导数与函数选填压轴(含答案)

1、考点一。求参数取值范围(1)已知 k>0,且 f(x) kx2A* 2B.0 k解：令 f (x) kx2 ln x =0,导数与函数选填压轴ln x在其定义域内有两个零点，求k的取值范围().2eC.k 2八.1D.0 k2e则kx2ln x两函数有2个交点，由图像知，当两函数相切为临界点,1故g (m) h (m),即 2km 一 ,(2)已知函数f x又 g(m)=h(m),则 lnmm 12k1,若fA. 2,B.1,C.解：当a 0时，f3x2当a 0时，f' x3ax26x(1)当 a 0时，ff 0 =1为极大值，若(2)当a 0时，1有两个零点,3ax xJ e2

2、,则 k2k1，故0 k 2e1. 一。选 D。2e存在唯一的零点 小,且0,则a的取值范围是(D.不满足条件3ax x解得xax3 3x2 1 在2 一和0, a递增，2,0 a递减，1为极小值,存在唯一的零点%,且 0,只需4 1 a0,即为2,32ax 3x 1一 2在 ，0和一, a递增,20,- 递减，f 0 =1 a为极大值，1为极小值，不可能有满足条件的极值，故选(3)已知函数f (x)=x2 5x 4, x 02x 2,x0 什，右函数 y=f (x) -a|x|解：a<0,没有零点；a=0,有3个零点；当a=1时,y=|x|与y二 |恰有4个零点，求实数a的取值范围。2

3、x +5x+4 |相切于点(-2,2)此时，恰好有5个交点，当a» 2时，三个交点，.-.2>a>1o(4)已知函数y=|x21|x 1的图象与函数y=kx 2的图象恰有两个交点， 则实数k的取值范围是解：.函数y=kx2的图像直线恒过定点B(0,2)且 A(1, 2) C( 1,0)D(1,2) .5 -L-u ? ? ?2+2 -=01 0,0+2 kBC =1 0k (0,1)U(1,4)2+2kBD =41 0,由图像可知45(5)已知函数0若 |f(x)|0.10B. ( 8, 11210>axW a的取值范围是().A.(巴 0C.-2,1D. -2,0

4、解：由y= |f(x)|的图象知：当x>0时，y=ax只有aW0时，才能满足|f(x)| >ax,可排除B, C.当 x<0 时，y= |f(x)| = | x2 + 2x| =x22x.故由 |f(x)| >ax得 x22x>ax.当 x= 0 时，不等式为 0>0 成立.当 x<0 时，不等式等价于 x-2<a/.x- 2v 2,a>2.综上可知：a -2,0.若g(x)=f(x)-2x有3个零点，求a的取值范围。x 2, x a 已知 f(x) x2 5x 2,x a'x1或 x2,则-1 a 2。解：f(x)=2x画图：x+

5、2=2x有一个零点x=2,则 a<2,又 x2 5x 2 2x(x a),已知f (x)lnx,x 11,、(x 2)(x a),x e1, f(x)与在(e,1)处的切线有3个交点,求a的取值范围。解：设切线为：y 11(x e11、x - (x 2)(x a)有 2 个交点, e eg(x)(1 a)x 2a 0在-,1有2个零点,(1-a)214( 2a) 0 a 12(1)0(8)已知 f (x)解：令f(x)=m，则令g(x)=xex,则当xxef2(x)tf(x) 10有4个实根，求t的取值范围。2m tm 10,即t(1mm)。x>1时，g (x) ex(1 x) 0

6、 ,单调递增，当x «1时，g(x)单调递减，且g(-1)min=1 . e画绝度值图像，f(x) =m有4个交点，则1 一0,-，故 te,1、(一e)。e5(9)已知函数f(x) 2 xlx 14x1,x 04,xf2(x) (2m1)f(x)2m 0,有5个不同实根，求m的值。解：令 f(x)=t,则 t2 (2 m1)tm2 0(t有2根)，共有5个不同实根,则x根分布为2和3, 1和4(舍：因为t=f(x)根可以为2,3,4,不可能为1个，故舍)当t>4时，x有2个根，当t=f(x)=4时，x有3个根，？足共5个根;则t=1 (对应x有4个根)或4 (对应x有则 16

7、-(2m 1) m2 0, m=2 或 6. 当 m=2 时，t2 5t 4 0 ,3个根)，共有7个根与题矛盾。故 m=6.考点二。求零点和与积范围1 ,(1)求函数y=的图像与函数y 2sin x( 2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和1-x一 1 ,8个点。横坐标分别为:解：y=的图像与函数 y 2sin x( 2 x 4)关于(1,0)对称，作出图像交于1-xX1X8x4 x5 2,则交点的横坐标之和为8.(2)f(x)10g 2x,0cos( x),2 x2 4,若100,x1x2x3x410 ,且 f (x1)f(x2) f(x3) f(4),求1)(x41)(x41)的取值范围

8、。合：x3 X4像有：10g2x2log 2 Xi ,贝U X1X2 =1 ,故1)=(X4 1)(11X4)(9,21)。(3).对于实数a,b ,定义运算“2ab2ab, aab, ab ,设 f (x) (2x b1) (x 1),且关于x的方程为f (x) m(m R)恰有三个互不相等的实数根Xi，X2，X3,则XiX2X3的取值范围是解：f (x)x(2xx(x1),x 01),x 0可得m1(0,一),4X1范围求法是:人1令 0<x(2x-1)< 一41 . 3，则4又 x 2 x3 12 J x2 x3/ 1 2X2X3(一)2X1 X2 X3,若y=m 与y=f(

9、x)有3个交点,a,a b_ r-且横坐标依次为：(4)te义：min a,b,已知 f(x)min2Vx, xb,b ax1,x2,x3,求 x1 x2 x3取值范围。解：2 . x2 ,则左交点为(4 2屈,2e 2),画图知：0m 2.3故 x1x2x34,8-273。(5)已知函数f(x)(x R)满足 f ( x) 2 f(x),若函数 yy f (x)图像的交点为(xi, yi),( x2, y2),m,(Xm,ym),则(Xi yi)(A) 0(B)(C)2m(D) 4m解：由f x 2x关于对称，而x 1 1xm，对于每一组对称点0 V,1 ,-也关于xmyi 10,1对称,故

10、选B.考点三。求零点个数3. (1)设函数 f (x) x R满足f (x) f x ,f=f且当xr3 一一 sf x =x .又函数 g x = xcos x=g x个数为()A. 5B. 6C.D.解：由f( x)f x知所以函数f(x)为偶函数，所以f x =f 2-x=f8为偶函数，且以函数f (x)为周期为2的周期函数，且f0 =0,f 1 =1 ,g x = xcos x1g 0 =g 21=g -231=g-=0 ,在同一坐标系下作出两函数在_一22上的图像，发现在1 3 .1 3内图像共22有6个公共点，则函数1 3-h x =g x -f x在2 2上的零点个数为6,故选B

11、.(2)已知 f(x) x 3x,则函数h(x)=ff(x)-1的零点个数2解：f(x)=3 x -3=3(x+1)(x-1)得极值点为x=-1,1, f(-1)=2为极大值f(1)=-2为极小值，因此f(x)=1有3个不同的实根,由 f(-2)=-2<0, f(2)=2>0 知三个实根 x1,x2,x3分别位于(-2,-1),(-1,1),(1,2) , h(x)的零点相当于 f(x)= x1 , f(x)= x2f(x)= x3,同样由上分析，以上每个方程都有3个不同的实根，所以 h(x)共有9个不同的零点。(3) f(x)|lg x|,xf 01 x2, x 02,f (2x

12、 x) a(a 0)的根个数不可能为()2Ie t 一解：令t= 2x x，则f(t)=a.分别回图像，当y=a与f的交点横坐标分别为1, 2, 3 ,且t1 ( 1,0),t2 (0,1),t3 (1,) ,所对应的x分别是t1对应0个，1个或2个；t2,t3各对应2个。所以根可能3个。是，0+2+2=4, 1+2+2=5, 2+2+2=6.不可能为(4)若函数f (x)32x ax bx c 有两个极值x1,x2 ,且f(x1) x1x2 ,求关于x的方2 ,3f (x) 2af (x) b 0的不同实根个数。解：求导数f' (x)也题意知92是方程3x2+2ax+b=0的两根，从

13、而关于f (x)的方程3f2(x) 2af (x) b2有两个根，f'(x) =3x +2ax+b,x1,x2是方程22 ,3x +2ax+b=0 的两根，由 3f (x) 2af (x) b 0 ,则有两个 f (x)等式成立，x1 f (x1) ,x2 为f (玉)，由图有三个交点，故有3个不同实根.xe2考点四。与圆有关最值4. (1)定义在(-1,1)上的函数2, xf(x)=1 x 22016 x ，设F(x)=f(x+4),且其零点均在(a,b)内，a,b均为2016整数，且a<b,求x2a面积的最小值。f (x) 1 x20151x 一12016x>0,则 f

14、(x)在 (-1,1 ) 单调递增/ / 1 f(-1)=1-1- -2320160,f(0)=1>0,故 f(x)在(-1,0)有1个零点，则 F(x)在(-5, -4)内有一个零点，b-a2取小值=-4- (-5) =1,则xy2 ba的几何意义为圆,故面积最小为考点五。与不等式有关最值(一)构造函数，利用单调性6 0的解集。2015-2015 2015 人5. (1)求(x -1)2 x 6x(x2015(2x)12x, f(x 1)解：设 f (x) x2015 6x,故 f (2x)1)2015 6(x 1),则 f(x 1)f(2x),又f(x)单调递减，x-1<2x,

15、即x>-1.(2)若定义在R上的函数f (x)满足f(x) f'(x) 1, f(0)4,则不等式f(x)1( e为自然对数的底数)的解集为()A. (0,B. (,0) U(3,C.(,0) U(0,)D. (3,解：令 g(x) exf(x) ex3,g (x) ex(f (x) f (x)1) >0,单调递增,g(0)=f(0)-4=0，则 g(x)>0,故 x>0.(3)函数f(x)的导函数为f (x),对n x R,都有 2 f (x)f(x)成立，若f(ln4) 2,则不等式f(x)的解是()A. x ln 4B. 0 x ln4C. x 1D. 0

16、 x 1解：令g(x)=f(x)xe2Jig (x)i1e2(f(x) f(x)2)xd)2>0,则单调递增,g(ln 4) f (ln44)1 ,则 g(x)>g(ln4),不等式e 2xf (x) e2 的解为：x>ln4.选 Ao(4)对任意的 x, f(x)满足 f(x)-f(-x)+4x=0，且当 x>0 时，f (x) x(5)对任意的x, f(x)满足f(x)=3x2f( x),当 x<0 时，f(x)1，-3x ,若 f (m 3)f ( m) 9m272求m的取值范围。解：令 g(x) f(x)3 2 一.x ,当 x<0 时，g (x)

17、f (x)23x <0,单调递减,又 g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-3 x2 =0,则 g(x)+g(-x)=0 为奇函数。g(m+3)-g(-m尸f(m+3)-f(-m)-9m-27 一一， «0,由奇函数图像得:2“拓、3m+3» -m,故 m-。2(二)利用基本不等式(6)已知b222a 3ln a (c d 3)0,求(a-c) (b d)最小值。解：由题的:.2b a 3ln a 0(a>0)狈U(a-c)2 (b2d) »(a-c b d)2(aa2 3lna 3)22，令 y=a a23ln a 3 ,则 y 2a0,1在(

18、一,1)单倜递减，在(1, + ) 2单调递增，则y» y(1)=5.故(a-c)2(bd)2»(a-c b 2d)2(7)已知 f (x)1 , ln x1 (x>e),f(m)2ln ee f (n)，求f(mn)的取值范围。解：由f (m)21n e22f (n),贝U f(m)+f(n)=1.即 1 1 lnm 1ln n 12lnm 121。ln n 1f (mn) 1ln mn 1ln m ln n 1lnm ln n 1(ln m 1)(ln1) 1 =(lnm 1)(lnn 1)(ln m 1 ln n 1取值范围:r21>f (mn) 1 1ln mn 1lnm 11 = 4 2(ln n 12 »5Oln m ln n 1 71-)»ln m 18,0 ,求不等式