北航弹力作业答案作业4

1、Chapter Page 61第五次作业习题六习题六思考题思考题6-1：为什么平面应力和平面应变问题的：为什么平面应力和平面应变问题的应力分布是相同的？应力分布是相同的？答：因为平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、应答：因为平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、应变协调方程以及边界条件式都相同，因此，只要几何条变协调方程以及边界条件式都相同，因此，只要几何条件相同，载荷条件相同，不论其为平面应力或平面应变件相同，载荷条件相同，不论其为平面应力或平面应变问题，它们在平面内的应力分布规律是相同的。问题，它们在平面内的应力分布规律是相同的。Chapter Page 62第五次作业6-5：什么样的问

2、题可以简化为平面应力问题或：什么样的问题可以简化为平面应力问题或平面应变问题？平面应变问题？0( , ),( , ),( , )zxzyzxxyyxyxyx yx yx y答：平面应力问题：答：平面应力问题：平面应力问题是受力体一个方向的几何尺寸远小于其它平面应力问题是受力体一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向，而且满足以下条件：两个方向，而且满足以下条件：列出条件Chapter Page 63第五次作业平面应变问题：平面应变问题：平面应变问题是受力体一个方向的几何尺寸远大于其它平面应变问题是受力体一个方向的几何尺寸远大于其它两个方向，而且满足以下条件：两个方向，而且满足以下条件：( , ),

3、( , ),0uu x y vv x y wChapter Page 64第五次作业1:设有矩形截面的长竖柱设有矩形截面的长竖柱,密度密度为为,在一边侧面上受均布剪力在一边侧面上受均布剪力q,如图如图1,试求应力分量试求应力分量.提示提示:可假设可假设x=0,或假设或假设xy=f(x),或假设或假设y如材料力学中如材料力学中偏心受压公式所示偏心受压公式所示.上端边界条上端边界条件如不能精确满足件如不能精确满足,可应用圣维可应用圣维南原理南原理.xyoqbg图1Chapter Page 65第五次作业0 x( )xyf x0 x解题步骤：解题步骤：1、假设应力分量的函数形式。可假设、假设应力分量

4、的函数形式。可假设，或假设，或假设，这里假设，这里假设2、推求应力函数的形式。由、推求应力函数的形式。由 x0 xf 推求推求的形式的形式22xxf xy1( )( )yf xf x，得，得xyoqbg（2-24），注意体力），注意体力Chapter Page 66第五次作业403、由相容方程求应力函数。将、由相容方程求应力函数。将代入代入，得得 3232()()y AxBxCxExFx上式已省略了常数项和一次项上式已省略了常数项和一次项0 xf yfg4、由由应力函数求应力分量。将、由由应力函数求应力分量。将代入应力分量代入应力分量表达式表达式，求得应力分量为，求得应力分量为20(62 )6

5、2(32)xyxyAxB yDxEgyAxBxC Chapter Page 67第五次作业5、考察边界条件：、考察边界条件：在主要边界在主要边界0,xb上的条件为上的条件为0,()0 xxb0()0 xyx()xyx bq （a） （b） （c）xyoqbg图1Chapter Page 68第五次作业在次要边界在次要边界0y 上，可应用圣维南原理，三个积分上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为边界条件为(注意此处的边界条件注意此处的边界条件)00()0byxydx00()0byyxdx00()0byyxdx (d) (e) (f)xyoqbg图1Chapter Page 69第五次作业6、通

6、过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达、通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，得应力解答：式，得应力解答：0 x2(1 3 )yyxqgybb(32)xyxxqbbxyoqbg图1Chapter Page 610第五次作业yxog图22: 设图设图2中的三角形中的三角形悬臂梁只受重力作用悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为而梁的密度为,试用试用纯三次式的应力函数纯三次式的应力函数求解求解.(纯三次式有写纯三次式有写错的错的)Chapter Page 611第五次作业解：设解：设3223AxBxyCx yDy0 xf yfg由应力函数求应力分量。将由应力函数求应力分量。将代入应力分量表

7、达式代入应力分量表达式，求得应力分量为，求得应力分量为 （2-24），注意体力），注意体力2662(22)xyxyCxDyAxBygyBxCy 1：检验应力函数表达式满足相容方程。：检验应力函数表达式满足相容方程。yxog图2Chapter Page 612第五次作业0y 0()0yy0()0yxy2：考察边界条件：考察边界条件：在上面在上面上上tanyxcos()sin2l cosm在下面在下面上上tantantantan()()0()()0 xy xxyy xyy xxyy xlmmlyxog图2Chapter Page 613第五次作业3：通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，

8、：通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，得应力解答：得应力解答：2cot2cotxgxgyygy cotxygy yxog图2Chapter Page 614第五次作业x图3yo1gb/2 b/22g3:挡水墙的密度为挡水墙的密度为1,厚度厚度为为b,图图3,水的密度为水的密度为2,试试求应力分量求应力分量.(提示提示:可假设可假设y=xf(y)上端上端的边界条件如不能精确满的边界条件如不能精确满足足,可应用圣维南原理可应用圣维南原理,求出求出近似的解答近似的解答)Chapter Page 615第五次作业解题步骤：解题步骤：1、假设应力分量的函数形式。、假设应力分量的函数形式。 /

9、2yb 0,y/2yb2ygx y因为因为边界上，边界上，；边界上，边界上，所以可假设在区域内，所以可假设在区域内为为 ( )yxf yx图3yo1gb/2 b/22gChapter Page 616第五次作业y2、推求应力函数的形式。由、推求应力函数的形式。由推测推测的形式，的形式， 22( )yxf yx312( )( )( )6xf yxf yfy则则 x图3yo1gb/2 b/22gChapter Page 617第五次作业403、由相容方程求应力函数。将、由相容方程求应力函数。将代入代入，得 34442124442206x d fd fd fd fxxdydydydyx440d fd

10、y32fAyByCyD4214220d fd fdydy54321106ABfyyGyHyIy 4240d fdy322fEyFy要使上式在任意的要使上式在任意的处都成立，必须处都成立，必须（下式易写错）（下式易写错）,得 ；，得，得。 ，得，得，得，得Chapter Page 618第五次作业代入代入，即得应力函数的解答，其中已略去了应力无关，即得应力函数的解答，其中已略去了应力无关的一次式。的一次式。1xfg0yf 4、由应力函数求应力分量。将、由应力函数求应力分量。将代入应力分量表达式代入应力分量表达式，求得应力分量为，求得应力分量为（2-24），注意体力），注意体力233212()(

11、2262)(62 )3xxBf xxAyxAyByGyHEyFgxy2322()yyf yx AyByCyDx2224322(32)(32)223xyxABAyByCyyGyHyIx y Chapter Page 619第五次作业5、考察边界条件：、考察边界条件：在主要边界在主要边界/2yb 上，有上，有/22()yy bgx /2()0yyb/2()0 xyybx图3yo1gb/2 b/22gChapter Page 620第五次作业/20/2()0bxyxbdy/20/2()0bxxbdy/20/2()0bxxbydy在次要边界（小边界）在次要边界（小边界）上，应用圣维南原理，列出上，应用圣维南原理，列出 三个积分的边界条件三个积分的边界条件（边界条件易写错）（边界条件易写