专题02曲线的切线问题探究【解析版】

1、备战2020高考只 冲破压触题讲与练第一章函数与导数专题02曲线的切线问题探究【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线 方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1 .已知斜率求切点.已知斜率 k,求切点(x,f(xi),即解方程f'(x)=k.2 .求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点 P处的切线方程和求曲线过点 P的切线方程，在点 P处的切线，一定是

2、以点 P为切点，过点P的切线，不论点 P 在不在曲线上，点 P不一定是切点.(1)已知切点求切线方程：求出函数y=f(x )在点x=xo处的导数，即曲线y=f(x)在点(xo,f(xo»处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为y-y0 =f R(x0 Xx-x0 ).(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标 P' (xi, f(x i);第二步，写出过P'(xi, f(x1)的切线方程为y-f(x1)= f ' (x i)(x-x1);第三步，将点 P的坐标(x% y0)代入切线方程，求出 xi;第四步，将xi的值代入方程y-f(x i) =

3、f ' (x i)(x-x i)可得过点P(xo, y。)的切线方程.3 .求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决.4 .根据导数的几何意义求参数的值(范围)时，一般是利用切点Rx。，y。)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.5 .已知两条曲线有公切线，求参数值(范围)6 .导数几何意义相关的综合问题.【压轴典例】例i. (20i9 江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=inx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e, -i)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.【答案】(e, i).【解析】i设点 A(x。，y。)

4、，则 y。=ln x。.又 y =一，x1当 x = % 时，y =,X。1 ,、点A在曲线y=lnx上的切线为 y -yo =一(xx。)，Xox /即 y -In x。= 一 一1 , x。代入点e, 1 ),得1 In x。=1 ,即 x。In x。=e,考查函数 H (x )=xln x,当 xw (。,1 )时，H (x )。，当 xw (1,")时，H (x)。,且H'(x)=Inx+1,当x1时，(乂)。出(x)单调递增，注意到H (e) = e ,故x。Inx。=e存在唯一的实数根 x。=e,此时y。=1 ,故点A的坐标为A(e,1 ).例2. (2。19 全

5、国高考真题(理)x 1已知函数f x =Inx-.x -1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设xo是f(x)的一个零点，证明曲线 y=In x在点A(x。，In x。)处的切线也是曲线 y = ex的切线.【答案】(1)函数f (x)在(。,1)和(1,收)上是单调增函数，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(。,1) = (1，+8),2x 1 -x 1f(x)=Inx=f (x)=2,因为函数 f(x)的定义域为(。,1)=(1,y),所以 f (x)。，因x-1x(x -1)此函数f(x)在(。,1)和(1,收)上是单调增函数

6、；1 1一、八一 1112、当 x 匚(。,1),时，xT。，yT ，而 f (一) = In - -e- =。,显然当 x= (。,1),函数 f (x)有零ee 1_1e-1e点，而函数f(x)在xw (0,1)上单调递增，故当xw(0,1)时，函数f(x)有唯一的零点;当 x w。，)时，f (e) = in e -e-l =2 <0, f (e2) =ln e2 -e +1 = e J3 >0 , e-1 e-1e2 -1e2 -1因为f (e) f (e2) <0 ,所以函数f (x)在(e,e2)必有一零点，而函数 f (x)在(l+=)上是单调递增，故当xw(1

7、,+%)时，函数f(x)有唯一的零点综上所述，函数f(x)的定义域(0,1) = (1,+至)内有2个零点；,i. x0 1x0 1(2)因为xo 是 f (x)的一个零点，所以f (x0) =lnx0- =。=lnx0=-x0 -1x0-1-.11y =ln x= y =一，所以曲线y=lnx在A(%,ln x°)处的切线|的斜率k =一，故曲线y = lnx在 xx。1% 1x 2A(x0,ln %)处的切线l的方程为：y-ln x0 = (xxo)而ln x0 =,所以l的万程为y = +:x°x0 -1x0x0 -1,，2它在纵轴的截距为 .x0 -1设曲线y =e

8、x的切点为B(x1,ex1),过切点为B(x1,ex1)切线l , y=ex= y' = ex,所以在BMcx1)处的切线的斜率为e”因此切线的方程为y =ex1x+ex1(1x1)，,y.1X 1.当切线l的斜率k1 =3等于直线l的斜率k=一时，即e =一= x1 = (ln x°), x°x0切线 l'在纵轴的截距为bi=ex1(1X) =eUnx0(1+lnx0)=工(1 + lnx0),而 lnx°=迎;，所以x°x0 -1,1 0 x0 1、2,bi = 一(1 +；)=直线l,l的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线 l

9、,l重合，故曲线x°x° -1x° -1y = ln x在A(x° ,ln %)处的切线也是曲线 y = ex的切线.例 3. (2019 湖北高考模拟(理)已知函数 f (x) =x2ax + 1 , g(x) =ln x+a(aw R).(1)讨论函数h(x) = f (x)+g(x)的单调性；(2)若存在与函数f(x), g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围.a a2 -8 .二:4，单调递增，在1 a" 8 , "'a 8单调递减.a2V2时 h(x )在【答案】（1）见解析；（2） （*,1【解析】2(1)

10、函数 h (x )的te义域为(0,+w), h(x )=f (x )+g(x ) = x -ax + lnx+a + 1(x> 0),21 2x -ax 1所以 h x =2x-a,一=x x'所以当A = a2 8 E0即-2应wa M2J2时，h(x)>0, h(x)在(0,收)上单倜递增；当 A = a2 8 A0 即 a >272 a<2 折时，一'当a<2J2时h (x )>0 , h(x/(0,收)上单调递增；当a>2应时，令h'（x）=0得*=山3二84xi0 a -Ja2 8U 4 ja a - Ja -8 a

11、+，a -8,I 44 Ja+Ja2-8 I 4, Jh'(x)+-+h(x )增减增综上：当aM2拒时，h（x ）在（0,十工）上单调递增；当（2）设函数f仪）在点（x,f&1 ）与函数g（x ）在点（x2,g仅2 ）处切线相同,1f x1 -g x2x -x2f (x1)=2x -a,g (x1尸一,则 f (x1)=g (x2 尸由2xi -a =，得xX21 a 1x1, -ax1 1 -"nx2 a +,再由，1L2x 22X2X1 - X 2x 1 - x 221 a1a. a得二x1-ax1+1-lnx2 -a ,把x1=+-代入上式得 + lnx2+

12、+ a-2= 0(*x22x224x22 2x224、1 aa2设 F x ) = r+lnx +a2 (x2>0, . xe(0, +8),4x 2x 4 21 a 1 2x - ax -122x贝U F (x ) = 3 2 +一 =3 不妨设 2x0 axo -1 = 0(x 0 A 0).当 0<x<x0 时，F'(x )<0 ,当 x ax。时，F'(x)A0所以F(x而区间(0,x° )上单调递减，在区间(x°，收)上单调递增，八1LL2八1,八把 a=2x。一一代入可得：F(x Ln=F(xo ) = x° +

13、2x° +lnx02 xoxo_21,11设 G(x )=x +2x - +lnx -2 ,则 G (x )=2x +2 + -+- >0Xx >0恒成立， xx x所以G(x )在区间(0,2 )上单调递增，又G(1)=0所以当0 <x W1时G(x产0 ,即当0<x0 W1时F(x0 )<0,22又当 x =e23时，F(x )=-4a+lne2 + +a -2 = -+a >04e 2e44 e因此当0 <x0 <1时，函数F(x )必有零点；即当0 <x0 <1时，必存在x2使得(* )成立；即存在x1,x2使得函数

14、f(x堆点(x1,f(x1 )与函数g(x )在点(x2,g (x2 )处切线相同.又由y =2x 1在(0,1冲调递增得，因此a=2x0 -,x0 e(0,1l xx0所以实数a的取值范围是(-00,1】.【总结提升】(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程;(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上l

15、n x，1例4. (2019 山东局考模拟(又)已知函数f(x) = l 1.x(I)证明：f (x) <e2x -e ；b(n)若直线y = ax + b(a >0)为函数f(x)的切线，求b的最小值. a【答案】(1)见解析.(2)-.e【解析】(I)证明：整理 f (x) Me2xe得 ln xe2x2+ex+1 M 0(x >0)2 2,令 g(x)=lnxex +ex+1,g (x)=一 2 2.-2e x ex 1x(ex - 1)(2ex 1)xI 1_, 、1 I e J当x J0, , g (x) >0,所以g(x)在(0,1)上单调递增;1gx)&l

16、t;0,所以g(x)在一*上单调递减, e-1所以g(x) <g =0,不等式得证. e、.1 -(ln x 1)-ln x.(口)f(x)=2 =-2,设切点为(x0,f(x0),xxi-lnx。则a =-，函数f (x)在(%, f (% )点处的切线万程为y f (% = f (% X x % ) xln x0 , 1x0In x0, 2ln x0 1一2(x -x0 ),令 x = 0 ,解得 b =x0x0b所以_ =ax 21nx0 11n x令 h x° =-x0 21n % 11nx0一 ，-1n x0因为 a >0 , 2 >0 ,所以 0 父 x

17、0 <1 , x。h x0 =21nx03 1n x0 -21n x0 T21n2 x01n x0 T21nx0 -1 1n % 11n2 x1n2 %1n2 %“c 1. .-一、 c 1当Xo W ；0, , h'(Xo )<0,所以h(x)在。上单倜递减; e. e当x“Ll j, h'(xo )<0,所以h(x)在'-,1 |上单调递增, ee11因为0 ex。<1 h(x0 庐h.=一. ee【思路点拨】(1)由 f (x) <e2x e即为 In x -e2x2 +ex + 1 <0(x >0),令 g(x) = I

18、n x-e2x2 +ex +1 ,利用导数求得函数g(x )的单调性与最值，即可得到结论;In M , 一 ，、一 2 . 21nx0 1(2)求得函数f (x )的导数，设出切点，可得 a = 一r的值和切线方程，令 x = 0,求得b =0%x0x0 21nx0 1令h(x0利用导数求得函数 h(x0)的单调性与最小值.对于恒成立问题，往往要构造In x新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.例5. (2014 北京高考真题(文)已知函数f(x)=2x33x.(1)求f(x)在区

19、间2,1上的最大值；(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y = f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(-1,2), B(2,10), C(0,2)分别存在几条直线与曲线y = f (x)相切？(只需写出结论)【答案】【解析】(1)由 f (x) =2x3 3x 得 f '(x) =6x2 3,令 f '(x) = 0 ,得 x =返或 x=, 22因为 f(-2) = -10, 9互)=衣，(逅)=5，f(1)=T, 22所以f(x)在区间2,1上的最大值为f(_丫邕=被.2(2)设过点P(1, t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则322y0=2

20、xo 3x0,且切线斜率为 k =6xo -3 ,所以切线方程为 y y0 = (6xo 3)(x xo), 23.2因此 t yo=(6xo 3)(1 Xo),整理得：4X0 -6xo +t+3 = 0,设g(x) = 4x3 6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y = f(x)相切”等价于“ g(x)有3个不同零点”，g(x) = 12x2 -12x=12x(x-1),g(x)与g'(x)的情况如下：x(_OCI,0)0(0,1)1(1什)g'(x)+00+g(x)t+3z +1所以，-3<t<-1是g(x)的极大值，3<t<-1是

21、g(x)的极小值，当=F + 3£0,即t之-1时，此时g(x)在区间(3,0)和(1,依)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点,当g(l) = f+120, P(1,t)时，此时g(x)在区间(3,0)和(-«,0)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当 g(0) >0且(3，1),即-3T时，因为 f(-l) = t-7<0, f(2)=r+ll>0 ,所以g(x)分别为区间 -LCMQD 和g(x)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(°0,0)和(1,收)上单调,所以g(x)分别在区间(-«,0)和几十工

22、)上恰有1个零点.综上可知，当过点 P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是-；(3)过点A (-1 , 2)存在3条直线与曲线y = f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y = f(x)相切；过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y = f (x)相切.例6. (2018 天津高考真题(理)已知函数f(x)=ax, g(x)=logax,其中a>l.(I)求函数h(x )= f (x )-xlna的单调区间；(II )若曲线y = f (x近点(为，f(为)处的切线与曲线 y = g(x)在点(x2, g(x2)处的切线平行，证明2lnln a

23、xi +g 诲)=-;Ina1(III )证明当a占ee时，存在直线l ,使l是曲线y = f (x )的切线，也是曲线 y = g(x)的切线.【答案】(I)单调递减区间(*,0 ),单调递增区间为(0,收)；(11)证明见解析；(出)证明见解析.【解析】(I)由已知，h(x )=ax-xlna,有 h'(x) = axlna - lna .令 h'(x )=0 ,解得 x=0.由a>1,可知当x变化时，h'(x), h(x )的变化情况如下表：x(-°°,0 )0(0,fh'(x)0+h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(

24、口,0 ),单调递增区间为(0,收).1x2lna(II )由f '(x )=axlna ,可得曲线y = f (x )在点(x, f (x,)处的切线斜率为ax1lna .1由g (x)=,可得曲线y = g(x )在点 M,g(x2)处的切线斜率为1V2因为这两条切线平行，故有 a lna =,即x2a 1 (lna ) =1.x2lna两边取以a为底的对数，得logax2 +x +2logzlna =0 ,所以 x1 +g(x2)=2lnlnalna(III )曲线 y = f(x)在点(x,1a51 )处的切线 l yax1 = axlnaqxx,).1曲线 y=g(x )在点

25、(”,logax2 )处的切线 12：ylogax2= <x x2).x21na1要证明当a之ee时，存在直线1 ,使1是曲线y = f (x )的切线，也是曲线 y = g(x)的切线,1只需证明当a之ee时，存在x1 w (-°°,口)，x2 w (0,收)，使得11和12重合.1ax11na =-1即只需证明当a之ee时，方程组x21na有解，a国-x1a>11na =1ogax21na1八、,口 为 %,1 21n1na - 公由得x2 =2 ,代入，得 a' x1a"na十为十十=0 . 区ax1 1na1na 1na1因此，只需证明

26、当a至ee时，关于x1的方程存在实数解xx.1 21n1na设函数u x =a -xa 1na x 1na 1na1即要证明当a之ee时，函数y=u(x )存在零点.2 x 一,.u (x )=1 (1na ) xa，可知 x= (-°0,0 )时，u(x)>0;x10,g )时，u'(xW调递减，_1_又 u'(0) = 1A0, W - U1-a(na <0,L(1na ) j2故存在唯一的 x。，且 x0>0,使得 u (x0 )=0,即 1 (1na ) x0a 0 = 0.由此可得u(x )在(-«,xo )上单调递增，在(x0,

27、收)上单调递减u (x )在x =x0处取得极大值u (x° ).1因为a之ee,故1n Qna心-1,xx,1 21n1na 121n1na 2 21n1na所以 u x0 =a" -x0ax01na x0 =2x00.1na 1nax0 1na1na 1na卜面证明存在实数t,使得u(t )<0.由(I)可得 ax >1 +x1na ,x lna时,.1 2lnlna有 u x i1 xlna 1 -xlna i，x lna lna,2 2,12lnlna= flna)x +x +1 + +,lna lna所以存在实数t,使得u(t )<01因此，当a

28、ee时，存在x1 w ( -°°, f ),使得u(x1 )=0 .1所以，当a之ee时，存在直线l ,使l是曲线y= f (x)的切线，也是曲线 y = g(x)的切线.例7. (2015 广东高考真题(理)(14分)(2015?广东)设 a>1,函数f (x) = (1+x2) ex - a.(1)求f (x)的单调区间；(2)证明f (x)在(-00, +OO)上仅有一个零点；(3)若曲线y=f (x)在点P处的切线与x轴平行，且在点 M (m, n)处的切线与直线 OP平行，(O是坐标原点)，证明：m<本二2T.【答案】(1) f (x) = (1+x2

29、) ex - a在(-+°°)上为增函数.(2)见解析(3)见解析【解析】(1) f (x) =ex (x2+2x+1) =ex (x+1) 2，f ' ( x) >0,1.f (x) = (1+x2) ex - a 在(-°0, +oo)上为增函数.(2)证明：由(1)问可知函数在(-8, +OO)上为增函数.又 f (0) =1 - a,. a> 1.1 - a< 0 .f (0) <0.当 x-+8时，f (x) >0成立. .f (x)在(-00, +OO)上有且只有一个零点(3)证明：f (x) =ex (x+1)

30、2,x02设点 P (x0, y0)则)f (x) =e (x0+1),y=f ( x)在点 P 处的切线与 x 轴平行，f ( x0)=0,即：ex0 (xo+1) 2=0,X 0= 12 _ a将 xo=- 1 代入 y=f (x)得 yo=- - g. . . v =a-,e°P -1 e(Q =” (/1 ) 2二己-义他分 e令；g (mi) =em- ( m+1) g (mi) =em- ( m+0,贝U g' (m) =em- 1,由 g' m mD =0 得 m=0当 mC (0, +oo)时，g' (nm > 0当 mC ( 一 oo,

31、 0)时，g' (m) < 0 .g (m)的最小值为 g (0) =012分g (mi) =em- ( m+D >0. m、 . - e >m+1e m ( m+1 2> ( m+1) 3即：_，,：二- iemro. I " 14 分例8. (2019 四川棠湖中学高考模拟(文)已知抛物线C:x2=4y , M为直线l : y = 1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB切点分别为A,B.(1)当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；(2)证明：以AB为直径的圆恒过点 M.【答案】(1) x2+(y1)2=4 (2)见证

32、明【解析】(1)解：当M的坐标为(0, 1)时，设过M点的切线方程为y = kx1,2x =4y,9由，消 y得 x 4kx+4=0.(1)y =kx-1,令 A =(4k)2 4父4=0,解得 k = ±1.代入方程(1),解得 A(2,1),B(-2,1).设圆心P的坐标为(0, a),由PM | = PB ,得a +1 =2 ,解得a =1.故过M , A, B三点的圆的方程为x2 +(y 1)2 =4 .(2)证明：设M(Xo,-1),由已知得y =2 x 一，y412 x ,设切点分别为 A(x1,2X1)，B(X2,2X2),所以,_ X1_ X2kMA "I-

33、 , kMB "I-, 22切线MA的方程为y 2X1=。_、)即21=x1x -2切线MB的方程为y 2X2=2-(x -x2)即2y = x2xx2 .2411 2又因为切线 MA过点M(x°,1),所以得1=x0x 一x1.24112又因为切线 MB也过点M(x0,1),所以得1 = x0x2 x2 .24，11 2所以X1 , X2是方程-1=一 xX的两实根,24由韦达定理得 x1 x2 =2x0, x1x2 = -4uuu 因为MA” -Xo,2X1uuux 2十 1), MB =(x2 x0,N +1),4uuu 所以MAuuuY 22MBQ-x。) 匕 D：

34、1)22.(X1 +X2)2 -2x1X21+1 ./ + 、+ 2 X1 X21 -= X1X2 X0(X1 +X2) +X0 +十一 I164 一将 Xi +X2 =2xo, X1X2 =T代入，得 ma MB = 0.所以以AB为直径的圆恒过点 M .【压轴训练】21. (2019 湖南高考模拟(理)过抛物线x = 2py ( p a 0 )上两点A, B分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点P(1,-2),则直线AB的方程为().1 一A. y x 222,2-X由X =2py ,得y =2p设 A（xi,y 1B（X2,y2 ）,则 y抛物线在点A处的切线方程为X=X1jy'

35、;x金Xiy = - xP2 Xi 27'X2p2点B处的切线方程为y=&X-9P 2p2X1X1y =x -P 2p2X2 X2y = x P 2pX1 x22Xx2一 2pXiX2又两切线交于点P(1,-2),丝=_22p故得 Xi +X2 =2,/X2 =Tp （*）.,过A, B两点的切线垂直， = -i ,p p22故XiX2=p , p =4 ,故得抛物线的万程为 X =8y.由题意得直线 AB的斜率存在，可设直线方程为y = kx + b ,y = kx b、”由42 消去y整理得x28kx8b =0, x = 8yxi +x2 =8k,XX2 = -8b （*）

36、,一 、一，、一,1i由（*）和（*）可得k =且b=2 ,4i，直线AB的万程为y=1x+2 .4故选：D.ax + cosx【答案】【解析】叮二-*-1«8.-1),即叫1 '(一叫 T)1 I ; At? k, =- 1 .'rkj e (OJ)又。5,即1与%'i瓦=g (x) = a - sinx，,sinx E - 1J k = a.-sinx E a - lfa + 1 .fa- 1 < 0，+ (a + 1 > 1=><i 0,1本题正确结果：22.3. (2019 山东局考模拟(理)已知函数f(x) = x +2ax,

37、 g(x )=4a lnx+b,设两曲线y=f(x), y =g（x冶公共点p,且在P点处的切线相同，当 a0,"）时，实数b的最大值是【答案】2 1e【解析】 设 P(xo, yo 入_4a2f(x ) = 2x+2a , g'(x) = 4a- x由题意知,f(xo)=g(x0), f(xo )= g'(xo ),即 x2 +2ax0 =4a2lnx0 +b , （T4a _2xo +2a =,Xo解得x0 = a或x0 = -2a（舍），代入得：b =3a2 4a2lna , aJ0,乜）, b' =6a -8alna -4a =2a(1 -4lna )

38、,i i1当 aw 0,e4 时，b'>0,当 aw e',松 |时，b'<0.< J< Jii二实数b的最大值是b e4 |=3je4jelne' =2金.I )故答案为：2捉.inx一y=-z-4. (2013 北京高考真题(理)设l为曲线C:*在点(1 , 0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1, 0)之外，曲线C在直线l的下方【答案】(I)/=工-1(11)见解析【解析】Inxl-'m设 f(x) = X，则 f ' (x) =/所以f' (1) = 1,所以L的方程为y = x1.(2)

39、证明：令g(x) =x1f(x),则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0( ?x>0, xw1).g(x)满足 g(1) =0,且x - 1 + Inx-2gZ (x) = 1 (x) =*当 0v xv 1 时，x2 1 < 0, ln x < 0,所以 g' (x) v 0,故 g(x)单调递减；当 x>1 时，x2- 1>0, ln x>0 ,所以 g' (x)>0 ,故 g(x)单调递增.所以，g(x)>g(1) =0(?x>0, xW1).所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.5. （2015

40、天津Wj考真题（文）已知函数= 4x x4,x R.（i）求的单调区间；（n）设曲线y=日（幻与n轴正半轴的交点为 P,曲线在点p处的切线方程为二2（刈，求证：对于任意的正实数土都有，住；: r1（出）若方程，（工户口g为实数）有两个正实数根 苞，工”且X1K用，求证：工,_工_ +4三.*.3【答案】（I）八工）的单调递增区间是（-8，1）,单调递减区间是（1，十8）； （n）见试题解析；（出）见试题解 析.【解析】（I）由尸口）= 4-4炉，可得汽功的单调递增区间是（-8.1）,单调递减区间是（I, + 8）； （n）虱*）= f（/）（”工。1,F（x） = "W - ff（x

41、）,证明F（幻在（-单调递增，在1*口十8）单调递减,所以对任意的实数x,代X）工巴飞）二。,对于任意的正实数天,都有f（幻式式X）；（出）设方程-?« = 口的根为勺，可得1, a 彳jc =,f212，由g（x）在（-8,+ 8）单调递减，得以勺）" 口 =0（勺），所以勺三叼.设曲线y = f（幻在原, a点处的切线为 尸二凤玲，方程凤乃二口的根为“1 ,可得7 4 ,由朗力二强在在-8,”单调递增,且1 1, Q 3小）=事=f g1）,可得 *所以#勺=-3+4.试题解析：（I ）由f（乃:钮- - ,可得/二4 一4炉，当幻 0 ,即X 1时，函数八*）单调递增

42、；当八#） 。,即* A 1时，函数/单调递减.所以函数/的单调递增区间是（-°°，1）,单调递减区间是（】，”）.1（n）设P（"M）,则"0 = 41&）=一曲线y=/3在点P处的切线方程为¥ = f &）（#-/），即跃为二人”）（1。）,令汽幻=f （x）-gW即尸=F-八4一。）贝/=f'W-f'W .j由于f=4-4/在_8, + 8）单调递减,故门刈在（-8, + 8）单调递减，又因为（“。）=。，所以当M E （- 8收）时，F'口，所以当M E （% + 8）时，F' 0,所以尸

43、在（- 8人）单调递增,在（频.十g）单调递减，所以对任意的实数x, F工 D 二 °,对于任意的正实数匕都有三鼠制.11- a x + 4口（出）由（n）知g（幻二-12a-43）,设方程M幻=口的根为七，可得'12，因为趴幻在（一 8,十B）单调递减，又由（n）知班上）堂六*白=目（近），所以又%.类似的，设曲线y = *处在原点处的切线为y二/#），可得h=做，对任意的，E （一-十吟有人幻一状尤）=-r40即*x） 帆防.设方程h=a的根为（ a“1，可得14,因为打=做在-8,十8）单调递增，且办（与）=白=/（#1）式M”）,因此，打V5所以1 i * a o荣

44、z _ X| W 尤2 _ *i = + 4 .f（x） = X - 1 + 6. （2013 福建高考真题（文）已知函数/0EE#为自然对数的底数）（I）若曲线歹=*幻在点（1，/处）处的切线平行于尤轴，求8的值；（n）求函数“X）的极值；（出）当口 = 1时，若直线1：y=工-1与曲线y = /0）没有公共点，求上的最大值.【答案】（I）。=己（n）当口工。时，函数人力无极小值；当口.口，人乃在出口处取得极小值Ina无极大值（出）上的最大值为1【解析】f二工一1十2/3 二 1 一三（1 ）由得 .又曲线y = /0）在点处的切线平行于H轴，a）1-=0得门1） = 0,即e ，解得。二a

45、/« = !-（2） 日,当"0时，/0/3为1 8,+ 8）上的增函数,所以函数人的无极值.当口 口时，令fG） = o,得/ = Y=加。.xe（-8”f CO.XE （1码 + 8）,f'0 .所以在（-8，出口）上单调递减,在（E2十8）上单调递增,故汽防在工=加。处取得极小值,且极小值为/VM =1必，无极大值.综上，当口 M 0时，函数f 0）无极小值当日 A 0 /（x）在,=上口处取得极小值 切口,无极大值.f二. 1十（3）当口 = 1 时，(而川二口 -叱十一令，则直线i：y = i<x-i与曲线y二f3 没有公共点等价于方程 跃刈二。在R

46、上没有实数解.1 1欧口 )=-i +=。假设叱> 1,此时。=1 > o又函数 虱刈的图象连续不断,由零点存在定理,可知以幻=。在及上至少有一解,与“方程以刈=口在百上没有 实数解”矛盾，故左石工.虱叫=；>。又上=1时，考，知方程跃刈=。在代上没有实数解.所以”的最大值为1.解法二：(1) (2)同解法一.f(x) = x 1 + (3)当4时，直线l：y = 匕-l与曲线y =没有公共点,1kx - 1 = x - I H等价于关于K的方程/在E上没有实数解，即关于工的方程：(k- 1)x e" (*)在R上没有实数解.-=o当上二1时，方程(*)可化为&qu

47、ot;,在R上没有实数解.1X=xe当上,1时，方程(*)化为人一1 .令以功=心,则有目幻= (l + x)ex 令双功=0,得，=-1,当才变化时，目(月的变化情况如下表K -00,- 1)IT(-1,+ w)|-0l+l当X=-l时,mm g,同时当不趋于+ s时,然为趋于十叱-W (- 8,)从而双阳的取值范围为e所以当盍-1e时，方程(*)无实数解，解得”的取值范围是口-%1).综上，得上的最大值为1.27. (2013 北乐局考真题(又)已知函数f (x) = x+xsin x+cosx. 若曲线y=f(x)在点(a, f (a)处与直线y=b相切，求a与b的值；(2)若曲线y=

48、f (x)与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围.【答案】(I)求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个,联立求解.(n)利用导数分析曲线y二代功的走势，数形结合求解.【解析】由 f(x) =x2+xsin x + cos x, 得 f' (x) = 2x + sin x +x(sin x) ' sin x =x(2+cos x).(1)因为曲线 y = f(x)在点(a, f(a)处与直线 y=b 相切，所以 f' (a) = a(2 + cos a) =0, b= f(a) 解得 a=0, b = f(0) =1.(5 分

49、)(2) 设 g(x) = f(x) b=x2 + xsin x + cos x b.令 g' (x) = f ' (x) 0 = x(2 + cos x) = 0,得 x = 0.当x变化时，g' (x) , g(x)的变化情况如下表：(8, 0)0(0f +«)葭(乂)0+g1-b所以函数g(x)在区间(一8, 0)上单调递减，在区间(0, 十°°)上单调递增，且 g(x)的最小值为g(0) =1 b.当1b>0时，即b< 1时，g(x) =0至多有一个实根，曲线y = f(x)与y=b最多有一个交点，不合题意.当 1 b&

50、lt;0 时，即 b>1 时，有 g(0) = 1-b<0,g(2b) =4b2+2bsin 2b + cos 2b b>4b2b1 b>0. .y= g(x)在(0,2b)内存在零点,又y=g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0 , +°°)上单调递增，.y=g(x)在(0 , +8)上有唯一零点，在 (8, 0)也有唯一零点.故当b>1时，y = g(x)在R上有两个零点，则曲线y = f(x)与直线y=b有两个不同交点.综上可知，如果曲线 y = f(x)与直线y=b有两个不同交点，那么 b的取值范围是(1, +) . (12分)328

51、. (2019 北京高考模拟(文)已知函数f(x)=x -ax .(I)当a =3时，求函数f(x)在区间0,2上的最小值；(n)当a>3时，求证：过点P(1,f(1)恰有2条直线与曲线y= f (x)相切.【答案】(I) -4. (n)见解析.【解析】(I)当 a=3 时，f (x) =x3-3x2, f' (x) =3x2-6x=3x (x-2).当 xC 0 , 2时，f' (x) <0,所以f (x)在区间0 , 2上单调递减.所以f (x)在区间0 , 2上的最小值为f (2) =- 4.(n)设过点 P (1, f (1)的曲线 y=f (x)的切线切点

52、为(x。，y。)，f' (x) =3x2-2ax, f (1) = 1- a,32V。一 ax0 ,所以2y0 _(1 _a ) = (3% -22% )(x0 -1 )32所以 2m (a+3)址 +2ax0+1a = 0.32令 g (x) = 2x - ( a+3) x +2ax+1 - a,贝 U g' (x) = 6x2- 2 (a+3) x+2a= (xT) (6x- 2a),a令 g' (x) =0 得 x=1 或 x=,3a .因为a>3,所以a>1 .3x(-°°, 1)13 3Ja3a,十笛13, Jg' (x

53、)+0-0+g (x)极大值极小值qx)的极大值为g(0,极小值为叫卜(1尸0,所以g(X)在f-i,a i上有且只有一个零点 x=i. 3因为 g (a) = 2a3- (a+3) a2+2a2+1 a= (a-1) 2 (a+1) >0,所以g (x)在，a,+如1上有且只有一个零点. 3所以g (x)在R上有且只有两个零点. 3_2即万程2xo (a+3)xo +2axo+1 a =0有且只有两个不相等实根,所以过点P (1, f (1)恰有2条直线与曲线y=f (x)相切.9. (2019 四川高考模拟(理)已知函数人幻:-仙+1, 9二底+或口£町.11 1一 <

54、; r < 金(1)若口 = 1,求函数夙月二幻-9(外在区间/ (其中e , e是自然对数的底数)上的最小值;(2)若存在与函数f,M幻的图象都相切的直线，求实数 日的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)由题意，可得 M玲= x _x+I_ln#_l = x -x-lMCD),岫/人一=空XXX令(工)=口，得X=1-< £< 1当n时，M乃在归J上单调递减,仪Wmn =h1时，可为在卜11上单调递减，在口用上单调递增,卜血口二人二。-<£<1e 时,e2-e+ 1a)min 20综上，当e ，当±>1时，卜心J -0出) f。(6则,1口11一弋2% =+ - =4-.祝乙代入七