西安交大计算方法第二章

1、第第4 4章章 数值微积分数值微积分第第4章章 数值微积分数值微积分( ) , f xa b 对于函数在区间上的定积分( )( ) (4-1)baI ff x dx ( )( )f xF x若能求得的原函数( )( )F xf x,即-Newton Leibnitz则由公式( )( )( )( )baI fF xF bF a,( ),f x 但由于实际情况中的原函数很难求出因此,只能计算定积分的近似值.第第4章章 数值微积分数值微积分数值积分( ),( )f xI f 考虑用函数在一些数据点处的值的适当组合 作为定积分的近似0( )( )() (4-2)nkkkI fQ fA f x kx其中

2、: 是适当选取的点,称为节点kA 称为求积系数公式(4-2)称为求积公式值值分分,以上方法称数积为第第4章章 数值微积分数值微积分数值积分要考虑的问题(1) ;kx如何选择合适的节点求积公式可以分成两大类-,Newton Cotes(1) 型公式 基于等距分布的节点,Gauss(2) 型公式 取相应的正交多项式的根作为节点(2) ;kA确定合适的求积系数(3) ( )( )-( ),E fI fQ f如何计算误差并使其尽可能的小第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )f x 对任意被积函数(0,1,2,.,

3、 )ix in,在给定的节点( )if x对应的函数值为( )( )npxf x,则可构造插值多项式来近似( )( )nf xpx( )nRx( )R x其中:为插值多项式的余项对上式,两边同时积分,有( )( )( )bbbnnaaaf x dxpx dxRx dx( )( )nf xpx由于,不考虑误差项,有( )( )baI ff x dx( )bnapx dx( )Q f第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Lagrange 若取插值多项式为多项式,得到0( )( ) ()nbkkakQ flx f x

4、 dx( ),0,1,2,.,bkkaAlx dx kn记0( )()nkkkQ fA f x,有误差( )( )( )E fI fQ f( )bnaR x dx(1)( )( )(1)!nbafx dxn0( )()nbkkaklx dx f x 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )bkkkaAlx dxA由确定的( )f x与被积函数无关,(0,1,2,., )ix in若节点满足关系01naxxxb,( ),bkkaAlx dx求积系数由确定( )( )I fQ f则此种方法形成的计算的求内插积公

5、式称为求积公式(1)( ),( )0,( )0( )( )nf xnfxE fI fQ f 若被积函数是不超过 次的多项式 则则有即4.1定义( )mmpx如果对任一不超过 次的多项式( )Q f,内插求积公式()()mmI pQ p总有11( )mmpx,而对某一个次多项式11, ()()mmI pQ pm则称此求积公式的代数精度为m,或称此公式具有 次代数精度(0,1,., )ix in,仅与节点的选择有关,第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx在以上公式中,节点 按等距分布,-b ahn令,0,1,2

6、,.,kxakh knNewtonCotes则称内插求积公式为公式1,2,4n 通常取等值(1)1n 01,xa xb则插值函数公式为1-( )( )( )-b xx ap xf af bb ab a012baAA可求得1( ) ( )( )2baQ fTf af b求积公式为 称为梯形求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.1( ) , fxa b设在上连续 ,则梯形求积公式的误差是31-( ),12b aEfab证明:11( )baER x dx , , ()()baf a b x xa xb

7、 dx( )fx由于存在, , , xf a b x可知 关于 的二阶差商连续 , ,()()0,a bxa xb在上 有由积分中值定理,差商性质2,知( , ),a b存在使1 , , ()()baEf a b x xa xb dx , , ()() ( , )baf a bxa xb dxa b31( )() ( , )12fbaa b 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(2)2n 012,22baabhxa xxb则插值多项式为0212201010210120122021()()()()( )()()

8、()()()()()() +()()()xxxxxxxxpxf xf xxxxxxxxxxxxxf xxxxx1200102()()()()baxxxxAdxxxxx20()(2 )() ( 2 )x a thth thdthh 232220132322htt hh th3h第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式0211012()()()()baxxxxAdxxxxx20(2 )()x a tht thdthh 23220132htt hh43h0122021()()()()baxxxxAdxxxxx20()2

9、x a tht thdth h 2322011322htt hh13h1( ) ( )4 ()( )32habQ fSf aff b求积公式为 称为Simpson求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.2(4)( ) , fxa b设在上连续,则Simpson求积公式的误差是5(4)2-( ),2880b aEfab2(4)( )( )()()4!2fabxxaxxb证明:取 R2(4)( )()()4!2bafabxaxxb dx2则 E(4)55550( )32401644!53hftttt5

10、(4)()( )2880baf 2(4)20( )()4!2x a thdx dtfbat ttba dt 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(3)4n 01234,2 ,3 ,4bahxa xah xah xah xb则插值多项式为40011223344( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()pxlx f xl x f xlx f xlx f xlx f x00112233441464( ),( ),4545246414( ),( ),( )454545bbaabbbaaahhA

11、lx dxAl x dxhhhAlx dxAl x dxAlx dx可求得1( )7 ( )32 () 12 (2 )90 32 (3 )7 ( )baQ fCf af ahf ahf ahf b求积公式为 称为Cotes求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.3(6)( ) , fxa b设在上连续 ,则Cotes求积公式的误差是7(6)48-( ) 9454b aEfab7(6)-( ) 1935360b afab第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-

12、CotesNewton-Cotes公式公式11, , ( )( 1)(0)(1)(0)A B C Df x dxAfBfCfDf例4.1 求以下数值积分公式中的求积系数使公式具有尽可能高的代数精度 并求其误差-1,0,1xHermit解:在点处构造差商表,建立型的插值多项式1( 1)0(0)0(0)1(1)ffff(0)( 1)(1)(0)0)fffff(0)(0)( 1)(1)(0)(0)ffffff1(1)2(0)( 1)2fff第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式32( )(-1)(0)-(-1) (1

13、)(0)-(0)(-1) (1)1(1)-2(0)-(-1) (1)2p xfffxfffxxfffxx可得插值多项式 11( )( )I ff x dx( )Q f131( )p x dx1112321111431111(-1)(0)-(-1) ()(0)-(0)(-1) ()232111(1)-2(0)-(-1) ()243fxffxxfffxxfffxx 212 (-1)2(0)-(-1)(0)-(0)(-1)(1)-2(0)-(-1)33fffffffff141(-1)(0)(1)333fff第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNe

14、wton-Cotes公式公式141 ,0333ABCD因此,有111( ) ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff11( )( )E RR x dx121 1,0,0,1, (1)(1)fx xxxdx121 1,0,0,1, (1)(1) fxxxdx(4)( )4() 11 (3 1)!15f (4)1( ) 11 90f 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式例例: :确定确定SimpsonSimpson求积公式的代数精度求积公式的代数精度解解:Simpson:Simpson求积公式为求积公式为(

15、)( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b( )1 114 16babaf xdxba令令221( ) 4262babaabf xxxdxbaab22233221( ) 4362babaabf xxx dxbaab33344331( ) 4462babaabf xxx dxbaab第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式4445544( ) 1 4562baf xxbaabx dxbaab但是当时3Simpsonm 因此求积公式的代数精度第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求

16、积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式梯形公式的代数精度为1Simpon求积公式的代数精度为3Cotes求积公式的代数精度为5代数精度第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式3(1)1,-()(),()21 2nhbahhQffafbRff 梯 形 求 积 公 式 牛顿-柯特斯(Newton-cotes)求积公式5( 4 )(2)2,(-) / 2()4()( ) ()3290nhbahabhQffaffbRff Simpson求 积 公 式 5( 4 )(3)3,(-) / 333

17、()3()3()() ()88 0nhbahhQffafahfbhfbRff 牛 顿 求 积 公 式 7( 6 )( 4 )4 ,(-) / 427()3 2()1 2(2)3 2()7()4 58 ()9 4 5nhbahQffafahfahfbhfbhRff C o t e s 求 积 公 式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式, 利用定积分对区间的区间可加性 将求积公式分别应用于每一个小区间上(0,1,., ) , kxkna b设是区间上满足011nnaxxxxb1,n 的个点由于()( )baI

18、ff x dx-1-1(47),(48),(49),( )kkkkxxxxf x dx可将应用于任何一个子区间上的积分n ,当 逐渐增大时,区间长度越来越小,则每个小区间上的求积公式误差很小,且总的积分的误差也将减小 此方法称为复化求积分法-11( )kknxxkf x dx第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx取节点 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh kn11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b复化梯形公式11111 ( )2()4()( )62nnkknkkkxxh

19、Sf af xff b复化Simpson公式1011013 7 ( )32()()9044 +12()14()7 ( )2nnkkknnkkkkhhhSf af xf xhf xf xf b复化Cotes公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.4(2)( ) , fxa b设在上连续,则复化梯形求积公式的误差是2-( ),12Tb aEh fab:证明-1,kkxx在每个子区间上,梯形求积公式的误差是31-(),1,2,.,12kkkkkhrfxx kn因此,复化梯形求积公式的误差为311-()12n

20、nTkkkkhErf( ) , fxa b因在上连续,由连续函数的介值定理( , )a b,存在11()( )nkkffn使 3( )12ThEnf 因此 2( ) 12bah fab 证毕第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.5(4)( ) , fxa b设在上连续,则复化Simpson求积公式的误差是4(4)-( ),2880Sb aEh fab定理4.6(6)( ) , fxa b设在上连续,则复化Cotes求积公式的误差是6(6)-( ),1935360Cb aEh fab0,() 2,4,6,

21、2,4,6khSimpsonCotesO hk 当时 梯形公式公式公式的余项分别以的速度趋向于零 因此 分别称其为 阶阶阶方法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10 xe dx例4.2 计算积分h梯形公式Simpson公式Cotes公式0.51.7539251.718850.251.72722191.71831881.74085480.1251.72051861.71828411.71828180.06251.71884111.71828201.71828180.031251.71842161.718281

22、81.7182818第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式410若( )01max( )2.71828.kKxMfxe ,则由于 由梯形公式的误差公式有2-( )12Tb aEh f2112kh M4102,2 100.02h因此0.0313h同理,对Simpson公式,可得, h对指定的误差界如何选取能够使复化积分公式达到计算精度?第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式由于被积函数的导数的界很难估计 ,因此可在计算过程中自动选

23、取步长,使之精度达到要求在复化梯形公式中,有2-( )-( ) , 12nb aI fTh fa bn将区间作 等分22-( )-( ) , 2122nb aI fTfa bnh区间加密后,有 将区间作等分( ) , fxa b假定在区间上变化不大( )( )ff,即21( )-( )-4nnI fTI fT 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式221( )-3nnnI fTTT因此 221( )-3nnnI fTTT 22-,( )nnnTTI fT即 当 有221,- ,nnnnnhb aTTTT (1)

24、先取计算 (2)缩小步长一半,计算 (3)计算误差,如果满足要求- ,则停止, 否则计算步骤转(2)第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2nnTT可以利用 计算-11211/2( )2()()( )22nnkknkkkxxhTf af xff b=-11( )2()( )4nkkhf af xf b=11()22nkkkxxhf111()222nkknkxxhTf=221( )-4 1nnnI fTTT 由及上式构成一个自动选步长的梯形积分算法,0,1,2,., ,()/knkxTxakh kn hban设

25、为 的节点第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式类似于梯形公式,可以得到自动选步长的Simpson公式4(4)( )2880nbaISh f=-4(4)2( )2880 2nbahISf=-(4)2( ) , , nnfxa bISIS2假定在上变化不大时 可得4222141nnnISSS因此,(),自动选步长的Cotes公式,自动选步长的Simpson公式223141nnnICCC同理,()第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公

26、式 获得高精度积分的方法(1)减少步长缺点是函数计算量较大(2)使用高精度公式考虑使用低精度公式,计算高精度积分的方法在复化梯形求积公式中有( )nI fT2( )nI fT221( )4 1nnnI fTTT221( )4 1nnnI fTTT因此,第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式222( )4 14 4 1nnnnnTTI fTTT11114()3222nkknnkxxhTfT1112()32nkknkxxThf110111()()2()2()3 22nnkknkkkxxhf xf xf xhf110

27、11()()2()4()62nnkknkkkxxhf xf xf xfnS第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式, 可见 使用复化梯形公式通过适当的组合,可以得到精度更高的Simpson公式,其代数精度可以由1提高到3 同理,由复化Simpson公式可以得到2221(-)41nnnISSS 222441nnSS6(),O h即,可以得到计算精度为代数精度为5的Cotes公式 同理,由复化Cotes公式可以得到2231(-)41nnnICCC 323441nnCC=8(),RombergO h即,可以得到计算精度

28、为代数精度为7的公式nCnR第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Romberg方法: 通过使用以下公式24 (4-25)4 1nnnTTS 2224 (4-26)41nnnSSC 3234 (4-27)41nnnCCR Romberg逐步求积分的过程,称为方法Romberg以上公式称为公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Romberg计算图1248TTTT1SSS24CC12R116T8S4C2R32T16S8C4R设

29、为给定的误差限11222,kkkRRR,当时 取为积分的近似值Romberg这样一个计算过程称为积分算法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式1204.64 1RombergIdxx-4例用积分方法计算积分,使精度 10kTSCR1323.13.1333333.131183.141573.1421243.138993.141593.141593.1415853.140943.141593.141593.141595210.00001 10 ,RR由于满足精度要求第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内

30、插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( ), , ,f xa b 对于任一函数在区间上 构造数值积分公式0( )()nkkkQ fA f x ( )( ),mf xmpx若当是不超过 次的多项式 不妨记为时 有( )( )mmI pxQ px1( )1( ),mf xmpx而当是次的多项式 不妨记为时 有11( )( )mmI pxQ px( )mQ f则称的代数精度为第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式011( )()()(), ()(),0,1,.,nkkkjjmmQ

31、fA f xmI xQ xI xQ xjm 求积公式具有 次代数精度的充分必要条件是定理4.7证明充分性( )mmpx对任意不超过 次的多项式,总可以表示为20120( )mmjmmjjpxaa xa xa xa x ( )mI px因此0mbjjaja xdx0mbjjajax dx 0()mjjja I x0()mjjja Q x00mnjjkkjkaA x00nmjkjkkjAa x0()nkmkkA px( )mQ px第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )Q fm 所以,求积公式有至少 次代数精

32、度.11()()mmI xQ x又因为,m由代数精度的定义知,公式的代数精度为必要性(0,1,.,),jxjmm 由于均为不超过 次的多项式11()()mmI xQ x如果 则由充分性知1m,其代数精度至少应为次.,与定义矛盾.证毕第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.8 (广义Pean o定理)( )( )-( ) ( ) , ,( ), ( ) ( )E fI fQ fE fa bQ fmE f xE R x 设由 定义的误差是区间上的连续函数 近似公式具有的 次代数精度 则 01201012( )

33、,., ( ) ( )( -)( -)( -),., , 1mmmR xf x x xxxxxx xx xx xx x xxa bm其中 而是上的个任意点第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式11( )1 ,12f xdxABC时 左右11( ),0f xxxdxACD 时 左右12212( ),3f xxx dxAB时 左右1331( ),0f xxx dxAC 时 左右141,0333ABCD联立方程 解出111 ( )( 1)4 (0)(1)3f x dxfff为使公式具有尽可能高的代数精度,可期望其代数

34、精度为311 ( )( 1)(0)(1)(0), ,f x dxAfBfCfDfA B C D例.确定数值积分公式中的求积系数使公式具有尽可能高的代数精度 并求其误差第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )( )E fE R121 1,0,0,1, (1)(1)fx xxxdx121 1,0,0,1, (1)(1) 11 fxxxdx (4)( )4() 11 (3 1)!15f (4)1( ) 11 90f 4-1,0,0,1,因此,由广义Peano定理可以取 个点2( ) 1,0,0,1, (1)(1)

35、R xfx xxx( )( )I RQ R1( 1)4 (0)(1)3RRR11445111212( ),1 0 15533f xxx dxx当时 左右3m 因此其代数精度第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 , a bSimpson 对于上的公式,2( ) , , ()()222ab ababR xf ab x xaxxb ( )( )E fE R则( ( )( ( )I R xQ R x111( ) ( )4 ()( )32abR x dxR aRR b3,m 由于其代数精度4,22ab abab由广义P

36、eano定理知,可以取 个点211 , , ()()222ab ababf ab x xaxxb dx5(4)()( ) ( , )2880bafa b 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10, , ( )(0)(1)(0)(1)A B C Df x dxAfBfCfDf例. 求以下数值积分公式求积系数使公式具有尽可能高的代数精度 并求其误差20, ( )(0)( )(0)( )2hhf x dxff hhffh例. 已知以下的数值积分公式,试确定其中的系数使公式具有尽可能高的代数精度 并给出其代数精度及误

37、差公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式0110114.8 , ( )()( )A Bx xIf x dxAf xBf x例求公式系数及节点使以下求积公式具有尽可能高的代数精度 解:使用待定系数法由于有4个参数,因此可期望代数精度为323( )1, ,f xx xx分别取代入可得到以下等式 联立方程组2AB010AxBx220123AxBx33010AxBx0111, 3/33/3ABxx 解得1-133( )(-)()33f x dxff因此 代数具有的精度为3(4)1( )( )135E ff并且可以求得第第4章

38、章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式因此可知:22( )np x设取次多项式22201( -) ( -)( -)nx xx xx x0( ( )( )niiiQ p xA p x则有 2( ( )( )baI p xx dx而ix考虑如何选择节点 ,使积分公式的代数精度尽可能高 ( ) ( )bax f x dx考虑以下一般形式的积分问题:( )0, , ,xxa b 其中 连续函数称为权函数2( )( )p xx0012 , 1nn代数精度至多可以达到代数精度至多可以达到个节点的求积公式个节点的求积公式具有具有第第4章章 数

39、值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式( ), ( )( , ), ( ),( ) ( ) ( )( )( ),( , )baf x g xa bxx f x g x dxf xg xf g 设是区间上的连续函数为权函数称积分 为与的内积 记作定义( , )0,( )( )( , )( )f gf xg xa bx 若则称与在区间上按权函数正交( ),0,1,.( , )xja bj 若函数族在上两两正交,即0, (,)0, ijiijAij ( ),0,1,.xjj正则称为交函数族第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4

40、.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式sin,1,2,.0,kx k 容易验证:函数族是区间上权为1的正交函数族;( )jjxj 若是最高项系数为的 次多项式_1( )( ),1,2,.,( )1jjjxxjx 构造形成权为的最高次项系数为的正交多项式,( ),1,2,.jxj且( , )( )a bx是上以为权的正交多项式系1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,.,xxxx 函数族是区间上权为1的正交函数族;第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式010( )( ),( ),( ), (

41、)( )nnjjjjnp xxxxp xcxc 对任何次数不超过 的多项式都可以由正交多项式线性表示 即 其中: 为适当的常数.1( ) ( )( )0bnax p xx dx由此容易得到 1, ( ),0,1,2,., ,( )( )0kbknap xxknx xx dx若取有 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式_10_11( )0,( )1,( )()( )( ),1,2,.kkkkkxxxxxx k 若取则正交多项式系有如下递推关系 定理4.9证明: _100,)( )() 10bax xdx 则有 (0( )

42、( )0bbaax xdxxdx00000(,)(,)x _11,kkkkkkkkkkx其中 , _010( )1( )xxx设与正交00( )( )( )bbbaaax xdxxdxx dx因此第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式_1, (,)kk一般地_1(),)kkkkkx _1(),)(,)kkkkkkx 0_1(,)0kk由此函数系的正交性:_(),)0kkkx因此_(,)(,)kkkkkx ,即_(,)(,)kkkkkx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项

43、式型求积公式与正交多项式_11(,)0kk又因为 _11 (),)0kkkkkx 有_111 (),)(,)0kkkkkkx _1(,)0kk而_1111 (,)(,)(,)0kkkkkkkkx _1_11(,) (,)kkkkkx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式_11(,)(,)kkkkxx注意到_1,kxk由于为 次多项式 展开后为_1( )kxx_1(,)kkx由正交性 _11(,)(,)kkkkk因此可得 证毕_( )kx_110110( )( )( )kkcxcxcx_(,)kk第第4章章 数值微积分数值

44、微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式11111211( )( )()( )( ),0,1,.,kjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxx kx 对于最高项系数为的正交多项式系有如下递推关系 其中 推论4.10 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式_( ),( , )nnxna b 次正交多项式有 个互异的实根 并且全部定理4.11在区间内证明:_(1),( )( , )n nxa bn(1)证明有根. 对于固定的若在不变号不妨设其恒为大于零,则_( )( )

45、bnaxx dx_0( )( )( )bnaxxx dx0与正交多项式矛盾_11( , ),( )0nxa bx因此至少存在一个数使_1( )nxx(2)证明根为单根.假设 是的重根_21( )2()nxnxx,则是次多项式由正交多项式有_21( )( )( )0()bnnaxxxdxxx_21( )( )( )()bnnaxxxdxxx但_221( )( )()bnaxxdxxx=01x 为单根第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式_12( )( , )(),.,nlxa blln x xx假设在中只有 个根12( )

46、(lx xxxxxx222=)12(lxxxxxxn由于)的次数低于 次_12( )( )(nlxx xxxxxxba则由正交性)=022212( )( , )( ) ( )() ()()0blaxa bxx xxxxxx由在上不变号 _,( )( , )nxa bn由此矛盾因此可知在上确有 个互异实根. 证毕_12( )(nlx xxxxxx则)(3)证明根有n个第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1,21,.(0,1,2,.)knnGaussx kGauss 具有个节点的数值积分公式 如果其代数精度达到则称此类积分

47、公式为型求积公式 相应的求积公式节点称为点0011( )():( , )( )(1.)12nkkkknnQ fA f xxaxxxbGaussa bxxn 数值积分公式 的节点是点的充分必要条件是它们是区间上以为权的正交多项式的定理4个根第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式证明: 必要性01,.,nx xxGauss设为点01( )( -)( -)( -)nnxx xx xx x记21,( ),Gaussnnp x由于型求积公式具有次代数精度 因此对于不超过 次的多项式有( )( ) ( )nxx p x dxba0(

48、)()njjnjjA p xx0( )( )( )p xxxnn由的任意性可知,按权函数与任何不超过 次的多项式正交01( ),( ),.,( )nxxx,即正交1110( )( ) ( )nnnnnnnxxp xxx 令 由于1( )( ),nxx则 为以为权的正交多项式011,.,( )nnx xxx并且 为的根第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式充分性( ),0,1,.,( , )( )kx kna bx设是上以为权的正交多项式101( )1,.,nnxnx xx取的个根为求积公式的节点101( )( -)( -

49、)( -)nnnxx xx xx x则121( ),( )( )( )( )nnq xq xp xxr x对任意不超过次多项式有 ( )( )p xr x其中,和均为不超过n次的多项式1( )nx由的正交性( ) ( )bax q x dx1( ) ( )( )( ) ( )bbnaax p xx dxx r x dx( ) ( )bax r x dx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1nn由于具有个节点的插值型求积公式具有至少 次代数精度, ()(),0,1,2,.,jjq xr xjn而且0 ( ) ( )()n

50、bjjajx r x dxA r x因此0()njjjA q x21,0,1,2,.,jnxjnGauss因此,求积公式具有次代数精度即是点第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式 由定理4.12可知,如果采用正交多项式的根作为求积公式的节点,则可以保证公式具有最高代数精度 ,kkxA确定了 之后由以下公式计算系数( ) ( )bjjaAx l x dx( )( ) ()()bajjxxdxxxx11( )( ) 0,1,.,()()bnajnjxxdxjnxxx由正交多项式的零点均为单重第第4章章 数值微积分数值微积分4

51、.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式Gauss型求积公式的误差Peano 由广义定理知21n,由于公式具有次代数精度,因此取_210011( ),., ( )nnnR xf x x x xx x xx,( ( )0Q R x显然( )( ( )E fE R x ( ) ( )I R xQ R x ( )I R x_210011( ) ,., ( )bnnnax f x x x xxxxxdx_210011,., ( )( )bnnnaf x x x xxxxxdx(22)_21( )( )( ),(22)!nbnafxxdx abn第第4章章 数值微积

52、分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式Gauss常用的正交多项式和相应的型求积公式(),-LegendreGauss Legendre(1)勒让德 多项式型求积公式(-1,1)( )1xLegendre 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式20:1( )1( )(-1) ,1,2,.2!nnnnndP xP xxnn dx 它的表达式为 _20(2 )!( ):2!( )1( )(-1) ,1,2,.(2 )!nnnnnnnP xnndPxPxxnndx_的首项系数为,因此得到首项系数为1的Legendre多项式 第第4章章 数值微积分

53、数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式0, ,)2,21mnmnP Pmnn 可以验证它的正交性 (0111( )1,( )21( )( )( )11nnnP xP xxnnPxxP xPxnn得到递推关系式 232111 1, ,(31),(53 ),.,(1)222!( 1,1)nnnndxxxxxn dx在区间-1,1上权函数 (x)=1的正交多项式为它们的根在上都是单根,并且关于原点对称第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( )nLegendrePxGaus

54、s取多项式的零点作为点,得到求积公式的系数1122111( )2()( )(1)()njjnjnjpxAdxxxpxxpx234(22)2( )( ( )( ( )( ( )2(1)!)( ) 11(22)! (23)nnE fE r xI r xQ r xnfnn 2221001101( ), ( -) ( -)( -)nnnnR xpxxx xxxx x xx xx x第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式(),-LaguerreGauss Laguerre(2)拉盖尔多项式型求积公式(0,)( )xxeLaguer

55、re 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式0:( )1( )(),1,2,.nxxnnndL xL xee xndx 它的表达式为 20, ,)( !) ,mnmnLLnmn具有正交性 (01211( )1,( )1( )(21)( )( )nnnL xL xxLxnx L xx Lx 递推关系式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式0( )1L x (0,)( )xxeLaguerre 在区间上以为权函数的正交多项式为1( )1L xx 22( )42L xxx323( )9186L xxxx 4324( )16

56、729624Lxxxxx54325( )25200600600120L xxxxxx 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( ),-nLaguerreLxGaussGauss Laguerre 取多项式的零点作为点 则求积公式21(1)!,0,1,2,.,()jjnjnAjnx Lx2(22)(1)!( )( ),(0,)2(1)!nnE ffn 00( )()nxjjjef x dxA f x 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式(),-C

57、hebyshevGauss Chebyshev(3)切比雪夫 多项式求积公式21( 1,1)( )1-xxChebyshe 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式0:( )1( )cos( arccos ), 1,1,1,2,.nT xT xnx xn 它的表达式为 0, ,), 0/2, 0mnmnT Tmnmn具有正交性 (0111( )1,( )( )2( )( )nnnT xT xxTxxT xTx递推关系式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式21( 1,1)( )1-xChebyshex 在区间上以为权函

58、数的正交多项式0( )1T x 1( )T xx221( )12T xx33( )43T xxx424( )881T xxx535( )16205T xxxx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( )(21)cos,0,1,.,22,-nChebyshexjjnnGaussGauss Chebyshej 取n+1次多项式T的零点 x作为点 则求积公式,0,1,2,.,1jAjnn(22)21( )( ),( 1,1)(22)!2nnE ffn 1210( )()11njjf xdxf xnx 第第4章章 数值微积分数

59、值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式,-HermitGauss Hermit(4)多项式型求积公式2(,)( )xxeHermit 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式220:( )1( )( 1)(),1,2,.nnxxnndxxeendx 它的表达式为 H H0111( )1,( )1( )2( )2( )nnnHxH xxHxxHxnHx 递推关系式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式0( )1Hx 2(,)( )xxeHermit 在区间上以为权函数的正

60、交多项式为1( )2Hxx22( )42Hxx33( )812Hxxx424( )164812Hxxx535( )32160120Hxxxx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( ),-nHermitxGaussGauss Hermit 取多项式H的零点作为点 则求积公式112!,0,1,2,.,()()njnjnjnAjnHx Hx(22)1(1)!( )( ),(,)2(22)!nnnE ffn 200( )()nxjjjef x dxA f x 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gaus