同济第三版-高数-(27) 第七节 函数的微分同济第三版-高数-

1、微分是和导数概念密切相关的一个概念，微分是和导数概念密切相关的一个概念，它起源于对函数增量的计算问题的讨论。直接它起源于对函数增量的计算问题的讨论。直接按定义计算函数的增量常常是困难的，因此人按定义计算函数的增量常常是困难的，因此人们希望找到一种计算函数增量的简便方法，于们希望找到一种计算函数增量的简便方法，于是就产生了微分的概念。而通过对函数微分的是就产生了微分的概念。而通过对函数微分的研究又进一步加深了对导数概念的认识。研究又进一步加深了对导数概念的认识。 函数增量对其性质的研究有着基本的重要性，但增函数增量对其性质的研究有着基本的重要性，但增量的计算常常是不便的。因为即使对最简单的函数，

2、按量的计算常常是不便的。因为即使对最简单的函数，按定义计算其增量也可能相当复杂。例如，对函数定义计算其增量也可能相当复杂。例如，对函数 y = x n,按定义计算其在任一点按定义计算其在任一点 x 处的增量有处的增量有 增量计算的复杂性自然会影响对函数性质的研究，增量计算的复杂性自然会影响对函数性质的研究，因而有必要寻求一种计算函数增量的简便方法。因而有必要寻求一种计算函数增量的简便方法。 100nnnn in iniiniinniiyxxxC xxxC xx. .例例：一圆形薄片受温度变化的影响，其半径由一圆形薄片受温度变化的影响，其半径由 r 变化到变化到 r + r，问：此时圆形薄片的面

3、积改变了多少问：此时圆形薄片的面积改变了多少？ 设圆形薄片面积为设圆形薄片面积为 S ，所论问题实际是考虑面积函，所论问题实际是考虑面积函数数 S = r 2 在在 r 处的增量。处的增量。 由于函数形式简单，可直接写出面积增量由于函数形式简单，可直接写出面积增量 S = ( r + r )2 - - r 2 = r 2 + 2r r +( r)2- - r 2 = 2 r r + ( r )2 . . S 由面积增量形式由面积增量形式 S = 2 r r + ( r )2 ，可看，可看出出 S 由两部分组成由两部分组成 第一部分第一部分：2 r r r 的线性函数的线性函数； 第二部分第二部

4、分： ( r )2 r 的高阶无穷小的高阶无穷小。 取取 r = 1 , , r = 0.01 ，则有，则有 S = 2 r r + ( r )2 = 2 1 0.01 + ( 0.01 )2 = 0.02 + 0.0001 0.02 ， 取取 r = 1 , , r = 0.001 ，则有，则有 S = 2 r r + ( r )2 = 2 1 0.001 + ( 0.001 )2 = 0.002 + 0.000001 0.002 ， 由此可见，在计算由此可见，在计算 S 的的过程中，过程中， S 的线性部分的线性部分 2 r r = A r 起着主要作用，而起着主要作用，而 r 的高阶的高

5、阶无穷小部分无穷小部分 ( r )2 = o( r )的作用却很小，以至可忽略不计。的作用却很小，以至可忽略不计。 于是当于是当| | r| | 1 时，可有近似计算公式时，可有近似计算公式 S A r，且且 | | S - - A r| |= | |o( r )| | | | r| | . . 因此猜想，对于一般的函数因此猜想，对于一般的函数 y = f( x )，其在任一点，其在任一点 x 处的增量处的增量 y = f( x + x )- f( x )是否也是否也可表示成如此形式？可表示成如此形式？ 即是否也可有即是否也可有 y A x + o( x )，且且 | | y - - A x|

6、 |= | |o( x )| |？ 如果这一如果这一猜想能够成立，函猜想能够成立，函数增量的计算将会变得简单得多！数增量的计算将会变得简单得多！ 设函数设函数 y = f( x )在某区间在某区间 I 内有定义，内有定义，x 0 及及 x 0 + x也在在该区间内，如果函数增量也在在该区间内，如果函数增量 y = f( x0 + x )- f( x0 )可表示为可表示为 y = A x + o( x )的形式，其中的形式，其中 A 是不依赖是不依赖于于 x 的常数，而的常数，而 o( x )是比是比 x 高阶无穷小，那末称高阶无穷小，那末称函数函数 y = f( x )在点在点 x 0 处是可

7、微的，而处是可微的，而 A x 叫做函数叫做函数 f( x )在点在点 x 0 处相应处相应于自变量增量于自变量增量 x 的微分，记作的微分，记作: : d y，即，即 d y = A x . . 由定义知，所谓函数由定义知，所谓函数 y = f( x )在点在点 x 0 处可微，就处可微，就是是 y = f( x )在点在点 x 0 处的增量有近似关系式处的增量有近似关系式 y = A x , , 且且 | | y - - A x |= |= | |o o( x )| | | | x | |，而，而 x 的线的线性式性式 A x 就是函数在该点的微分。就是函数在该点的微分。x 0 对于人为建

8、立的新概念，不仅需考察其是否和其它对于人为建立的新概念，不仅需考察其是否和其它已有概念的相容还需考察其是否具有可行性。因此，对已有概念的相容还需考察其是否具有可行性。因此，对如上定义的微分概念，需考察以下三个问题：如上定义的微分概念，需考察以下三个问题： 对于任意给定的函数对于任意给定的函数 y = f( x )，其在任一点，其在任一点 x 处的处的 增量增量 y 是否总可表为是否总可表为 x 的线性式？即是否总有的线性式？即是否总有 y A x，且且 y - - A x = o( x ). . 如果如果并非总不成立，则需确定在什么条件下能使并非总不成立，则需确定在什么条件下能使 y A x，

9、且且 y - - A x = o( x )成立？成立？ 如果在一定的条件下，能使如果在一定的条件下，能使 y A x 成立，还成立，还 需确定函数微分的具体形式，即需确定函数微分的具体形式，即 A = ？例例：考察函数考察函数 y = f( x )= 在点在点 x 在处的可微性在处的可微性。 根据定义，考察函数根据定义，考察函数 y = f( x )在点在点 x 处的可微性，就是要对处的可微性，就是要对 x ( - - , ,+ )，考察能否从其增量，考察能否从其增量 y中分离出中分离出 x 的线性式，即是否有的线性式，即是否有 y = f( x + x )- f( x ) = A x + o

10、( x ).32x 当当 x = 0 时时， 由于此时由于此时 y 的次数比的次数比 x 要低，故不可能从中分要低，故不可能从中分离出离出 x，即函数，即函数 y = f( x )在在 x = 0 处不可微。处不可微。 当当 x 0 时时， 32322300yffxxxxx, , 2233yffxxxxxx 244233332xxxxxxxxx 244233332xxxxxxxxx, , 此时要考察函数在点此时要考察函数在点 x 0 处是否可微就是要进一处是否可微就是要进一步考察式中步考察式中 x 的系数，看其是否能表示为与的系数，看其是否能表示为与 x 无关无关的形式，即是否有的形式，即是否

11、有 由极限与无穷小的关系，上述问题又可表示为如下由极限与无穷小的关系，上述问题又可表示为如下极限是否存在极限是否存在 记记: : 由于由于 x 0，故有，故有 由极限与无穷小的关系知由极限与无穷小的关系知 于是于是 f( x )在点在点 x 0 处的增量可表为：处的增量可表为： 因此当因此当 x 0 时，时，f( x )可微，且有可微，且有 244233332xxgxxxxxxx , , 2434200333322limlim.3xxxxgxxxxxxxx 323gxxx, , 32.3ygxxA xxoxxxx 32d.3yxx 本本 设设 y = f( x )在点在点 x 0 处可微，即在

12、点处可微，即在点 x 0 处有处有 y = f( x + x )- f( x )= A x + o( x ). .考察由此能导出考察由此能导出 y = f( x )的什么性质。的什么性质。 由这一关系式可以看出，由这一关系式可以看出， y 与与 x 是同阶无是同阶无穷小，即穷小，即 非零常数。于是想到考察非零常数。于是想到考察 y = f( x )在在任一点任一点 x 处的导数。处的导数。 这一结果说明，若这一结果说明，若 y = f( x )在点在点 x 0 处可微，则其必处可微，则其必在在 x 0 处可导，且处可导，且 A = f ( x 0 ). . 0limxyx 由上分析求得函数可微

13、的必要条件，且函数微分的由上分析求得函数可微的必要条件，且函数微分的系数系数 A 恰好就是函数在该点的导数恰好就是函数在该点的导数 f ( x 0 )，即有，即有 讨论命题成立的条件，人们想找到的是通常是充分讨论命题成立的条件，人们想找到的是通常是充分条件。在已知可微的必要条件的情形下，自然希望这一条件。在已知可微的必要条件的情形下，自然希望这一条件也是充分的。条件也是充分的。 如若不然，可考虑再增如若不然，可考虑再增加一些条件，这样常可较方加一些条件，这样常可较方便地找出命题的充分条件。便地找出命题的充分条件。( 设设 y = f( x )在点在点 x 0 处可导，考察处可导，考察 y =

14、f( x )在在 x 0 是是否可微，即在点否可微，即在点 x 0 处是否有处是否有 y = f( x 0 + x )- - f( x 0 )= f ( x 0 ) x + o( x ) 由于由于 存在，故由极限与无穷存在，故由极限与无穷小的关系有小的关系有 y = f ( x 0 ) x + ( x ) x = f ( x 0 ) x + o( x ) 由于由于 A = f ( x 0 )是与是与 x 无关的常数，故由定义知无关的常数，故由定义知, ,函数点函数点 x 0 处可微。处可微。 00limxyfxx 0yfxxx , , 于于是是 由上分析求得函数可微的充分条件为由上分析求得函数

15、可微的充分条件为 这一结果还说明，先前求得的函数可微的必要条件这一结果还说明，先前求得的函数可微的必要条件也是充分的。因此有如下函数可微的充要条件也是充分的。因此有如下函数可微的充要条件( ( 由函数可微的条件及相应的微分形式便可较方便地由函数可微的条件及相应的微分形式便可较方便地考虑函数的增量的近似计算问题。考虑函数的增量的近似计算问题。 在函数可微的条件下，由于在函数可微的条件下，由于 y = f ( x 0 ) x + o( x )= d y + o( x )， y d y = f ( x 0 ) x ，且有，且有 | y - - d y | = | |o( x )|， 由此误差估计关系

16、知，当由此误差估计关系知，当 x 很小时，很小时， | | y - - d y| =| |o( x )| 1 . .由此自然想到用由此自然想到用 d y 近似代替近似代替 y 作近似计算。作近似计算。 上述增量近似计算公式的建立又产生了新的问题，上述增量近似计算公式的建立又产生了新的问题，这就是如此求得的这就是如此求得的 y 的近似值在实际应用中在多大程的近似值在实际应用中在多大程度上是可靠的？在什么意义上是可靠的？度上是可靠的？在什么意义上是可靠的？ 关于近似计算精度的两个概念关于近似计算精度的两个概念： 如果某个量的精确值为如果某个量的精确值为 A ，近似值为，近似值为 a ，那未，那未|

17、 | A - - a | |叫做叫做 a 的绝对误差。的绝对误差。 绝对误差与绝对误差与 a 的比值的比值 叫做叫做 a 的相对误差。的相对误差。Aaa例例：设有甲、乙二人，甲购买名贵中药材：设有甲、乙二人，甲购买名贵中药材5050克，由于短克，由于短斤少两，实际得到斤少两，实际得到 45 克。乙购买煤炭克。乙购买煤炭 100 吨，由于运输吨，由于运输及装卸原因实际得到及装卸原因实际得到 99.5吨。问：如果仅考虑数量而不吨。问：如果仅考虑数量而不考虑价格，甲、乙二人谁的损失更严重？考虑价格，甲、乙二人谁的损失更严重？ 甲、乙二人损失的程度的严重性就是理论应得甲、乙二人损失的程度的严重性就是理

18、论应得与实际所得值之差的大小。从绝对误差的角度考察：与实际所得值之差的大小。从绝对误差的角度考察：甲损失的绝对数：精确值甲损失的绝对数：精确值 - - 近似值近似值 = 50 - - 45 = 5(克克)；乙损失的绝对数：精确值乙损失的绝对数：精确值 - - 近似值近似值 = ( 100 - - 99.5 )(吨吨) = 500000(克克)； 因此从绝对误差角度看，乙的损失要比甲大得多，因此从绝对误差角度看，乙的损失要比甲大得多，但这似乎这并不能反映实际情况，因为甲的总量很大。但这似乎这并不能反映实际情况，因为甲的总量很大。 从相对误差的角度考察：从相对误差的角度考察： 甲的损失率：甲的损失

19、率： 乙的损失率：乙的损失率： 从相对误差的角度看乙的损失要比甲大得多，这更从相对误差的角度看乙的损失要比甲大得多，这更 符合直觉的认识和实际情况。符合直觉的认识和实际情况。由此可理解近似计算及一般由此可理解近似计算及一般误差理论，只有当绝对误差和误差理论，只有当绝对误差和相对误差都很小时，近似计算相对误差都很小时，近似计算所得之值才可认为是可靠的。所得之值才可认为是可靠的。 5011045; ;精精确确值值近近似似值值近近似似值值- - 0.500.50100. .精精确确值值近近似似值值近近似似值值- -绝对误差绝对误差: : 由于当由于当| | x | |很小时，很小时，| | y -

20、- d y|=|=|o( x )| | 1，故近似计算公式故近似计算公式 y d y = f ( x ) x 绝对误差很小。绝对误差很小。 相对误差相对误差: : 当当 f ( x )= 0 时，时， d y = f ( x ) x = 0 ， y = f ( x ) x + o( x )= o( x )， 由于此时由于此时 y 已是已是 x 的高阶无穷小，故不存在用的高阶无穷小，故不存在用 x 的的线性式近似代替线性式近似代替 y 的问题。的问题。 当当 f ( x ) 0 时，时， 故有故有 | | y - - d y|=|=|o( y )| |，即近似计算公式，即近似计算公式 y d y

21、 = f ( x ) x 的相对误差也很小。的相对误差也很小。 此外，此外，当当 f ( x ) 0 时，时，即当即当 x 很小很小时，时， y 与与 d y 是等价无穷小，故有是等价无穷小，故有 y = d y + o( d y ). . 00dlimlimxxyyyfxxyy 00lim110limxxffxxyyxx . . 000 1limlimlim1dxxxyyyyfxfxxx, , 函数的微分不仅是一个概念，也是一种计算。函数的微分不仅是一个概念，也是一种计算。 从微分的形式从微分的形式 d y = f ( x ) x 看，微分计算本质上看，微分计算本质上是导数计算。只要求出了给

22、定函数是导数计算。只要求出了给定函数在指定点在指定点 x 处的导数处的导数 f ( x )，就，就可写出可写出函数在该点处的微分。函数在该点处的微分。例例：求函数求函数 y = f( x )= x 8 在点在点 x = 1 处处，当，当 x = 0.01 时时的增量和微分的增量和微分。78 80iiiiC xx y =( x + x )8 - - x 8 = = 8 x 7 x + 28 x 6( x )2+ 56 x 5( x )3 + 70 x 4( x )4 + 56 x 3( x )5 + 28 x 2( x )6+ 8 x( x )7， 取取 x = 1 ， x = 0.01，则有，

23、则有 23476541 0.018285670 xxyxxxxxxxx 156732 0.0156288xxxxxxxx 0.080.00280.0000560.083 . d y = f ( x ) x =( x 8 ) x = 8 x 7 x 取取 x = 1 ， x = 0.01，则有，则有 比较增量计算和微分计算比较增量计算和微分计算可见，微分计算要比增量计可见，微分计算要比增量计算简便得多，且误差不大。算简便得多，且误差不大。 711 0.010.01d88 0.010.08 .xxxxyxx 例例：研究函数研究函数 y = f( x )= x 在任一点在任一点 x 处的微分处的微分

24、。 由微分定义易求得：由微分定义易求得： d y = d x = f ( x ) x =( x ) x = x . . y = f( x )d y = f ( x )d x . .由于约定由于约定 d x = x 0 ，故由，故由 d y = f ( x )d x 有有 由此可获得对导数意义及记号的一种新的认识：由此可获得对导数意义及记号的一种新的认识： d.dyfxx 微商的概念使得该导数记号比其它导数记号多了一微商的概念使得该导数记号比其它导数记号多了一层运算意义。层运算意义。 例如，对于参数方程例如，对于参数方程 的导数计算问题，的导数计算问题，由微商的概念，它可归结为由微商的概念，它可

25、归结为 x 和和 y 的微分的微分 d x 和和 d y 的的计算及商的计算，即有计算及商的计算，即有 xtyt , ,. . ddd.dddyttttxtttt 设有曲线设有曲线 y = f( x )，对给定的，对给定的 x = x 0，它对应于曲，它对应于曲线上的一个点线上的一个点 M0( x 0 , ,y 0 )，当自变量，当自变量 x 在点在点 x 0 处有增处有增量量 x时，时，相应函数有增量相应函数有增量 y ，由此可对应曲线上的，由此可对应曲线上的另一个点另一个点 N( x 0 + x , ,y 0 + y ). 过点过点 M0 作曲线的切线作曲线的切线 M0 T，则切线斜率为，

26、则切线斜率为 K = f ( x 0 ). . 考虑微分考虑微分 d y = f ( x 0 ) x 的几何意义：的几何意义：xyO :C yfx0 x0y 0yy N 0 xx x dy PQ = M0 Q tan = f ( x 0 ) x T PQ0M y 在函数可微的条件下在函数可微的条件下 y = f ( x 0 ) x + o( x )= d y + o( x )，此关系式对一切此关系式对一切 x 都是成立的，并不要求都是成立的，并不要求 x 很小。很小。 而当而当 x 很小时有，很小时有，| y - - d y | = | |o( x )| 1 . .故可用故可用 d y 代替代

27、替 y 作近似计算，即作近似计算，即 y d y = f ( x 0 ) x . . 其几何意义为其几何意义为: :xyO :C yfx0 x0y 0yy 0 xx TP0M y dyNQdy y x 越小越小，| y - - d y | 越小，越小，用用d y 代替代替 y 近似程度越好近似程度越好。 x NQ ox 由微分定义及基本初等函数的导数公式容易写出基由微分定义及基本初等函数的导数公式容易写出基本初等函数的微分公式：本初等函数的微分公式： 由于微分运算实际上作导数运算，因而由导数运算由于微分运算实际上作导数运算，因而由导数运算 法则可方便地得到相应的微分运算法则。法则可方便地得到相

28、应的微分运算法则。 由微分的定义及复合函数的求导法则可方便地得到由微分的定义及复合函数的求导法则可方便地得到复合函数的微分运算法则。复合函数的微分运算法则。 设设 y = f( u )及及 u = ( x )都可微，则复合函数都可微，则复合函数 y = f ( x )可微，且其微分为可微，且其微分为 d y = y x d x = f ( u ) ( x )d x . .C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 尽管复合函数的微分运算法则源于复合函数的导数尽管复合函数的微分运算法则源于复合函数的导数运算法则，但却有其自身不同于导数运算的特点，这一运算法则，但却有其自身不同于导数运算的特点，这一特点就是复合函数的微分形式的不变性。特点就是复合函数的微分形式的不变性。 对函数对函数 y = f( u )而言，若而言，若 u 是自变量，是自变量， f( u )可微可微, ,则其微分为则其微分为 d y = f ( u )d u . . 若若 u 还是变量还是变量 x 的函数，即的函数，即 u = ( x )，且，且 ( x )也也可微，则复合