高三数学复习课

1、空间中的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。 B长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm，ADAD= =1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角。所成的角。如图，连B1D1与A1C1 交于

2、O1，O1M,512221=MA,23212212122211=BDMO,2512212211=OA由余弦定理得,55cos11=MOAA1C1与BD1所成的角为.55arccos取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），连A1M，在A1O1M中（2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。直线的关系。DB1A1D1C1AC解法一（平移法）：3,52,51111=ECEA

3、CA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1与与BD1所成的角为所成的角为说明说明：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是（0，90，在把异面直，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。注意。另外另外，当异面直线，当异面直线垂直垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定时，

4、应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为理（或逆定理）判定所成的角为90，也是不可忽视的办法。，也是不可忽视的办法。如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面BC1的方体的方体B1F，连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1AC.55arccos解法二解法二（补形法）：（补形法）：直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0；斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。例2：如图，斜三棱柱ABCABC的底面为一等腰直角

5、三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC与底面所成的角。ABCBACO直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90； 通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。 求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；x3xOBACBAC,410sin=CBCOBOCBC与底面所成的角是.410arcsin例2：如图，斜三棱柱ABCABC的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC与底面所成的角。分析：欲求BC与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC在底面上的射影

6、。注意到ACAB和ACBC，即AC平面ABC，所以，平面ABC平面ABC，故点C在底面上的射影O在平面ABC和平面ABC的交线BA上， CBO为所求的角。解： ACAB，ACBC， AC平面ABC，于是平面ABC平面ABC，作CO平面ABC，则点O43,3222=xACCOAOAOCRtxCO中令CO=x，则在BA延长线上,CBO就是BC 与底面所成的角，连 OC， 是侧棱与底面所成的角为60，CCO在 OBC中 BC=2 6(已知）解得，舍去)在RtBOC中，222262432=xx15=x262( =x为什么？x3xD 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。3 3、二面角、二

7、面角 二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：例例 3：如图，：如图，已知四面体已知四面体S-ABC中，中，,2=ASB)2, 0(,=BSCASC求二面角求二面角A-SC-B的大小的大小SCBAE分析：根据题意，在棱分析：根据题意，在棱SC 任取一点任取一点D，过，过D作作DE SC于于E，作，作DF SB于于F，连，连EF。由定义可知。由定义可知 EDF即为二面角即为二面角A-SC-B的平面角。的平面角。设设SD=a，借助已知条件，由，借助已知条件，由Rt SDE、 Rt SDF及及Rt ESF求出求出 FDE所在所在 FDE三边

8、长，再用余弦定理即可求得三边长，再用余弦定理即可求得: cos FDE=ctg ctg , 即即 FDE= arccos(ctg ctg )。F（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。（2） 用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平面角。APBa例例4：斜三棱柱ABC-ABC的一个侧面AACC是矩形，AB是底面RtABC的斜边，AB=2AA，AC等于AB和AB间的距离

9、，求三棱柱各侧面所成的二面角的大小。ABCBCAD分析：如图，因BB垂直AC，故可过AC作平面ACDBB于D，则面ACD与各棱均垂直，从而ACD内角就是所求的各侧面所成的二面角。将题设条件转化到该截面内，即可求得各侧面间所成的平面角分别为30, 60, 90a2ahah用这个关系式求可锐二面角的平面角。（4）射影法：如图所示， AD平面M，设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，由 cos =AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDBCSS=cosABCDHM（5）公式法：cos22222mnnmdEF=用此公式亦可求二面角的平面

10、角；这实为异面直线上两点的距离公式，但这里不局限EFmndABC如图，CBF= 为二面角的lm平面角 ，在CBF中，由余弦定理可求得CFcos2222mnnmCF=d再由RtECF可得于(0,90, (0,180)。已知直二面角 l，A,B线段AB=2a，AB与成45的角，与成30角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。ACBDHF解法一：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH为所求二面角的平面角。例5：,36,33,aDHaHFaDF=于是在DFH中，由余弦定理，得33cos=DFH所以33arccos=DFH即面ABD与面ABC所成的二面角为33arccos又知BAD=45, ABC=30 ，可解得ACBDH 由于D在平面ABC内的射影H在BC边上 ABH为ABD在平面ABC上的射影设所求的二面角为, 则有cos = SABH /SABD，,3322aSABH=221aSABD=代入上式，得33cos=由解法一，易求得例例5：已知直二面角 l,A,B,线段AB=2a，AB与成45的角，与成30角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成