达式并画出状已知如下系统，状态变量如图示，请写出状态空间表达式并画出状态变量图。态变量图。R(s)Y(s)x1x2x3122s144s15 . 01s2022-3-26Chapter 2-428R(s)Y(s)x1x2x3122s144s15 . 01s解解：由图中的：由图中的状态变量，可写出：状态变量，可写出：)(122)(32sXRssX)

24、(144)(21sXssX)(15 . 01)(13sXssX)()(1sXsY21141xxxRxxx32221Rxxx32221rxxx3222131322xxx1xy 2022-3-26Chapter 2-429例例7的状态变量图，的状态变量图，可见两种方法等价。可见两种方法等价。问题：例问题：例7的状态变量信号流图？的状态变量信号流图？yx1x21/s-1/4rx31/s-1/21/s2-2x3x1r01020212100141xx 1001xyx2022-3-26Chapter 2-430 x1请画出如图所示物理系统的状态变量图请画出如图所示物理系统的状态变量图x2x32022-3-

25、26Chapter 2-431请写出如图所示系统的状态空间表达式请写出如图所示系统的状态空间表达式特别注意该节点特别注意该节点串联型串联型2022-3-26Chapter 2-432再请转换为正则标准形，并写出系统的状态空间表达式再请转换为正则标准形，并写出系统的状态空间表达式并联型并联型2022-3-26Chapter 2-433规范型的状态空间描述将给控制系统的分析与规范型的状态空间描述将给控制系统的分析与设计带来很大方便，故书上给出了将一般矩阵设计带来很大方便，故书上给出了将一般矩阵转换为对角化矩阵的四种方法（转换为对角化矩阵的四种方法（P160,5.10.），），请大家自己学习与复习。请大家自己学习与复习。在在P1725.13.给出了给出了将一个一般矩阵转换为可控将一个一般矩阵转换为可控（相伴）标准型的方法（我们在学习现代（相伴）标准型的方法（我们在学习现代控制理论部分时将会学习）。控制理论部分时将会学习）。2022-3-26Chapter 2-434本章的主要内容是数学模型及相关知识本章的主要内容是数学模型及相关知识微分方程模型微分方程模型n从物理对象建模：电路、力学、