初等函数的连续性

1、关于初等函数的连续性现在学习的是第一页，共14页一、指数函数的连续性在第一章中在第一章中, 我们已经定义了指数函数我们已经定义了指数函数, 1, 0,R, aaxayx并指出它在并指出它在 R 内是严格单调的内是严格单调的. 所以所以, 若能证明指若能证明指首先证明指数函数的一个重要性质首先证明指数函数的一个重要性质. 定义域内也是连续函数定义域内也是连续函数. .数函数是连续函数数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其那么它的反函数对数函数在其现在学习的是第二页，共14页证证 当当, 是有理数时是有理数时, 这是我们熟知的一个结果这是我们熟知的一个结果.sup|.xrrxaar 为为有

2、有理理数数,21 aaaarr对于任意对于任意, ),(0 aa 存在有理数存在有理数,1 r定理定理4.10 设设 为任意实数为任意实数, 则有则有 、aa, 1, 0 . aaa先设先设, 1 a由定义，由定义，使使,2 r现在学习的是第三页，共14页因为因为 是任意的是任意的, 所以所以. aaa反之反之, 存在有理数存在有理数使使),(00 rr0.raa 再取有理数再取有理数12012,rrrrr 使使则则,02121 aaaaaaarrrrr于是有于是有.)(2121 aaaaaarrrr现在学习的是第四页，共14页仍因仍因 是任意的是任意的, 又得又得. aaa这就证明了这就证明

3、了. aaa,10的的情情形形对对于于 a只要令只要令,1ab 就有就有.)()()( abbbaa现在学习的是第五页，共14页定理定理4.11 指数函数指数函数)1,0( aaayx在在 R上是连上是连证证 我们仍旧先假设我们仍旧先假设 首先证明指数函数在首先证明指数函数在.1 a0 x处连续处连续, 即即).0(1lim0faxx 这是因为对于任意的正数这是因为对于任意的正数, )10( 取取|,)1(log|),1(minlog aa|,x 当当时时|1|.xa 就就有有所以所以xa在在 x = 0 处连续处连续. 续的续的. .现在学习的是第六页，共14页对于一般的点对于一般的点,R0

4、 x由定理由定理4.10得到得到,limlimlim0000000 xxxxxxxxxxxxaaaaaa 所以所以xaxf )(在在 R 上连续上连续. 对于对于,10情情形形 a只要设只要设,1ab 由由,11xxxbba就可得到相应的结论就可得到相应的结论. 注注1,1.xaya 当当时时显显然然是是连连续续函函数数现在学习的是第七页，共14页也是连续的也是连续的.例例1 设设.)(lim,0)(lim00bxvaxuxxxx证明证明.)(lim)(0bxvxxaxu 推论推论1 对数函数对数函数log(0,1)ayx aa 在定义域在定义域), 0( 上是连续的上是连续的.续续, 从而从

5、而)(ln)(xuxv在点在点 x0 也连续也连续, 于是证得于是证得 证证 设设)(),(,)(,)(00 xvxubxvaxu则则在点在点 x0 连连推论推论2 幂函数幂函数xxylne 在定义域在定义域上上), 0( 现在学习的是第八页，共14页注注 例例1的结论可改写为的结论可改写为.)(lim)(lim)(lim)(000 xvxxbxvxxxxxuaxu )(ln)(lim)(ln)()(0eelim)(lim00 xuxvxuxvxxxvxxxxxu .elnbaba 解解 因为因为1122cos1cos1(cos )(1cos1),xxxxxx令令.1cos)(,)1cos1(

6、)(21cos1xxxvxxux 例例2 求求.)(coslim210 xxx现在学习的是第九页，共14页,212sin2lim1coslim22020 xxxxxx由此求得由此求得122100coscos1lim(cos )lim(1cos1)xxx axxxxx , e)1cos1(lim)(lim1cos100 xxxxxu当当故故0|cos10,2xx 时时，121e.e 现在学习的是第十页，共14页二、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i) 常值函数常值函数; (vi) 对数函数对数函数.(v) 指数函数指数函数;(iv)

7、幂函数幂函数;(iii) 反三角函数反三角函数;(ii) 三角函数三角函数;现在学习的是第十一页，共14页以上六种函数称为基本初等函数以上六种函数称为基本初等函数. 因为连续函数因为连续函数由上面的分析由上面的分析, 我们得到如下结论：我们得到如下结论：定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数合运算所产生的函数称为初等函数. 现在学习的是第十二页，共14页例例3 求极限求极限.cos)1ln(lim0 xxx . 00cos)01ln(cos)1ln(lim0 xxx定理定理4.12 初等函数在其有定义的区间上是连续的初等函数在其有定义的区间上是连续的. 注注 上述结论中所指的上述结论中所指的“定义区间定义区间”, ,今后今后( (第十六第十六解解 因为因为xx