第二章 运动的守恒定律

1、第二章 运动的守恒定律根据牛顿第二定律改写为量，即内质点所受合外力的冲间内的累积量，称为时在时间表示力式中dtdtFdtF当作用时间为 ，合外力的冲量为tt 0即 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。动量的增量。 （1）冲量是矢量。一般情况下，它的方向与质点动量增量的方向一致。 （2）三个分量式：（3）冲力、平均冲力 当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力称为冲力冲力。得 分量式 tFFFo0ttt平均冲力平均冲力 （4）只适用于惯性系，且与惯性系的选择无关。 （5）在国际单位制中，冲量的

2、单位是 动量的单位是 设有一个由 n 个质点组成的质点系，第 i 个质点受系统以外物体的合外力为 ，受系统内其它质点作用的合内力为 。 iFif根据质点动量定理，对第 i 个质点，有对所有质点求和，得因为内力成对出现，并且等值反向，所以初态总动量初态总动量末态总动量末态总动量则 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。量。亦即 当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。不变。如果系统所受的合外力为零，即则有 （1）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；常量；时当xnini

3、ixiixPvmF110niniyiyiiyPvmF110常量；时当常量。时当zniiziniizPvmF110某方向所受合外力为零，则此方向的总动量的分量分量守恒守恒。 （3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观和微观领域。（2）直角坐标系中的分量式：力在位移方向上的投影与该位移大小的乘积。力在位移方向上的投影与该位移大小的乘积。的夹角与为sdF按矢量点积（标积）定义：按矢量点积（标积）定义：Fsdab在直角坐标系中：元功可表示为当质点从 a 运动到 b 的过程中，变力对它做功为和时间而变，那么运动，力不随质点位置特别地，当质点沿直线当质点受几个力作用时，其合力为则合力对质点做的功为nFF

4、FFL+21scosFOasbs（1 1）平均功率）平均功率（2 2）瞬时功率）瞬时功率功与参考系有关，具有相对性。 以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定以地面为参考系。fffmff由牛顿第三定律：和斜面上的摩擦力，分别为作用在物体和设（1）选地面为参考系）选地面为参考系cosmgf 因为mff 和零，则分别为和斜面相对汽车的位移物体1rm则这一对力的功为m 相对地面的位移为1r2rr 任何一对相互作用力做功的代数和仅决任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位移，而与参考系的选定于两物体的相对位移，而与参考系的选择无关。择无关。 例一例一

5、一球形容器落入水中，其刚接触水面时，其速度为 。设此容器在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为 f=-kv ,求（1）阻力所做的功；（2）下落距离与时间的函数关系。0v 解解：（一）如图，取坐标 Ox 向下为正。由功的定义，水的阻力做的功为0vOP浮Ff由题意：两边积分即得即将（2）式代入（1）式得（二）由（2）式得 两边积分：得 质点动能质点动能合力对质点做的功为因为则有aavbbvvFsd即可得 kakbabEEmvmvA222121 是标量，仅是状态量v 的单值函数，也是状态量； 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，能是状态量。功是能量变化的量度； 功和能具有普遍意义

6、； 动能定理由牛顿第二定律导出， 只适用于惯性参考系，并且 也与参考系有关。kEkE 例二例二 一质量为 m 的小球系在长为 l 的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线成 角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成角时，小球的速率。00lPTvsd解：解：小球受力如图：由分析为变力作功：因为所以由初始条件：故绳与铅直线成角时，小球的速率为abahbhYO地地cgmsd abahbhYO地地cd弹性力为弹性力的功为OXabaxbxxf （m 在任一位置处所受的万有引力为万有引力的功为arbrabMrrdr+drrdmFarbrabMrrdr+drrdm 保守力。即若,

7、0, 0dAArdF 物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种特性的力，统称为非保守力。特性的力，统称为非保守力。非保守力。即若, 0, 0dAArdF重力、弹性力、万有引力、静电力重力、弹性力、万有引力、静电力摩擦力、爆炸力摩擦力、爆炸力 势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功有关，是状态函数。数，与保守力做功有关，是状态函数。 即的功点过程中保守力对它做点移到之差等于质点由两点的势能物体在保守力场中,a

8、bPPAbabEaEba 守力所做的功。势能零点位置时保等于质点从该点移动到势能。那么某点的作为势能零点，即选取rErErPP000 （1）势能）势能 为状态量，是状态（位置）的单值为状态量，是状态（位置）的单值函数。其数值还与零势能点的选取有关。函数。其数值还与零势能点的选取有关。 （2）势能属于物体与系统所共有。）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。）只有保守力场才能引入势能的概念。（1）势能曲线）势能曲线PEZO（一）重力势能曲线PEXO（二）弹性势能曲线PErO（三）引力势能曲线 若质点A在保守力的作用下，沿某一给定的 方向有微小的位移 ，由定义，势能增量

9、为Ll d方向的投影，由此得在为其中lFFlLFAl d 由 n 个质点组成的质点系统，受力分内力和外力。系统内各质点之间的相互作用力叫做内力内力，系统外的其它质点对系统内各质点的作用力叫做外力外力。，由质点的动能定理得个质点，合力做功为取第iAi个质点求和，得对系统内所有的n0kkEEAA+内外则所有外力做功之和所有内力做功之和所有质点终态的总动能所有质点初态的总动能 所有外力对系统做的功和内力对质点系所做所有外力对系统做的功和内力对质点系所做的功之和等于系统总动能的增量。的功之和等于系统总动能的增量。内力区分为保守内力和非保守内力，则内力区分为保守内力和非保守内力，则根据势能定义于是或 系

10、统的总动能和势能之和称为系统的系统的总动能和势能之和称为系统的机械能机械能，用用 E 表示，则上式表示成表示，则上式表示成 质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。 如果一个系统只有保守力做功，其它内力和一如果一个系统只有保守力做功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末系统内质点间的动能和势能可以互相转换，但它们系统内质点间的动能和势能可以互相转换，但它们的总和保持不变。的总和保持不变。 （1）明确系统中

11、的物体； (2)前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们的代数和为零，或可以忽略不计； (3)只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒； (4)与惯性参考系的选择有关。因为 虽然与选取参考系无关，但 是否为零则决定于参考系的选择。 0非保内A外A 能量不能消失，也不能创生，它只能从一种能量不能消失，也不能创生，它只能从一种形式转换为另一种形式。形式转换为另一种形式。 例一例一 宇宙速度宇宙速度 由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙速度第一宇宙速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度

12、，称为第二宇宙速度第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。mEM0vvERr解：第一宇宙速度解：第一宇宙速度地球对卫星的引力为若不计空气阻力，引力即为卫星作圆周运动的向心力卫星在地面上时mgRmMGEE20或gRMGEE20化简得 10rMGvE代入（1）式得 12rgRvE这就是卫星在半径为 r 的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度环绕速度。得第一宇宙速度第一宇宙速度所以得因为. 0,minvvv解：第二宇宙速度解：第二宇宙速度 以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。 设 为物体离开地面时的速度

13、， 为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势能的零点，由机械能守恒定律vv mRgRMGEEE6201037. 6,地球半径地面上1362102 .1181. 91037. 622smgRvE所以上述速度称为第二宇宙速度或称为脱离地球的逃逸速度。解：第三宇宙速度解：第三宇宙速度 物体飞出太阳系去，必须满足各值得系的逸出速度。代入为物体相对于太阳为地球和太阳的距离，为太阳的质量，3vrMs圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线119 . 7skmv119 . 72 .11skmvskm112 .117 .16skmvskm需要讲，只发射的速度相对地球来助地球的公转，物体被借速度为由于地球

14、绕太阳的平均,108 .2913sm 从地面发射的物体，飞出太阳系时，既要脱离太阳的引力作用，也要脱离地球的引力作用，发射时的能量必须满足所以 这就是从地面发射使星体飞离太阳系的最小速度，即第三宇宙速度第三宇宙速度。 例二例二 一条均匀链条，质量为 m，总长为 l，成直线状放在桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为。现已知链条下垂长度为 a 时，链条开始下滑。试用动能定理，功能原理计算链条刚好全部离开这个桌面时的速率。Oxaxdx动能定理对象，建立坐标系，由究解：（一）以链条为研对下垂部分a：Oxal x对桌面上部分 l-a:将（2）式和（3）式代入（1）式得所以有（二）以链条、地球为研究对象，

15、由功能原理设O为零势能点将（2）式和（3）式代入（1）式得结果相同结果相同打桩打桩踢球踢球高速粒子高速粒子轰击粒子轰击粒子相互作用力很大，作用时间极短。相互作用力很大，作用时间极短。 忽略重力、摩擦力、空气阻力等，忽略重力、摩擦力、空气阻力等，系统总动量守恒。系统总动量守恒。机械能守恒机械能守恒机械能不守恒机械能不守恒和方向。上的力的大小求矿砂作用在传送带定，设为恒。如果传送带的运送量角，其速度的大小平成与水角，而传送带向成。速度的方向与竖直方，其速度的大小落到另一传送带矿砂从传送带例一BhkgqsmvBsmvBAm,20002153041120011，即量为上的矿砂的质内落到传送带解：设在某

16、极短时间mBtBA0300151v2v此矿砂动量的增量为，由动量定理得的力为设传送带作用在矿砂上F0300152vm1vmvm 例二例二 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。证：证：桌面的作用力。为绳对为桌面对绳的作用力，由牛顿第三定律：NNNN 设 t=0 时刻，绳的上端为 x 轴的原点O ，向下为正方向，绳长为 l ,总质量为 M 。xxlONPTmPdTdmN 则 t 时刻，已落到桌面上的绳长为 x ，质量为 m=M x / l，以此为研究对象。受

17、力如图所示：NPTmPdTdm 求 T ：取 dt 内落至桌面的 dx 为研究对象，受力如图所示：可忽略不计。即因为PdPdT,将（2）式代入（1）式得 为质点对惯性参考系中某一固定点O 的角动量。大小：大小：方向方向 ： 右手螺旋法则。右手螺旋法则。LOrPm （1）角动量必须指明对那一个固定点而言。 （2）当质点作圆周运动时， 。 如图所示。 （3）单位（SI）： rmvrPL,21212smkg秒米千克定义：定义：FrMOLrmvMOdFr在中心力场中，质点所受的力总是沿着质点与该中心（力心）的连线，这种力称 有心力。MOdFr质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。质点所受的合

18、外力矩等于它的角动量对时间的变化率。对时间求导，得由由于因此由于于是得vmrL因而则，如果, 00dtLdM 如果对于某一定点如果对于某一定点O 质点所受的合外力矩为零，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。则此质点对该点的角动量保持不变。 在有心力场中，如在有心力场中，如万有引力场万有引力场 、静静电引力场电引力场中，角动量守恒。中，角动量守恒。 例例 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直平面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该点在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时对环心的角动量和角速度。gmNmRAONgmP正压力重力受力为解：由受力分析，小球,它们对O点的力矩分别为：合外力矩的大小：Bmvr方向：小球对O 点的角动量为角动量的大小：方向：的方向相同。与M将（2）式代入（1）式得两边积分：得代入角动量公式得NimmmmNLL,21量分别为个质点组成，它们的质设质点系由NirrrrLL,21置矢量分别为它们相对坐标原点的位质点系的质心位置矢量m