证明不等式二

1、三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到得到和命题的条件和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成立的事实明显成立的事实等等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明的命题常常用反证法证明. 21,1, 2, 0, 1中至

2、少有一个小于中至少有一个小于试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba, 2 求证求证为实数为实数已知已知例例cba., 0, 0, 0.0.0, 0)(, 0, 0, 00, 0)2(.0,0, 0, 0)1(.00, 0,:所所以以原原命命题题成成立立同同理理可可证证综综上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾这

3、这和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾与与则则如如果果两两种种情情况况讨讨论论和和下下面面分分不不妨妨先先设设正正数数即即其其中中至至少少有有一一个个不不是是不不全全是是正正数数假假设设证证明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反证法主要适用于以下两种情形反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件直接由条件推出结论的线索不够清晰推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论需要分成多种情形

4、进行分类讨论而从反面进行证明而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达从而达到证明的目的到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外

5、,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.21, 3 caddbdccacbbdbaaRdcba求证求证已知已知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 证明证明baa bab dcc dcd 21 . caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四个不等式相加把以上四个不等式相加.111, 4bbaabababa 求证求证是实数是实数已

6、知已知例例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 证明证明补充例题补充例题:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求证证为为正正数数且且的的三三边边长长是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函数数在在易易知知设设函函数数证证明明)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求证证不不全全为为零零已已知知实实数数22 )2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx： 证明证明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式相加得式取不到等号式取不到等号故上述三式中至少有一故上述三式中至少有一不全为零不全为零由于由于)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如缩缩应应用用基基本本不不等等式式进进行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或缩缩小小分分一一些些项项或或加加进进舍