专题03一元一次方程(知识点串讲)(解析版)

1、专题03 一元一次方程【思维导图】等式方匡e|p _ -修'g一兀一次方程特征方赛喷二小址土（或晶司 数（或式子）造 耶相等如聚电b,则为土口 b±c等E两边耗1 一个依，或除以同一个不为学的数r砧果叨相等如果d=b,那么4=be等式的注京争门* If 一次方程II念的应用. .-. 2利用方程9懈求将定字母的方心.- ,含分母的f一次方程的解法-4.冏解方程的群越方法- 5,配套问题和丁母问越6,销，溢引河即Tt-次方程考查如果a=bg。）.目眩必=Wlk 工比赛极分问题卜、一 二二 &方案选隆问题I'l X X, = * 9顺逆嗣句题、一1 10.数字问题

2、的应用莪 - .1. J*:【行程问题' 12.其他问题【知识要点】知识点一 一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。注意：1 .等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。2 .不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式 的一边。方程的概念：含有未知数的等式 叫做方程。特征：它含有未知数，同时又是一个等式。一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1的方程叫做一元一次方程。标准形式：ax+b=0 （x为未知数，a、b是已知数且aw 0）【特征】1 .只含有一个未知数 x2

3、.未知数x的次数都是13 .等式两边都是整式，分母中不含未知数。方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。1. （2017福建中考模拟）设某数是 x,若比它的2倍大3的数是8,可列方程为（）A. 2xW=8B. 2x+3=8C. x -3=8D. x+3=822【详解】试题解析：根据文字表述可得到其等量关系为：x的2倍+3=8,根据此列方程：2x+3=8 .故选B.2. （2018广西中考真题）用代数式表示：a的2倍与3的和.下列表示正确的是（）A. 2a-3 B, 2a+3 C, 2（a-3） D, 2（a+3）【详解】a的2倍与3的和”是2a+3

4、.故选：B.3. （2018湖南中考模拟）下列各方程中，是一元一次方程的是（）A , x - 2y= 4B, xy=4C. 3y-1=4D.甲-4【详解】各方程中，是一元一次方程的是3y-1=4,故选C.考查题型一 一元一次方程概念的应用1 .（2019四川中考真题）关于 x的一元一次方程 2xa/+m=4的解为x=1 ,则a + m的值为（）A. 9B. 8C. 5D. 4【详解】解：因为关于x的一元一次方程 2xa-2+m=4的解为x=1 ,可得：a-2=1 , 2+m=4 ,解得：a=3, m=2,所以 a+m=3+2=5 ,故选：C.2. （2019内蒙古中考真题）关于 x的方程mx2

5、mr 1+（m-1） x-2=0如果是一元一次方程，则其解为 . 【详解】解：=*关于x的方程mx2m 1 + （m -1）x -2= 0如果是一'兀一"次方程，.2m1=1,即 m=1 或 m=0,方程为x-2=0或-x -2=0,解得：x = 2或x = -2 ,-rr 1 一当 2m-1=0,即 m=时，2、1 1方程为 - x - 2 = 0 2 2解得：x=-3,故答案为：x=2或x=-2或x=-3 .3. （2017广东中山纪念中学中考模拟）若方程kxk*+2 = 0是关于x的一元一次方程，则卜=【详解】根据一元一次方程的特点可得：k =0k 1= 1解得：k=-

6、2.故答案是：-2.考查题型二利用方程的解求待定字母的方法1. （2019山东中考模拟）已知关于 x的方程2x+a-9=0的解是x=2 ,则a的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【详解】方程 2x+a 9=0 的解是 x=2,2X2+a- 9=0,解得a=5.故选：D.2 .（2019四川中考模拟）若 x =1是方程2x + m6 = 0的解，则m的值是（）A. - 4B, 4C. - 8D. 8【详解】根据方程的解，把 x=1代入2x+m-6=0可得2+m-6=0,解得m=4.故选：B.3 .（2019河北中考模拟）已知 x=7是方程2x 7 = ax的解，则a=（）A. 1B, 2

7、C, 3D, 7【详解】解：x=7是方程2x7= ax的解，代入得：14-7 = 7a,解得：a= 1,故选：A.1 口4. （ 2019山东中考模拟）右 x =1 -是万程mx- 2m+2 = 0的根，则x- m的值为（）mA. 0B, 1C. - 1D. 2【详解】解：把x = 1 代入方程得： m （1 _ ） 2m+2 = 0, mm解得：m=1,x= 0,.x-m= 0 - 1=- 1,故选C.).5. （2019福建中考模拟）若 x=2是关于x的一元一次方程 ax- 2=b的解，则3b 6a+2的值是（A.8B.4C. 8D, 4【详解】 把 x=2 代入 ax - 2=b,彳导

8、2a- 2= b .所以 3b-6a=-6.所以，3b 6a+2=-6+2=-4.故选B.知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础 ）等式的性质1:等式两边（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。表示为： 如果 a=b,贝U a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或 除以同一个不为零的数，结果仍相等。表示为：如果a=b ,那么ac = bc如果a=b（c丰0）,那么 一=一【注意事项】1 .等式两边都要参加运算，并且是 同一种运算。2 .等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。3 .等式两边不能都除以0,即0不能作除数或分母.4 .等式左右两边互

9、换，所得结果仍是等式。1. （2018河北中考模拟）已知：ax2=bxi 3 =c+2 ,且a、b、c都不等于0,则a、b、c中最小的数是（）353A. aB.bC. cD. a c【详解】. aX2 =bM 3 =c/ ,352ax- =b> - =cx-, 3523321一>_>一, 523b< c< a,.a、b、c中最小的数是b.故选：B.2. （2017广东中山纪念中学中考模拟）下列说法不正确的是A.若 x=y,贝U x+a=y+aB.若 x = y,贝U x b=ybx yC.右 x=y,贝U ax= ay口.右* = 丫，贝ij -=b b根据等式的

10、基本性质 1可得选项A、B正确，根据等式的基本性质2可得选项C正确，选项D必须有bwO这个条件，故选D.3. （2017山东中考模拟）已知： - = -,那么下列式子中一定成立的是（）3 2A . 2x=3yB. 3x=2yC. x=6yD. xy=6【详解】x=Y32 '2x=3y.故选A.4. （2017海南中考模拟）已知等式3a=2b+5,则下列等式中不成立的是 （）A . 3a- 5= 2bB, 3a+1=2b+62. . 5C. 3ac=2bc+5D. a= b+ 33【详解】试题解析：A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5,得3a-5=2b；B、根据等式性质1,等式

11、的两边同时加上 1,得3a+1=2b+6；D、根据等式的性质 2：等式的两边同时除以3,得a=2b+5；33C、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故 C错.故选C.5. （2015山东中考模拟）下列各项中叙述正确的是A,若皿=双，则加=也B.若卜|一万=0,则工2mC.若漱,则=D.若桃=盟，则24一的二14一心【详解】试题分析：根据等式的基本性质即可得出结论.试题解析：由等式的基本性质知选项D正确.故选Do6. （2018河北中考真题）有三种不同质量的物体“厂” 其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（A.C.【详解】设

12、 U的质量为X,门的质量为y ,|0的质量为：a,假设A正确，则，x=1.5y,此时B, C, D选项中都是x=2y ,故A选项错误，符合题意,故选A.知识点三解一元一次方程合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到 化简的作用移项 把等式一边的某项 变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质 1）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。当分母中含有去分母 在方程的两边都乘以各自 分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。小数时，先将小数化成整数 。解一元一次方程的基本步骤：步骤具体做法依据注意事项我本卷两辿都耒以春分考的款小卷僖戴去括号一般由去小卡

13、号，再会中林号，最福去丈注号稗项知奢有来务的耳移对才祖一途,兵亳携邺等时才H另一遑，拉套移嗤叁虫等合并同类坝里才同支势石£0的最港哥比系数化为】 咎步6两边事隆以求全故集薮心得解*,决同孑人性受1*1U0安的嗖一丈委支手.半秒他次小文号2）法卷项批,对不妻得嘲U把靠业杷加2J李导.字专跑聆做不支解拘介于，介*住亶不要制1 . （2017江苏中考模拟）方程 2x1 = 3x+2的解为（）B. x= - 1C. x=3D. x=- 3【详解】 首先进行移项可得：2x3x=2+1 ,合并同类项可得： x=3,解得：x= 3.2. （2019余干县瑞洪中学中考模拟）将方程x+5= 1-2x移

14、项，得（A , x+ 2x= 1 5B. x- 2x= 1+5C. x+2x=1 + 5D. x + 2x= 1 + 5【详解】方程 x+5= 1 -2x,移项得：x+ 2x= 1 5,故选A3. (2018湖南中考模拟)下列各题正确的是()A .由 7x=4x - 3 移项得 7x - 4x=36B.由一去分母得 2 (2x-1) =1+3 (x-3)C,由 2 (2x 1) - 3 (x 3) =1 去括号得 4x - 2 - 3x - 9=1D.由2 (x+1) =x+7去括号、移项、合并同类项得 x=5【详解】A、由7x=4x-3移项得7x-4x=-3 ,故错误；B、由去分母得2 (2

15、x-1) =6+3 (x-3),故错误；C、由 2 (2x-1) -3 (x-3) =1 去括号得 4x-2-3x+9=1 ,故错误；D、正确.故选D.考查题型三含分母的一元一次方程的解法1. (2019浙江中考模拟)下列解方程去分母正确的是()A ,由 -,得 2x - 1 = 3 - 3xB.由一 ，得 2x 2 x=- 4C.由-一，彳导 2y-15=3yD.由一 ，得 3(y+1)=2y+6【详解】A.由 ，得：2x-6=3-3x,此选项错误；B.由 ，得：2x-4-x=- 4,此选项错误；C.由一一,得：5y-15=3y,此选项错误;D.由，得：3 ( y+1) = 2y+6,此选项

16、正确.故选D.2. (2019来宾市第四中学中考模拟)解分式方程-3=_时，去分母可得(x-22-xA . 1 - 3 (x-2) =4B.1 - 3 (x-2) =-4D. 1 - 3 (2-x) =4C. -1-3 (2-x) = - 4【详解】方程两边同时乘以(x-2),得1 - 3 (x-2) = - 4,故选B.3. (2018海南中考模拟)在解方程=1时，去分母正确的是()A . 3(x - 1) - 2(2+3x) = 1B. 3(x 1)+2(2x+3) = 1C. 3(x 1)+2(2+3x) =6D. 3(x - 1)-2(2x+3)=6【详解】分母的最小公倍数为 6,则方

17、程的左右两边同时乘以6可得：3 (x 1) - 2 (2x+3) =6.4. (2019山东中考真题)代数式型二1与代数式3-2x的和为4,则x=.3【详解】2x -1根据题意得：+32x=4,3去分母得:2x-1+9-6x=12,移项合并得：Yx=4,解得：x = 1,故答案为：-1.5. (2019重庆市全善学校中考模拟)当 x为 时，3xj1的值为-1 .【详解】 根据题意可得:3x -1”2 :一1， 去分母，得3x -1 = -2,移项，得3x - -2 1,合并同类项，得3x - -1, r1系数化为1,得x = 1. 31故答案为：一1.3x 1 . 2x 1 x 1.5 - 2

18、x .6. (2018 湖北中考模拟)解方程：(1) 2 (3x- 1) =16； (2)一1 =； (3)一=1 .460.30.2【详解】(1)去括号得，6x-2 =16,移项、合并得，6x=18,系数化为1得，x=3;(2)去分母得，3(x+1)12=2(2x+1 去括号得，3x 3-12 =4x 2,移项、合并得，-x=11,系数化为1得，x = -11;10x 15 -20x ,(3)方程可化为 =1,32去分母得，20x-3 15-20x =6,去括号得，20x-45 60x =6,移项、合并得，80x=51,50系数化为1得，x =50. 81考查题型四同解方程的解题方法1 .

19、(2017陆丰市民声学校中考模拟)方程2x 4=0的解也是关于x的方程x2+mx + 2=0的一个解，则 m的值为.【详解】2x-4=0 ,解得：x=2,把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0 , 解得：m=-3.故答案为：-3.2 . (2016甘肃中考模拟)先化简，再求值： - ，其中x的值为方程2x=5x-1的解.【详解】原式=一 ?解方程 2x=5x-1 ,得：x=-,当x= -时，原式=-.知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的 等量关系；设：用代数式表示实际问题中的基础数据；列：找到所列代数式中的 等量关系，以此为依据列出

20、方程；解：求解；验：考虑求出的解是否具有实际意义；答：实际问题的答案.考查题型五配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据【工程问题解题关键】常把总工作量看做1,并利用“工作量=人均效率X人数X时间”的关系考虑问题1. (2019黑龙江中考模拟)某车间有26名工人，每人每天可以生产 800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是()A. 2M000 (26-x) =800xB. 1000 (13 -x) =800xC. 1000 (26-x) =2 X8

21、00xD. 1000 (26 -x) =800x【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则(26-x)人生产螺母，由题意得1000 (26-x) =2 X800x,故 C 答案正确2. （2019哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了 12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产 x个零件，则所列方程为（）A. 13x =12(x +10 )+60B. 12(x+10) = 13x+60C.x13x 6012=10D.x 6012x-=1013试题解析：设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件.根据等量关

22、系列方程得：12 （x+10） =13x+60.故选B.3. （2017湖南中考真题）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程 378里，第一天健步行走,第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A. 24 里B. 12 里C, 6 里D. 3 里【详解】11111.1-一试题分析：设第一天走了 x里，则根据题意知 x.1+=378,解得x=192,故最后2222324251一天的路程为不父192=6里.25故选：C考查题型六销售盈亏问题销

23、售金额小价x数量利润=商品售价-商品进价禾I润率=（利润+商品进价）x 100%现售价=标价x折扣售价=进价x （ 1+利润率）1. （2019湖北中考模拟）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（）A. 120 元B. 125元C. 135 元D. 140元【详解】解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：x+15= （x+40%x） X80%解这个方程得：x=125则这种服装每件的成本是 125元.故选：B.2. （2019广东中考模拟）某商店出售两件衣服，每件卖了 200元，其中一件赚

24、了 25%,而另一件赔了 20%.那 么商店在这次交易中（）A.亏了 10元钱 B.赚了 10钱 C.赚了 20元钱 D.亏了 20元钱【详解】设一件的进件为x元，另一件的进价为 y元，则 x （1+25%） =200,解得，x=160,y （1-20%） =200,解得，y=250,. （ 200-160） + （200-250） =-10 （元），这家商店这次交易亏了10元.故选A.3. （2017广东中考模拟）一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为 360元，则每件服装的进价是（）A. 168 元B. 300 元C. 60 元D. 400 元【详解】试题分析：标

25、价=进价X （1+50%）,售价=标价X80%.设进价为x元，则80%K 1.5x=360 ,解得：x=300元.考查题型七比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分1. （2018天津中考模拟）一张试卷上有25道选择题：对一道题得 4分，错一道得-1分，不做得-1分，某同学做完全部 25题彳导70分，那么它做对题数为（）A. 17B. 18C. 19D. 20设他做对了 X道题，则4x_（25_x） =70,x=19 ,所以他做对了 19道题，故选C。2. （2019广东中考模拟）在 2018- 2019赛季英超足球联赛中，截止到 3月12号止，蓝

26、月亮曼城队在联赛 前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败.共取得了74个积分暂列积分榜第一位.已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了 x场，则可列方程为（）A . 3x+ （ 30 - x） = 74B . x+3 （ 30 - x） = 74C. 3x+ （26-x） = 74D. x+3 （26-x） = 74【详解】设曼城队一共胜了 x场，则平了（ 30-x- 4）场， 依题意，得：3x+ （30-x-4） = 74,即 3x+ （26-x） = 74.故选：C.考查题型八方案选择问题 结合实际，分情况讨论，给出合理建议。1 . （2005山东中考真题）某乡

27、镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相同.为了 促销，甲站的液化气每罐降价25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第1罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第2罐开始以7折优惠，促销活动都是一年.若小明家每年购买 8罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是（）.A.买甲站的B.买乙站的C.买两站的都可以D.先买甲站的1罐，以后再买乙站的【详解】设每罐液化气的原价为 x,则在甲站购买8罐液化气需8X （1-25%） x=6x,在乙站购买 8罐液化气需x+7X0.7x=5.9x,由于6x>5.9x,所以购买液化气最省钱的方法是买乙站的.故选B.2. （2019也西中考模拟）寒假期

28、间，小刚组织同学一起去看科幻电影流浪地球 ，票价每张45元，20张 以上（不含20张）打八折，他们一共花了 900元，则他们买到的电影票的张数是（）A. 20B. 22C. 25D. 20 或 25【详解】若购买的电影票不超过 20张，则其数量为 90045= 20 （张）； 若购买的电影票超过 20张,设购买了 X张电影票,根据题意，得：45双刈0%= 900,解得：x= 25;综上，共购买了 20张或25张电影票;故选D.3. （2019黑龙江中考模拟）某校在举办读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分 4本，则还缺25本.若设该校七年

29、一班有学生x人，则下列方程正确的是（）A. 3x- 20=24x+25C. 3x-20 = 4x- 25B. 3x+20 = 4x- 25D. 3x+20 = 4x+25【详解】解：根据题意可得：3x+20=4x- 25.故选：B.考查题型九顺逆流问题船在顺水中的速度曲台在静水中的速度+水流速度船在逆水中的速度=M在静水中的速度一水流速度船顺水的行程=船逆水的行程1 . （2019重庆市中考模拟）轮船在静水中速度为每小时30km,水流速度为每小时6km,从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为 x km,则列出方程正确的是（

30、A . (30比 x 130-6 x =5B.30x 6x =5D.- - =530 6 30 -6x x LC. + =53 6【详解】 设两码头间的距离为 xkm,根据等量关系列方程得:x x5_ 5.30 6 30 -6故选D.2. （2019吉林中考模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h,从乙码头返回甲码头用了5h,已知轮船在静水中的平均速度为32km/h ,求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h ,则可列方程为（A . 3 (32+x) =5X32B. 3X32=5X (32 x)C. 3 (32+x) =5X (32 x)D.设水流速度为xkm/h,则顺流速度为（32+x）

31、 km/h,逆流速度为(32-x) km/h,由题意可得，3 (32+x)=5 (32-x).故选C.3. （2019江阴市云亭中学初一月考）某轮船在两个码头之间航行,顺水航行需4小时，逆水航行需6小时,水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是（x -2A.4 B.62 = 2xC.一42xD.4 6解：设两个码头之间距离为x,由：静水速=顺水速-水流速，静水速=逆水速+水流速，可得:x c x c2 = 246故答案为B.考查题型十数字问题的应用题一个两位数，十位数字是a,个位数字是b,那么这个数可表示为 10a+b一个三位数，百位数字是x,十位数字是y,个位数字是z,那么这个数

32、可表示为100x+10y+zI, （2019泉州中考模拟）如图是某月的日历表， 在此日历表上可以用一个十”字圈出5个数（如3, 9, 10,II, 17） .照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46,则这5个数的和为（）A. 205B. 115C. 85D. 65【详解】日历表上可以用一个十”字圈出5个数，那么设第二行中间数为x,则其他四个数分别为x-7,x-1,x+1,x+7,根据最大数与最小数之和为46可得x7 + x+7=46,解得x = 23.即圈出的5个数分别为16,22,23,24,30, 故5个数之和为16+22 + 23+ 24+30= 115.故选B.2. （20

33、19福建中考真题）增删算法统宗记载：宥个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍， 问他每天各读多少个字 ？已知孟子一书共有 34 685个字，设他第一天读 x个字，则下面所列方程正确的 是（）.A. x+2x+4x=34 685B. x+2x+3x=34 685C. x+2x+2x=34 685D. x+ - x+ - x=34 68524【详解】解：设他第一天读 x个字，根据题意可得：x + 2x+4x = 34685, 故选：A.3. （2016山东中考真题）在如图的 2016年6月份的日历表

34、中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）*tSR六'23467S9101112_1314151617_18192021222324252627282930A. 27 B. 51 C. 69 D. 72【详解】解：设第一个数为 x,则第二个数为 x+7,第三个数为x+14故三个数的和为 x+x+7+x+14=3x+21当 x=16 时，3x+21=69;当 x=10 时，3x+21=51 ;当 x=2 时，3x+21=27 .故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72.故选：D.考查题型H一 行程问题（路程=速度*时间） 相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离追及问题

35、：快者的行程-慢者的行程=初始距离1. （2019青岛市崂山区中考模拟）小刚从家跑步到学校，每小时跑12km,会迟到5分钟；若骑自行车，每则根据题意列出方程是（x10x 5x10x5A .-=十B.-156012 6015601260xxx10x5C.10=-5D.+-151215601260【详解】小时骑15km,则可早到10分钟.设他家到学校的路程是xkm,解：设他家到学校的路程是 xkm,x 10 x 5依题意，得：= 一15 60 12 60故选：D.2. （2019湖北省武汉中考模拟）一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是10秒，求