第四章 动量 动量守恒定律

1、例例1:1: 一艘质量为一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由的潜水艇，全部浸没水中，并由静止开始下沉。设浮力为静止开始下沉。设浮力为 F ，水的阻力，水的阻力 f = kAv， 式中式中A 为潜水艇水平投影面积，为潜水艇水平投影面积，k 为常数。求潜水艇为常数。求潜水艇下沉速度与时间的关系。下沉速度与时间的关系。fmgFc解：解：以潜艇为研究对象，受力如图（哪些是恒力？以潜艇为研究对象，受力如图（哪些是恒力？ 哪些是变力？）哪些是变力？）在地面系中建立如图坐标系在地面系中建立如图坐标系o+由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：tvmkAvFmgdd tvtkAvFmgvm00dd第四章第四章

2、 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律tFmgmg-F-kAvkAm ln讨论讨论潜艇潜艇运动情况：运动情况： tvvtvtdd, 00类似处理：类似处理：跳伞运动员下落，跳伞运动员下落，有阻力的抛体运动有阻力的抛体运动, 小球小球在粘滞流体中下落在粘滞流体中下落.tmkAeFmgkAvFmg 恒恒量量 kAFmgvvtmaxvmvot tmkAekAFmgv1极限速率极限速率（收尾速率）（收尾速率）例例2(P2(P6868 例例3):3): sincosgamgN ammgFx sin原因原因: :M相对地面作非匀速运动相对地面作非匀速运动, ,因此不是惯因此不是惯 性系性系, ,不能在不能在

3、M系中用牛顿定律列方程。系中用牛顿定律列方程。不对不对! !M m0 ,M,m已知已知: : 求：求：m对对M的正压力的正压力N a M对对 的加速度的加速度m解：解： 以以M为参考系为参考系：xymmgN a 0cos mgNFy正确的解法正确的解法: : 以以地面为参考系地面为参考系, , 列列 M 的运动的运动方程：方程：)1(sinMMxMaNF )2(0cos NMgQFMyM Q MaNN xMgy受力情况如图：受力情况如图：不不是是惯惯性性系系。M,aM0 以以地面为参考系地面为参考系, , 列列 m 的运动的运动方程：方程：地地地地MmMmaaa Mmaaa cosMmxaaa

4、 ) 4(sincos MmymymamamgNF 以以地面为参考系地面为参考系列列m的方程：的方程：yxmmgN sinMmyaa ) 3(cossin MmxmxaammamgF Maa ma 222sinsinsinsincossincosmMgmMamMmgamMMmgNM 由（由（1 1）、（）、（3 3）、（）、（4 4）解得）解得： )4(sincos)3(cossin MmyyMmxxmamamgNFaammamgF )1(sinMxMaNF yxmMaa mgmaN注意：注意：做题时先画受力图，初略判断加速度做题时先画受力图，初略判断加速度 的方向。的方向。a例例3 3（P

5、P8484 4.5 4.5）：）：已知：已知：质量均匀的绳在水平面内转动；质量均匀的绳在水平面内转动； ,L,M求：求：张力张力 rToLr Mmd1T2TamTT d12条条件件12TT 不不计计绳绳质质量量0d m忽略重力忽略重力绳内部相邻两绳内部相邻两部分相互作用力部分相互作用力思考：思考：1.1.绳上张力是否处处相等？绳上张力是否处处相等？绳绳静静止止或或匀匀速速直直线线运运动动0 a均不满足均不满足, ,因因12TT 此：此： namrTrrT ddrLMmdd 水平面内法向运动方程：水平面内法向运动方程：设法将设法将 内力内力外力外力暴露暴露md rT rrTd rd受力分析：受力

6、分析：思考：思考：2.2.如何求系统内力？如何求系统内力？解：解：在绳上取微元在绳上取微元 mdoLr Mmdrdrr+droLr Mmd rT rrTd rrdna namrTrrT dd rLrMrT2dd 如何确定积分限？如何确定积分限？max0TTr LrrTLrrMrTdd20 LrLMrT2222 rTT 边界条件边界条件:0min TTLrF mmgNfoxy解：解：受力图和坐标系如下：受力图和坐标系如下：0sin37 FmgNFy对不对？对不对？tN672.010 (1)(1)tNf1344. 02 (2)(2)203. 1cos37 tfFFx。(3)(3)330)(dmvm

7、vtFxx (4)(4)求求:已知已知:2-0sm102 . 03712. 10kg1 gtFvm ?s3 vt时时例例1(P1(P8585 4.7): 4.7):F m tFt12. 1,物体可能飞离桌面。物体可能飞离桌面。).t (N).t(tNs9140s91400.672-10 。方方向向沿沿时时，尚尚未未飞飞离离，xvts3 F mmgNfoxys9140672010.tt. 得得：令令正确的解法正确的解法:不全对不全对! !何时飞离？何时飞离？tN672. 010 ？(1)(1)静摩擦力达到最大值以前与正压静摩擦力达到最大值以前与正压力无关。力无关。tNf1344. 02 ？ 9

8、.1494. 11344. 021.94t00.896tcos ttNfFf 不全对不全对! !不全对不全对! !NF cos正确的解法：正确的解法： fFFx-cos 9 .1494. 1203. 194. 100 ttt正确的解法：正确的解法：F mmgNfoxy物体何时开始运动？物体何时开始运动？1.94s0.1344-20.896 ttt(2)(2)203.1cos37 tfFFx？(3)(3)331.9430d)203. 1(0dmvtttFx fFFx-cos 9 .1494. 1203. 194. 100 ttt对对! !)sm(58. 0)sm(58. 0-13-13 ivv1

9、.1.通过本题体会存在变力通过本题体会存在变力( (随随t变化变化) )作用时动量作用时动量 定理定理的的应用。应用。注意注意: :2.2.若若F在不同时间段变化规律不同，应分段积分。在不同时间段变化规律不同，应分段积分。 330dmvmvtFxx ？(4)(4)火箭速度为火箭速度为vvd 排出的燃气速度为排出的燃气速度为)d(vvve vvd evmmd md t+dt时刻：时刻：) 0d(d mmm排出的燃气质量为排出的燃气质量为md 火箭质量为火箭质量为解解: : 火箭和燃气组成一个系统。火箭和燃气组成一个系统。火箭的运动火箭的运动: :火箭依靠排出其内部燃烧室中产生的气体来火箭依靠排出

10、其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时的质量为获得向前的推力。设火箭发射时的质量为m0 0，速率为，速率为v0 0，燃料烧尽时的质量为燃料烧尽时的质量为m ，气体相对于火箭排出的速率为，气体相对于火箭排出的速率为ve e。不计空气阻力，求火箭所能达到的最大速率。不计空气阻力，求火箭所能达到的最大速率。例例2(P2(P7878 例例2):2):mvt时刻：时刻：系统总质量为系统总质量为vmp 1m系统总动量为系统总动量为vvd evmmd md t+dt时刻系统的总动量为：时刻系统的总动量为：)d)(d()d)(d(2vvvmvvmmpe mvvmpppeddd12 时间内系统的

11、动量增量为：时间内系统的动量增量为： t d mmevvtmmvvtg0m0ddd0设设t=0=0是开始发射，是开始发射， 时刻燃料烧尽时刻燃料烧尽, ,对上式对上式两边积分得：两边积分得：t mvvmtmgeddd 取向上为正取向上为正, ,得：得：mvvmvmedd 火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力mg。由质点系动量定理得：。由质点系动量定理得：tpdgmd 火箭水平飞行时：火箭水平飞行时：mmvvve 00mln多级火箭：多级火箭：neneeNvNvNvvvlnlnln22110m 用增大喷气速度和增大质量比的方法可以提高火用增大喷

12、气速度和增大质量比的方法可以提高火箭末速度。箭末速度。设：设：。足以发射人造地球卫星足以发射人造地球卫星-13m321-1321sm13440ln625006sm2500 vNNNvvveeetgmmvvve 00mlntgmmvvve 00mlnMm 1v2vv高能物理可以用探测高能物理可以用探测器得到粒子径迹器得到粒子径迹 粒子散射中，质量为粒子散射中，质量为m的的 粒子与质量为粒子与质量为M的静止的静止氧原子核发生氧原子核发生“碰撞碰撞”。实验测出。实验测出“碰撞碰撞”后，后， 粒粒子沿与入射方向成子沿与入射方向成 =72 角方向运动，而氧原子核沿角方向运动，而氧原子核沿与与 粒子入射方

13、向成粒子入射方向成 =41 角反冲，如图示，求角反冲，如图示，求“碰碰撞撞”前后前后 粒子速率之比。粒子速率之比。例题例题1(P1(P8181 例例1 1）：）：由动量守恒定律得由动量守恒定律得vMvmvm 21解得解得“碰撞碰撞”前后，前后， 粒子速率之比为粒子速率之比为 7104172sin41sinsinsin12.vv 直角坐标系中直角坐标系中 coscos21Mvmvmv xy 1vm2vmovM sinsin02Mvmv hMm分析运动过程分析运动过程: :当当 自由下落自由下落 距离，绳被拉紧距离，绳被拉紧的的瞬间，瞬间， 和和 获得相同的运动速率获得相同的运动速率 , ,此后此

14、后 向下减速运动，向下减速运动， 向上向上减速减速运动。运动。mhmvmMM分两个阶段求解分两个阶段求解一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量 及及 的物体，的物体，且且 。最初。最初 静止在桌上，抬高静止在桌上，抬高 使绳处于松使绳处于松弛状态。当弛状态。当 自由下落距离自由下落距离 后，绳才被拉紧，求此时后，绳才被拉紧，求此时两物体的速率两物体的速率 和和 所能上升的最大高度（不计滑轮所能上升的最大高度（不计滑轮和绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长）。和绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长）。 mMmM MmmhMv例题例题2(P2(P8585 4.8): 4.8):hMmxNyN思路：思路：绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力力 不能忽略不能忽略 ， 系统动量不守恒，系统动量不守恒，应分别对它们用动量定理。应分别对它们用动量定理。Mm N+ +设绳平均冲力大小为设绳平均冲力大小为 , ,向上为正方向。向上为正方向。F解：解：MgF+ MvMvtMgFtMgFI 0d1mgF )2(d2ghmmvtmgFtmgFI 第一阶段：第一阶段：绳拉紧，绳拉紧，求共同速率求共同速率vMvghmmv )2(忽略重力，则有忽略重力，则有21II MvtMgFI 1 )2(2ghmmvtmgFI hMmxNyN+