---一元多项式环

1、目录后页返回1 1前页 定义4.1.3 -一元多项式环 定理4.1.34.14.1 多项式环多项式环 一、未定元一、未定元 定义4.1.1 -未定元 定义4.1.2 -多项式 二、多项式二、多项式 定理4.1.2目录后页返回2 2前页一.未定元 定义定义4.1.1 设 是一个有单位元的环, 是 的 RRR扩环, 是 中的一个元素. 如果 满足: xRx(2) ;1xx(3)对 的任意一组的不全为零的元素 , R01,na aa(1) 对任意的 , ; rRxrrx2012( )0nnf xaa xa xa x则称 为 上的一个未定元未定元(indeterminate). xR目录后页返回3 3

2、前页定理定理4.1.1 设 是一个有单位元的环. 则一定 R存在环 上的一个未定元 . Rx证证 (1) 构作集合0101(,)|,nnSa aaa aaR(2) 对 , , 01(,)na aa01(,)nb bbS规定 0011(,),nnab abab01(,), (4.1.1)nc cc 其中, . 则如此定义的 与 (0,1,2, ,)kijij kcab kn 目录后页返回4 4前页 S都是的代数运算. (3) S关于 (4.1.1)式所定义的加法与乘法构成 一个有单位元的环, 且S的单位元是1(1,0,0,0,)S(4) 令( ,0,0,0,)|SrrrRS则为 的子环, 1S且

3、为的单位元. (5) 令(0,1,0,0,)x , 则rS(0, ,0,0,)x rr xr (i) 对任意的, 有(ii)1xx目录后页返回5 5前页(iii) 对任意的(0,0,1,0,0,)nnx 个零nN于是, 对任意一组不全为零的元素 (0,1,2, )iaS in有201201(,0,)0nnnaa xa xa xa aa所以 为 上的一个未定元. xS(6) 令: ( ,0,0,)RSrr则 是环 到 的单同态 RS 且 . ( )RS (7) 因 , 从而由环的扩张定理 (第三章 RS 定理3.5.5)知, 存在 的扩环 以及 到 的同构映射 RRRS目录后页返回6 6前页使

4、. |R(8) 设 , 使 . 则 xR( )xx (i) 对任意的 , 由于 rR()( ) ( ) ( ) ( )()rxrxrxxrxrxr所以 .rxxr (ii) 因为 ，所以(1 )(1) ( )1xxxx1xx(iii) 对任意一组不全为零的元素, (0,1,2, )ia in21201201201() (,0,)0nnnnnaa xa xa xaa xa xa xa aa目录后页返回7 7前页所以120120nnaa xa xa x从而知 为 上的一个 xR未定元. 注注 在证明过程中, 我们还得到环 , 这是由所 R有形如 的表达式(称为环 上 12012nnaa xa xa

5、 xR的形式幂级数形式幂级数(formal power series)所组成的环,这个 环称为 环上的形式幂级数环形式幂级数环(formal power series R中有重要应用. ring), 记作 . 环 上的形式幂级数环在组合数学 R xR目录后页返回8 8前页定义定义4.1.2 设 是一个有单位元1的环, 是 上 xRR的一个未定元, .称形如01,na aaR2012( )nnf xaa xa xa x的表达式为 上上(关于的关于的 )一元多项式一元多项式(polynomia). Rx其中, 称为 多项式的 次项项(term),称 为 次项 4ia x( )f xiiai的系数系

6、数.也称 为常数项常数项(constant term). 如果, 0a0na 则称 为首项系数首项系数(leading coefficient), 并称 的 na( )f x二.多项式目录后页返回9 9前页注注 为方便起见, 有些教材中将零多项式的次 数规定为 . 由上面的讨论可知, 上的一个多项式 是它的扩 R( )f x环 中的一个元素. 由此进一步可推出, 上的多项式 RR2012012 |0,nnnR xaa xa xa xna a aaR全体关于 的运算构成 的一个扩环. RR次数为 , 记作 .系数全为零的多项式称为零 ndeg( )f xn多项式, 零多项式不规定次数. 目录后页

7、返回1010前页定义定义4.1.3 设 是一个有单位元的环, 是 上的 xRR一个未定元. 称环 为 上的以 为未定元的一元多项多项 R xRx式环式环(polynomial ring). 定理定理4.1.2 设 与 是两个有单位元的环, 与 RxyR分别是其上的未定元. 如果 , 则 RR R xR y证证设 ,则对任意 :RR2012( ) nnf xaa xa xa xR x规定2012: ( )( )nnR xR yf xf yaa ya ya y其中 , 则 为环 到 的同构 ()(0,1,2, )iiaain R x R y目录后页返回1111前页定理定理4.1.3 设设 是一个有单位元的环, 是 上的 xRR一个未定元. (1) 的零元0就是 的零元(即零多项式);R R x(2) 是有单位元的环, 且 的单位元就是 的单 R xR R x位元; (3) 的单位就是 的单位; R xR(4)如果 是无零因子环, 则 也是无零因子环;R R x (5) 如果 是交换环, 则 也是交换环; R xR目录后页返回1212前页 (6) 如果 是整环, 则 也是整环. R R x设 是一个有单位元1的环, 是 上的未定元, RxR则 仍是一个有单位元1的环, 从而存在环 上 R x R x的未定元 , 于是又有 上的多项式环, 称为 y R x R xy 环的二元