第五章不定积分凑微分法

1、1 .)()()()(,:积积分分公公式式为为基基本本的的形形式式，且且是是把把积积分分关关键键的的积积分分法法凑凑微微分分法法就就是是复复合合函函数数注注释释凑凑微微 duufxdxfdxxf一、第一类换元法一、第一类换元法 (凑微分法凑微分法) ).)()()(,)(,)()(1CxFxdxfxuufuF 则则有有连连续续的的导导数数且且的的原原函函数数是是设设函函数数定定理理第二节第二节 换元积分法换元积分法2.coslnln1)(coscos1cossincosCxCuduuxdxdxxxxu 回回代代 xdxtan)1(求求下下列列不不定定积积分分例例 dxxex22)2(.22Ce

2、Ceduexuuxu 回回代代.sinlndcotCxxx 同理同理3dxxx 3)1()3()1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx dxxx 3)1(11.)1(21)1(1)1(23Cxxxxdxxdxxx 4.)2(2242ln)2()2(4)2()2(42)2()2()22(23232Cxxxxxdxxdxxddxxx dxxx32)2()4(5dxex 11)5( .)1ln(1.)1ln()111(.)1ln()11(CedxeeCexdxeeeCexdxeexxxxxxxxxx6dxxxxx )1(ln)1ln()6(.)ln)1(ln(21)ln)1(ln

3、()ln)1(ln(2Cxxxxdxx dxxxxx)111)(ln)1(ln(7 )(sincos2sin)7(2222badxxbxax.sincos2sin)()sin)(12222222222222222Cxbxaabxabaxabadab 8.)tan(1)tan()tan(1cos)tan(222Cbxaabxabxadaxbxadx )0()cossin(1)8(2 badxxbxa9)0(1)9(22 adxxa axdaxadxaxa222111111.arctan1Caxa . )0(arcsin122 aCaxdxxa同理同理10 )(1)(121xadxaxadxaa

4、Cxaxaa lnln21. )0(ln21122 aCaxaxadxax同理同理)0(1)10(22 adxxa.ln21Cxaxaa 11 xxdx22cos2sin)11(.)2tanarctan(22)2tan()2tan(1122cos1tan21222Cxxdxdxxx 12dxxxx 222)12(2.)1arctan(332ln21)1(1)1(322)22(21226222122222Cxxxxxdxxxxddxxxx 13.1arcsin)1(1121)(11112222222Ceeedeededxeedxeexxxxxxxxxx dxeeexxx21)1()13(14 d

5、xxx2coscos)14(.3sin61sin21)3cos(cos21Cxxdxxx xdx3sin)15(.cos31cos)(cos)cos1(sinsin322Cxxxdxxdxx .sin31sincos33Cxxdxx 同理同理15 dxx4tan)16(.tantan31)1(secsectan)1(sectan322222Cxxxdxxxdxxdxxx 16dxxx )ln21(1)17()(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .|ln21|ln21Cx 17.2arcsin41)18(2dxxx )2(arcsin2arcsin1xdx .|2arcsi

6、n|lnCx )2(2arcsin2112xdxx 18)csc(sec)19( xdxxdxI .tanseclntansec)tan(sectansec)tan(secsec1CxxxxxxddxxxxxxI 方方法法.cotcsclncscCxxxdx 同理同理19 .sin1sin1ln21sin1)(sincoscoscos1222CxxxxddxxxdxxI 方方法法 .)24tan(ln)24tan()24(tan()24cos()24sin(21)2sin(13CxxxddxxxdxxI 方方法法20.)1(31)1(1211)(1)(111)(arcsin)(arcsin)(

7、23222222CxxdxdxxxxfdxxxxfxCxxxfCxdxxxf 由由解解.)(.arcsin)()20( xfdxCxdxxxf求求设设21 第一换元积分法第一换元积分法 (凑微法凑微法) 是不定积是不定积分的基础，很灵活分的基础，很灵活. 它通过恒等变形它通过恒等变形 : 三角公式三角公式 , 代数公式代数公式 , 拆项拆项 , 加一项加一项减一项减一项 , 上下同除以一个因子等方法上下同除以一个因子等方法使所求积分变成使所求积分变成基本积分公式基本积分公式的形式的形式. 下面给出一些常见的凑微分形式下面给出一些常见的凑微分形式 :小小 结结22;)()() 1(1)(111

8、baxdbaxfmadxxbaxfmmmm; )0()()(1)( abaxdbaxfadxbaxf;)1()1()1(2 xdxfxdxxf; )ln()(ln1)(ln xdxfdxxxf);()()(xxxxedefdxeef );()(2)(xdxfxdxxf 23);(arctan)(arctan11)(arctan);(arcsin)(arcsin11)(arcsin22xdxfdxxxfxdxfdxxxf ;cos)(cossin)(cos;sin)(sincos)(sin xdxfxdxxfxdxfxdxxf;cot)(cotcsc)(cot;tan)(tansec)(tan2

9、2 xdxfxdxxfxdxfxdxxf.)(ln)()()()( Cxfxfxdfdxxfxf 24练练 习习 题题 求下列不定积分求下列不定积分dxexxx 12)11(.1.)1(11Cexxdexxxx dxxxxx cossinsincos.2.cossinln)cos(sincossin1Cxxxxdxx 25 dxxxx22sin2cos2sin. 3.sin12sin1)sin1(222Cxxxd dxxx21.4.arcsin2)(1)(212Cxxxdxxdx 26 dxxxx32)1(.5 .)1()1(31ln)1()1(2)1(311()1(1)1(1)1(213232Cxxxxdxxxdxxxx 27 dxxxx23cos1cossin.6.)cos1ln(21cos21)(cos)cos111(21)(coscos1cos212222222Cxxxdxxdxx 28dxxx 211arctan.7.)1(arctan21)1(arctan1arctan)1()1(111arctan22Cxxdxxdxx 29 ).1(lnln).1(1)ln()ln()ln(1pCxxpCpxxxxdxxppdxxxxp)1(ln)ln(. 8 30.)cos11(sin11.9 dxxdxxI )(coscos1cos122xdxd