数学模型-第03章(第五版)

1、第三章 简单简单优化优化模型模型优化优化工程技术工程技术、经济管理、科学研究中经济管理、科学研究中的的常见问题常见问题. 用数学建模方法解决优化问题用数学建模方法解决优化问题的过程的过程简单优化模型归结为简单优化模型归结为函数极值函数极值问题，用问题，用微分法微分法求解求解. . 材料强度最大材料强度最大运输费用最低运输费用最低利润最高利润最高风险最小风险最小优化优化目标与目标与决策决策模型模型假设假设与建立与建立数学数学求解与求解与分析分析属于数学规划的属于数学规划的优化优化模型模型在第在第四四章章讨论讨论.3.1 存贮存贮 模型模型3.2 森林救火森林救火3.3 倾倒倾倒的啤酒杯的啤酒杯3

2、.4 铅球铅球掷远掷远3.5 不买不买贵的只买对的贵的只买对的3.6 血管血管分支分支3.7 冰山冰山运输运输3.8 影院影院里的视角和里的视角和仰角仰角3.9 易拉罐易拉罐形状和尺寸的最优设计形状和尺寸的最优设计第三章 简简单单优优化化模模型型3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量已知某产品日需求量1

3、00件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要要求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次, 每次每次100件件,无贮存费无贮存费,准备费准备费5000元元.日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存

4、费每日每件1元元. 10天生产一次天生产一次, 每次每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元元. 50天生产一次天生产一次,每次每次5000件件, 贮存费贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元元.平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次天生产一次, ,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 是是一个优化问题，关键在建立目标函数一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用

5、一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值. 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总存在最佳的周期和产量，使总费用费用 (二者二者之之和和) 最小最小.模模 型型 假假 设设1. 产品每天的产品每天的需求量需求量为常数为常数 r；2. 每次生产每次生产准备费准备费为为 c1, 每天每件产品每天每件产品贮存费贮存费为为 c2；3. T天天(一周期一周期)生产生产一一次次, 每

6、次生产每次生产Q件，当件，当贮存贮存量量降降 为零时，为零时，Q件产品件产品立即生产出来立即生产出来 (生产生产时间时间不计不计)；建建 模模 目目 的的r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小. .4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用221QTccC每天总费用平均每天总费用平均值（目标函

7、数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化20( )dTcq tt一周期贮存费为一周期贮存费为A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解min2)(21rTcTcTC求求 T 使使d0dCT212crcrTQ212rccT 模型解释模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2, r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响T对对c1的的(相相对对)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTS11ddcTc T21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c

8、2或或r增加增加1%, T减少减少0.5%经济批量订货经济批量订货公式公式(EOQ公式公式)212rccT 212crcrTQ 用于订货供应情况用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型模型应用模型应用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原问题回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1, 每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 , T天天(周期周期) 订货订货一一次次,每次每次订货订货Q件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，Q件立即到货件立即到货.思考思考: 为什么与前面计算的为什

9、么与前面计算的C=950元有差别元有差别?允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失.原模型假设：原模型假设：贮存量降到零时贮存量降到零时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到货或立即到货).现假设：现假设：允许缺货允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足.T1rTQ Ac2Bc3周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用一周期一周期贮存费贮存费120( )dTcq tt一周期一周期缺货

10、费缺货费13( )dTTcq ttTCQTC),(0,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用( ,)minC T Q 求求 T ,Q 332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型相比，相比，T T记作记作T T , , Q Q记作记作Q Q . .允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT 212crcrTQ不不允许允许 缺货缺货模型模型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,33

11、2212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型OqQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR存存 贮贮 模模 型型 存贮模型存贮模型(EOQ公式公式)是研究批量生产计划的是研究批量生产计划的重要理论基础重要理论基础, 也有实际应用也有实际应用. 建模中建模中未考虑生产费用未考虑生

12、产费用, 为什么为什么?在什么条件下在什么条件下可以不可以不考虑考虑? 建模中假设生产能力为无限大建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计生产时间不计), 如果如果生产能力有限生产能力有限(是大于是大于需求量的常数需求量的常数), 应作应作怎样的怎样的改动改动?3.2 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,

13、 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致

14、图形的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论单位时间转而讨论单位时间烧毁面积烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度森林烧毁的速度).模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度火势蔓延速度). 2）t1 t t2, 降为降为 x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度). 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 .假设假设1）的解释）的解释 rB

15、火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比.面积面积 B与与 t2 成正比成正比dB/dt与与 t 成正比成正比xbtt12220d( )ddtBB ttt模型建立模型建立ddBtbOt1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求

16、解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数 c2 x c1, t1, x c3 , x 231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ?结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数ddBtbOt1t2xt模型应用模型应用费用参数费用参

17、数c1,c2,c3已知已知 , 由森林类型、队员能力等因素决定，可由森林类型、队员能力等因素决定，可设设置一系列置一系列数值备查数值备查.模型可决定模型可决定队员数量队员数量 x231221122ctctcx开始救火时刻开始救火时刻t1可可估计估计 评注评注在在风力的影响风力的影响较大时较大时“森林烧毁速度森林烧毁速度dB/dt 与与 t成正比成正比”的的假设需要重新考虑假设需要重新考虑.队员灭火队员灭火速度速度 应该与开始救火时的火势有关应该与开始救火时的火势有关.不平坦不平坦处满杯啤酒容易倾倒处满杯啤酒容易倾倒.杯子杯子中央稍下一点中央稍下一点的位置的位置.重心有一个最低点重心有一个最低点

18、 啤酒杯容易放稳的位置啤酒杯容易放稳的位置.饮酒时饮酒时重心先重心先降低，再降低，再升高升高，回到，回到中央中央.建立数学模型建立数学模型描述啤酒杯的重心变化的规律，描述啤酒杯的重心变化的规律，找出重心最低点的位置，讨论找出重心最低点的位置，讨论决定决定最低点最低点的的因素因素.重心太高！重心太高！满杯满杯时重心在哪里？时重心在哪里？空空杯杯时重心时重心在哪里？在哪里？ 与满杯时与满杯时重心相同重心相同.倒倒酒时酒时重心重心先升高，再降低先升高，再降低，回到，回到中央中央.3.3 倾倒的啤酒杯倾倒的啤酒杯问题问题分析与模型假设分析与模型假设 s(x)1液面液面x0 x最简单的啤酒杯最简单的啤酒

19、杯 高度为高度为1的的圆柱体圆柱体.沿中轴线建立沿中轴线建立坐标轴坐标轴x，倒酒时，倒酒时液液面高度从面高度从x=0到到x=1.假设假设：啤酒和杯子材料啤酒和杯子材料均匀均匀.w2 空杯侧壁质量空杯侧壁质量w3 空杯底面质量空杯底面质量空杯重心由空杯重心由w2和和w3决定决定, 与与x无关无关.重心重心位置位置沿沿x轴轴变化，记作变化，记作s(x).w1 啤酒啤酒 (满杯满杯) 质量质量 s1=x/2 s2=1/2液液面高度面高度x时时啤酒啤酒质量质量w1x, 啤酒啤酒重心重心位置位置 s1=x/2问题问题分析与模型假设分析与模型假设 s(x)1液面液面x0 xw1 啤酒啤酒 (满杯满杯) 质

20、量质量w2 空空杯侧壁杯侧壁质量质量, w3 空空杯底面质量杯底面质量空杯重心位置空杯重心位置 s2=1/2忽略空杯底面质量忽略空杯底面质量w3 建立啤酒杯建立啤酒杯重心重心模型模型一一啤酒杯重心啤酒杯重心s(x)由由啤酒重心啤酒重心和和空杯空杯重心重心合成合成.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一 s1=x/2 s2=1/2 s(x)1液面液面x0 xs=s(x) 液面高度液面高度x的的啤酒杯重心啤酒杯重心啤酒质量啤酒质量w1x空杯质量空杯质量w2啤酒重心啤酒重心s1空杯重心空杯重心s2力矩平衡力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一啤酒杯重心啤酒杯重心s(

21、x)只与质量比只与质量比a有关有关a = w2/w1w1 啤酒质量啤酒质量w2 空杯质量空杯质量00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5a=0.1a=0.3a=0.5a=1xsa=0.3, x=0.35左右左右s最小最小, 即即重心最低重心最低.对于每个对于每个a, s(x)有有一一最小最小点点.x =0.35啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一a = w2/w1微分法求解微分法求解s极值极值问题问题x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axa液

22、面高度为液面高度为x时啤酒杯时啤酒杯重心处于最低位置重心处于最低位置.x 由由质量比质量比a决定决定结果结果分析分析半升啤酒杯半升啤酒杯w1=500g空杯质量空杯质量w2取决于材料取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯纸杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒约剩一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！时重心最低，最不容易倾倒！ 设设w2=150g(a = w2/w1)x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axaa=0.3x=0.3245w2 a x 空杯越空杯越重重,重心重心最低时的液面越高最低时的液面越高.重心重

23、心最低最低位置位置x由比值由比值a决定决定结果结果分析分析(a = w2/w1) = xs(x)x啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.意料之外意料之外? ?情理之中情理之中! !直观解释直观解释x=0时时s=s2=1/2xs1=x/2向下作用向下作用sx=sxs1=x/2向上作用向上作用s x=1时时s= 1/2结果结果分析分析啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.数学分析数学分析ds/dx与与 (x-s) 同号同号.xs时时ds/dx s时时ds/dx 0sx=s时时ds/dx =0, s达到最小值达到最小值.x 啤酒杯重心模

24、型啤酒杯重心模型二二 s1=x/2 s2=1/2 s(x)1液面液面x0 xs3=0 考虑考虑空杯底面质量空杯底面质量w3 底面厚度底面厚度杯子高度杯子高度力矩平衡力矩平衡332211321)(swswxswswwxw底面重心底面重心 s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0时与模型一相同时与模型一相同.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型二二a = w2/w1 b = w3/w1=s(x)啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.与模型一与模型一 a=0.3时时 x=0.3245比较比较设设侧壁和底面的厚度和材质相同侧壁和底面的厚度和材质相同,

25、侧壁高度侧壁高度h, 底面直径底面直径 d, h=2dw3/w2= d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8) 0.3=0.0375小结与评注小结与评注对于一个饶有生活情趣的现象对于一个饶有生活情趣的现象建立建立数学数学模型模型：对对杯子杯子作适当作适当的的简化简化假设假设.用用基本基本物理物理知识知识构造构造优化优化模型模型.用用导数导数、极限、作图、极限、作图等等方法方法给出给出求解求解结果结果.对对结果结果作作数学分析数学分析并并给予给予实际实际解释解释.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型二二啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.啤酒杯重心模型啤

26、酒杯重心模型一一既在既在意料之外意料之外又在又在情理之中情理之中的结果的结果.函数函数s=s(x)的最小的最小点点x*是是不动点不动点，即，即x*=s(x*)有趣的现象有趣的现象: 只要啤酒杯是只要啤酒杯是旋转体旋转体(如如圆台圆台或或球台球台), 上述结果就成立！上述结果就成立！旋转体旋转体侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成成.小结与评注小结与评注 3.4 铅球掷远铅球掷远铅球掷远起源于铅球掷远起源于14世纪世纪欧洲欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.男子铅球早在男子铅球早在1896年第年第1届奥运会上就被列为届奥运会上就被列为比赛项目比赛项目.影响

27、影响投掷距离的因素投掷距离的因素：找出最佳出手角度找出最佳出手角度.定量分析投掷距离与定量分析投掷距离与这些因素这些因素的关系的关系.研究研究这些因素这些因素的微小改变对投掷距离的影响的微小改变对投掷距离的影响.常识判断常识判断初始速度初始速度出手角度出手角度出手高度出手高度问题分析问题分析x男子铅球直径男子铅球直径11至至13cm,重量为重量为16磅磅(合合7.26kg).在短暂的飞行中所受的在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略阻力可以忽略.将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手角度投出后，角度投出后，在重力作用下作斜抛运动在重力作用下作斜抛运动.影

28、响影响投掷距离的因素投掷距离的因素：初始速度初始速度v出手角度出手角度出手高度出手高度h重力重力vsyxO模型一不考虑铅球出手高度不考虑铅球出手高度 初始速度初始速度v与与x轴的夹角轴的夹角g 重力加速度重力加速度t=0时铅球从坐标原点时铅球从坐标原点O投出投出.2/sin,cos2gtvtyvtxs 投掷距离投掷距离斜抛运动斜抛运动的基本定律的基本定律gvs2sin22/sin0,cos2gtvtvts落地落地模型一gvs2sin212sin出手角度出手角度=/4时时最佳出手角度最佳出手角度/4与初始速度与初始速度v无关无关.“物体以物体以45度角抛出的距离最远度角抛出的距离最远”对任何出手

29、角度对任何出手角度，投掷距离投掷距离s与与v2成正比成正比.初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.结果分析结果分析gvs/2投掷距离投掷距离 最大最大.hO 重力vsyx模型二铅球出手高度铅球出手高度为为ht=0时铅球从时铅球从 (0, h) 投出投出2/sin0,cos2gtvthvtsgvs2sin2h=0 时时与与模型一模型一 相同相同.hgvgvgvs2sincoscossin222模型二hgvgvgvs2sincoscossin2220dds 直接用直接用 求求最佳出手角度计算太繁最佳出手角度计算太繁. 2/sin0,cos2gtvthvtsg

30、hvgvs22最佳出手角度最佳出手角度最最远远投掷距离投掷距离0cos2tan222vgsshtan2gvs 0cossincos3222vgss0sin2222gvgvh0dds)( 2sin2ghvv模型二hgvgvgvs2sincoscossin222ghvgvs22最佳出手角度最佳出手角度最最远远投掷距离投掷距离)( 2sin2ghvv最佳出手角度最佳出手角度0, 递增递增渐渐慢慢dU(x)/dx 0, 递减递减01234567891000.511.522.533.544.5xU(x)dU/dx3/1, 2()(aaxxUdU(x)/dx “边际效用递减边际效用递减” 经济学中普遍、重

31、要的法则经济学中普遍、重要的法则.效用函数和边际效用效用函数和边际效用特性的特性的数学表述：数学表述：01234567891000.511.522.533.544.5xU(x)dU/dx3/1, 2()(aaxxUdU(x)/dx 效用函数效用函数 U(x)现实生活中的诸多表现现实生活中的诸多表现.效用效用递增递增边际边际效用效用递减递减无差别曲线无差别曲线U(x, y) 两个变量两个变量x, y的的效用函数效用函数x片面包和片面包和y根香肠的组合根香肠的组合几种组合的效用函数相等几种组合的效用函数相等A1 1片面包加片面包加4根香肠根香肠A2 4片面包加片面包加1根半香肠根半香肠A37片面包

32、加片面包加1根香肠根香肠A1, A2, A3连成一条曲线连成一条曲线U(x, y)=u1 (u1 常数常数)无差别曲线无差别曲线 效用函数效用函数的几何表示的几何表示.等效用线等效用线01234567800.511.522.533.544.55xyA1(1,4)A2(4,1.5)A3(7,1)无差别曲线无差别曲线B1(2片面包加片面包加5根香肠根香肠), B2, B3连成无差别曲线连成无差别曲线.01234567800.511.522.533.544.55xyA1(1,4)A2(4,1.5)A3(7,1)B1(2.5)B2(4,3)B3(7,2)C1(1,2)C2(7,0.5)效用函数效用函数

33、 U(x, y)=u的几何表示的几何表示U(x, y)=u2 (u2 u1)C1(1片面包加片面包加2根香肠根香肠), C2连成无差别曲线连成无差别曲线.U(x, y)=u3 (u3 u1)OyU(x,y) = ux1l2l3lu增加效用函数效用函数值值u增加增加无差别曲线无差别曲线上移上移无差别曲线无差别曲线 U(x, y)=u1,0, 0,),(ayaxyxU典型的效用函数典型的效用函数00.511.522.533.544.55012345678910 xyU(x,y)=1U(x,y)=2U(x,y)=3a=1, =1/3, =1/2效用效用递增递增边际边际效用效用递减递减一元函数一元函数

34、U(x)二元函数二元函数U(x,y)无差别曲线无差别曲线的特性的特性下降下降几何直观几何直观下凸下凸互不相交互不相交u增加U(x, y) =uOxy“下降下降”的数的数学解释学解释无差别曲线上效用函数无差别曲线上效用函数U(x, y)=u不变不变隐函数隐函数U(x, y)=u求导公式求导公式y=y(x)0, y0）边际效用边际效用U/x, U/y用用x替代替代y后效用不变后效用不变2种可以相互种可以相互替代替代的商品的商品x, y0yyUxxUDDxdx ydyPx-yu增加U(x, y) =u0 xy无差别曲线无差别曲线的特性的特性下降下降下凸下凸互不相交互不相交无差别曲线无差别曲线的特性的

35、特性P1x1 y1P2 y2x2u增加U(x, y) =uOxy“下下凸凸”的的经济学解释经济学解释 y2/x2 (P2的替代率的替代率) y1/x1 (P1的替代率的替代率)P1 x少少, y多多2种可以相互种可以相互替代替代的商品的商品x, yP2 x多多, y少少x2=x1( y2)( y1)“物以稀为贵物以稀为贵”0)(dxdydxd曲线下凸（凸向原点）曲线下凸（凸向原点） dy/dx 对对x的导数的导数为为负负“边际替代率递减边际替代率递减”下降下降下凸下凸互不相交互不相交022dxyd无差别曲线无差别曲线的特性的特性“互不相交互不相交”的的解释解释下降下降下凸下凸互不相交互不相交如

36、果无差别曲线如果无差别曲线U(x, y)=u1与与U(x, y)=u2 相交相交于于P.则则交点交点P的效用函数将的效用函数将取取2个不同的数值个不同的数值u1, u2 .不可能不可能!u1 u2 u增加U(x, y) =uOxyU=u1U=u2P效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙商品的单价甲乙商品的单价x, y 购买购买甲乙商品数量甲乙商品数量已知已知甲乙两种甲乙两种可替代可替代商品商品的的效用函数效用函数, 用用一定数额的钱购买多少甲一定数额的钱购买多少甲、多少乙多少乙？问题问题由由效用函数最大效用函数最大确定确定购买购买数量数量.U(x, y) 效用函数效用函数效用最大化效用

37、最大化原理原理s 准备付出的钱准备付出的钱 sypxptsyxU21. .),(max效用最大化模型效用最大化模型 模型求解模型求解几何分析几何分析 U(x, y)=u 下降、下凸、互不相交的下降、下凸、互不相交的无差别曲线无差别曲线.AB必与一条必与一条无差别曲线无差别曲线l相切相切于于Q点点消费点消费点效用最大化模型效用最大化模型 sypxptsyxU21. .),(max消费点消费点Q (x, y)的的U(x, y)最大最大AB与与l1交点交点Q1, U(x1, y1)4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(m3)船速船速(km/h

38、) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600km. 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同. 到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水.建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化

39、规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (km/h)与南极距离与南极距离d(km)融化速率融化速率r(m/天）天）r是是 u 的线性函数的线性函数d4000时时u与与d无关无关航行

40、航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 tkktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积30043VR343ttVRt天时体积天时体积总航行天数总航行天数31030134( , )()34tkkVV u Vtr选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积31030134( ,)()34TttVV u Vr到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc),()lg

41、(24),(30210ctVuVcucutVuq),)(lg(3211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/km)q1对对u线性线性, 对对lgV 线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),(),(1)43(34lg)6(2.731310tkkrVuu V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水

42、费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）（英镑）uT400航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS1)43(34lg)6(2 . 7),(3131010tkkTtrVuuVuQ冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积),(85. 0),(00VuVVuW3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每立方米水费用米水费用 ),(),(),(000VuWVuSVuY

43、31030134( ,)()34TttVV u Vr到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速,使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(km/h), V0= 107 (m3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.822

44、06.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船大型拖船V0= 107 (m3),船速船速 u=45(km/h), 冰山到达目冰山到达目的地后每立方米水的费用的地后每立方米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英

45、镑英镑).虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙但是模型假设和构造非常简化与粗糙. 模型来自实际问题的模型来自实际问题的可行性研究可行性研究. 收集数据收集数据是建模的重要准备工作是建模的重要准备工作. 根据数据得到的根据数据得到的经验公式经验公式是建模的基础是建模的基础. 冰山形状的冰山形状的球形假设球形假设简化了计算简化了计算, 这个这个假假 设设的的合理性合理性如何如何?如果改变它呢如果改变它呢?小结与评注小结与评注前排座位前排座位？后后排座位排座位？中间中间座位座位？前后排前后排主要差别主要差别：视角和仰角视

46、角和仰角视角视角眼睛到屏幕眼睛到屏幕上、下边缘视线上、下边缘视线夹角夹角.视角大视角大画面看起来饱满画面看起来饱满.仰角仰角眼睛到屏幕眼睛到屏幕上边缘视线上边缘视线与水平线夹角与水平线夹角. 仰角太大仰角太大头部过分上仰头部过分上仰.总体总体上使观众上使观众视角尽可能大视角尽可能大.影院设计影院设计对对仰角仰角加加一定一定限制限制.3.8 影院里的视角和仰角影院里的视角和仰角c hbdq地板线地板线屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面垂直于屏幕和地面的影院垂直于屏幕和地面的影院纵向剖面纵向剖面示意图示意图影响影响 和和 的因素的因素:简化问题简化问题ch, q, c基本固定基本固定.排数排数n

47、固定固定, d改变不大改变不大.b和和 可在一定范围内调整可在一定范围内调整.hbdq 影院设计影院设计某一排观众的某一排观众的视角视角 和和仰角仰角 眼睛眼睛至至地地板距离板距离简化问题简化问题1. 观众观众视角平均值尽量大视角平均值尽量大, 各排视角各排视角分散程度尽量小分散程度尽量小.2. 各排座位各排座位仰角仰角基本基本不超过不超过300(允许允许12排例外排例外).3. 前排观众前排观众不遮挡不遮挡后排观众的后排观众的视线视线.h, d, q, c,n固定固定, 确定确定b和和 , 使使全体观众满意程度最高全体观众满意程度最高.c hbdq地板线地板线屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面

48、地面视角视角 ，仰角仰角 问题分析问题分析座位号座位号k(=1,2, n) 观众视角观众视角平均值平均值取取1到到n排排视角视角的的均值均值.视角分散程度用视角分散程度用n个视角个视角均方差均方差度量度量.观众满意程度定义为各排视角观众满意程度定义为各排视角均值与均方差之比均值与均方差之比. 变异系数变异系数视角视角 ,仰角仰角 优化问题的优化问题的目标函数目标函数(越大越好越大越好)c hbdq地板线地板线屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面 b, 优化问题的优化问题的决策变量决策变量越大越好越大越好越小越好越小越好问题分析问题分析仰角仰角 300，允许，允许12排不满足排不满足.优化问题的

49、优化问题的约束条件约束条件k 前排观众前排观众不遮挡不遮挡后排的后排的视线视线.条件：条件：设眼睛到头顶的高度设眼睛到头顶的高度c1，使后排观众眼睛到屏幕下边缘使后排观众眼睛到屏幕下边缘的视线在前排观众头顶之上的视线在前排观众头顶之上. 只只需需最后一排最后一排满足条件满足条件.只需检查前只需检查前3排排 的数值的数值.cqc1后后排排眼睛眼睛前前排排头顶头顶视线视线模型假设模型假设固定参数固定参数2mb 3m 决策变量决策变量c=1.1m h=2.5mbd=6m q=0.8m地板线地板线屏幕屏幕第第16排排第第1排排地面地面c1=0.1m 100 200模型模型假设假设c hbdq地板线地板

50、线屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面下仰角下仰角 眼睛到屏幕眼睛到屏幕下边缘视线下边缘视线与水平线夹角与水平线夹角. = - 当下边缘视线在水平线之下时当下边缘视线在水平线之下时取负值取负值.上上仰角仰角 眼睛到屏幕眼睛到屏幕上上边缘视线边缘视线与水平线夹角与水平线夹角. c qnc1AB第第n排眼睛排眼睛第第n-1排头顶排头顶tantann对对最后一排最后一排：qqctantan1qndqncbn)1(tan)1(tanqqcqndqncbtan) 1(tan) 1(1模型分析模型分析b和和 的改变的改变对对目标函数目标函数的的影响影响qkdqkcbk) 1(tan) 1(tanqkdhq

51、kcbk) 1(tan) 1(tanb k, k k ,k水平线水平线c k k hbd(k-1)qk第第k排排图形直观图形直观数学分析数学分析 k k kkk模型分析模型分析b和和 的改变的改变对对目标函数目标函数的的影响影响b k k )()()(,)(11)(,1)(121smvmnsnmnkknkk k m( ) tan) 1(tan) 1() 1() 1(tan2qkcbqkhcbqkdqkdhk数学分析数学分析b, k k s( ) k m( ) ?qqcqndqncbtan) 1(tan) 1(1约束条件约束条件: 前排观众前排观众不遮挡不遮挡后排的后排的视线视线.nkk, 3,

52、300约束条件约束条件: 仰角仰角b k k k300容易满足容易满足.模型分析模型分析b和和 的改变的改变对对约束条件约束条件的的影响影响b, k qdcnccdb11) 1(tanb, 条件容易满足条件容易满足.模型求解模型求解 )()()(,)(11)(,1)(121smvmnsnmnkknkkqkdhqkcbk) 1(tan) 1(tanqkdqkcbk) 1(tan) 1(tankkk设设h=2.5m, d=6m, q=0.8m,c=1.1m, c1=0.1m, n=16 求求b(2mb3m), (100 200)使使v( )最大最大. qqctantan1nkk, 3,300满足满

53、足 及及n ( ). 微分法难以求解，转向微分法难以求解，转向数值搜索法数值搜索法.模型求解模型求解 b(m)1001101201301401501601701801902002.03.14523.1443 3.1423 3.1392 3.1351 3.1300 3.12373.11633.10773.09813.08722.13.17953.1789 3.1772 3.1745 3.1707 3.1658 3.15983.1526 3.14433.13483.12402.23.21543.2152 3.2139 3.21153.2081 3.2034 3.19773.1907 3.18263

54、.17323.16262.33.25303.2532 3.2523 3.2503 3.2471 3.2428 3.23733.2306 3.22263.21343.20292.43.29243.2930 3.2925 3.2908 3.2880 3.2840 3.27873.2722 3.26453.25543.24512.53.33363.3347 3.3346 3.3332 3.3307 3.3270 3.32203.3158 3.30823.29943.28912.63.37673.3782 3.3785 3.3775 3.3754 3.3720 3.36733.3613 3.35393

55、.34523.33512.73.42173.4236 3.4243 3.4238 3.4220 3.4189 3.41453.4087 3.40163.39313.38312.83.46863.4710 3.4722 3.4720 3.4706 3.4679 3.46383.4583 3.45133.44303.43312.93.51763.5204 3.5221 3.5224 3.5213 3.5189 3.51513.5099 3.50323.49503.48533.03.56863.5720 3.5741 3.5748 3.5742 3.5721 3.56863.5637 3.55723

56、.54923.5396最大值位于最大值位于b=3.0m. 取取b, 离散值计算目标函数离散值计算目标函数v()b v() 3.5748 v() 最大值在最大值在 =130达到达到.3.0130模型求解模型求解 计算计算b=3.0m, =130的仰角的仰角 kk12345678 k36.2538 31.7947 27.9390 24.6005 21.7005 19.1701 16.9512 14.9951k910111213141516 k13.2615 11.7173 10.33509.09167.96846.94946.02145.1730除除 1, 2外外 k300qndqncbn)1(t

57、an)1(tanqqctantan1= -2.7685= -6.0433b=3.0m, =130确是整个模型的最优解确是整个模型的最优解. n模型求解模型求解 计算计算最优解最优解b=3.0m, =130的的视角视角 kk12345678 k18.6826 17.6371 16.5521 15.4975 14.5067 13.5927 12.7579 11.9990k910111213141516 k11.3103 10.6855 10.1178 9.60129.13018.69938.30447.9415均值均值m()=12.3135均方差均方差s()=3.4445随着随着k的增加的增加,

58、k下降下降很快很快, k变化不大变化不大.0246810121416510152025303540k k kk观众观众不妨不妨选择仰角下降选择仰角下降变缓的第变缓的第10排左右排左右.结果分析结果分析最优解最优解b=3.0m, =130的的敏感性分析敏感性分析b=3.0m处处, b=0.1m时时v0.052.93.51763.5204 3.5221 3.5224 3.5213 3.5189 3.51513.5099 3.50323.49503.48533.03.56863.5720 3.5741 3.5748 3.5742 3.5721 3.56863.5637 3.55723.54923.5

59、396 b(m)100110120130140150160170180190200 =130处处, =10 时时v =0.00073.5748 / =1%, v/v 0.003%b/b=1%, v/v 0.5%b对目标函数的影响比对目标函数的影响比 的影响大的影响大上百上百倍倍.小结与评注小结与评注影院屏幕和座位设计中的影院屏幕和座位设计中的简化简化问题问题：视角视角均值和均值和均方差均方差为为决策决策目标目标, 高度高度b和夹角和夹角 为为决策决策变量变量, 仰角仰角 和视线遮挡限制和视线遮挡限制为为约束条件约束条件, 建立建立优化优化模型模型.模型模型定量结果与定性分析定量结果与定性分析的

60、相互的相互印证印证,决策决策变量变量的的敏敏感性分析感性分析, 以及以及对各排座位仰角和视角的对各排座位仰角和视角的讨论讨论,丰富丰富了建模的了建模的成果成果, 拓拓广了模型的广了模型的应用应用.定性分析定性分析决策决策变量变量的变化对目标函数和约束条件的的变化对目标函数和约束条件的影响影响,结论结论与直观和常识相与直观和常识相符合符合, 是是模型检验模型检验一部分一部分.2.5 易拉罐形状和尺寸的易拉罐形状和尺寸的最优设计最优设计全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2006年年C题题以发表在工程数学学报以发表在工程数学学报2006年增刊上学生年增刊上学生优秀论文和评述文章为基本材料优