2019_2020学年高中数学立体几何初步5平行关系2平行关系的性质学案北师大版必修2

1、5.2 平行关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性1.通过用性质定理证质定理证明空间线面关系的问题.（重点）明空间线面关系问题2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、提升逻辑推理素养.平囿与平囿平行的性质定埋.（难点）2.通过运用三种语言3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、描述性质定理培养直囿囿平行的相互转化.（重点、难点）观想象能力.自主预习。摆新加口新知初探口1.直线与平面平行的性质定理文字语百符号语后图形语百如果一条直线与一个平囿平行，那么过该直线的任 L 个平囿与已知平囿的交线与该直线平行a/

2、a,a星旦，?a/ban3=b思考1:若直线a/平面a,则直线a一定平行于平面a内的任意一条直线吗？提示：不一定.当a/a时，过a的任意一个平面与a的交线都与a平行，即a可以与a内的无数条直线平行，但不是任意一条.平面“内凡是不与a平行的直线，都与a异面.2.面面平行的性质定理文字语百符号语后图形语百如果两个平行平面同时与第三个a/3,、Y1平面相交，那么它们的交线平行丫na=a,衿a4bZE_Yn3=bJ思考2：若平面a/平面3,直线a$a,直线b3,直线a与平面3有怎样的位置关系？直线a与直线b有怎样的位置关系？提示：直线a/平面3；直线a与直线b平行或异面.匚初试身手1 .有一木块如图所

3、示，点P在平面ABCD内，棱BC平行平面ABCD,要经过点P和棱BC各木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为（）;BC平面ABCD,BCBC,在平面ABCD上过P作EF/BC（图略），则EF/BC&过EF,BC所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定，只有一种方法，故选 B.B.2 .如图所示，在空间四边形ABC由，E,F,G,H分别是AB,BCCDDA上的点，EH/FG则EH与BD的位置关系是（）（）A.A.平行 B.B.相交C.异面D.不确定A AEH/FGEH平面BCD尸序平面BCD.EH/平面BCDEH平面ABD平面ABD平面BCD=BD，EH/BD 3 .六棱柱的两底面为a和

4、3,且AC“，BC“，CC3,DC3,且AD/BC则AB与CD的位置关系为.平行:八/BC-A,B,C,D共面，设为丫,由题意知，anY=AR3n丫=CD又a/3,.AB/CD4 .已知平面a/3/丫，两条直线l,m分别与平面a,3,丫相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,D|=：则AC=DF5 5ABDE15.a/3/Y,0=译E2 2/口DE2,AB2 2由而5 5，付EF=3,3,一BCT3.3.而AB=6,.BC=9,.AC=A母BC=15.合作探究。接素养线面平行性质的应用【例 1 1】如图，在长方体ABCCABGD中，E,H分别为棱ABi,A.0B.1A.0B.1C.2D.

5、C.2D.无数类型1aDC上的点，且EH/AD,过EH的平面与棱BB,CG相交，交点分别为F,G,求证：FG/平面ADDAi. .解因为EH/AQ,AQ/BC,所以EH/BC,又EH平面BCCBi,BC$平面BCCB,所以EH/平面BCCB.又平面FGHE平面BCCB=FG所以EH/FG即FG/AiD. .又FG平面ADDAi,AQ$平面ADDA,所以FG/平面ADIDA. .规律书法规律书法1 .直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.2. .运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相

6、互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.。跟。跟踹训糠踹训糠3 .如图所示，已知AB/平面&,AC/BD且AC,BD与&分别相交于点C,D.：;求证：AC=BD/!（2 2）满足什么条件时，四边形ABDC；正方形？解（1 1）证明：如图所示，连接CDABAC/BD,，：AC与BD确定一个平面 3,3,/ /又AB/“，A际3,an3=CD.AB/CD1 1 四边形ABD提平行四边形，.AC=BD（2 2）由（1 1）知ABDC；平行四边形，所以当AB=AC且AB!ACM,四边形ABDC;正方形.4 4 类用类用12/面面平行性质的应用【例 2 2】如图，已知 a a/3,/3,点

7、P是平面 a a,3,3 外的一点（不在 a a 与 3 3 之间），直线PBPM另与 a a,3,3 相交于点A,B和C,D(1)(1)求证：ACIBD(2)(2)已知PA=4cm,4cm,AB=5cm,5cm,PC=3cm,3cm,求PD的长.思路探究由PB与PD相交于点P,可知PBPD确定一个平面，结合“/3,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.解(1)(1)证明：:PBHPD=P,，直线PB和PD确定一个平面丫，则an丫=AC3n丫=BD又a/3,AC/BD4315,4315,、一=xz.-CD=xz.-CD=(cm),(cm),5CD45CD427,27,

8、、PD=PC+CD)=(cm).(cm).4 4理行方猛理行方猛2 2 . .利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;(2)(2)判定这两个平面平行；(3)(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)(4)由定理得出结论.3 3 . .面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行. 跟踪训练跟踪训练(2)(2)由(1)(1)得AC/BD,PA_PCABTCD2.如图， 已知平面a/3,P?a且P?3,过点P的

9、直线m与a,3分别交于A,C,过点P的直线n与a,3分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长.解因为ASBD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD因为a/3,an平面PCD=AB3门平面PCD=CD所以AB/CD所以羲器即皆ACBD9 9BD,24所以BDBD= =5 5类型3/平行关系的综合应用探究问题1 .如图所示，已知P是？ABC哧在平面外一点，MN分别是ABPC的中点，平面PACT平面PBC=l,直线l与直线BC平行吗？请说明理由.提示：平行.因为BC/ADB廛.平面PADAD平面PAD所以BC/平面PAD又因为B母平面PBC平面PBCH平面PAD=l,所以BC

10、/l.2 .上述问题中条件不变，试判断MNW平面PAD否平行，并证明你的结论.提示：平行.取PD的中点E,连接AENE.可以证得NE/AM且NE=AM可知四边形AMNE;平行四边形，u 乂肘R所以MIN/AEMN平面PADAE平面PAD所以MN/平面PAD【例 3 3】如图所示，四边形ABCD1平行四边形，点P是平面ABCD尸外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G过G和AP作平面交平面BDWGH求证：GH/平面PADV思路探究A,连接AC!BDFO,连接MO-MO!PAC勺中位线 J 回/MgPA/平面BMDPA/GHTGH/平面PAD解如图所示，连接AC交BDT点Q连接MOoHABCO平行

11、四边形，O O 是AC的中点，又M是PC的中点，PA/MO而APZ平面BDMOlM平面BDM.PA/平面BMD又P席平面PAHG平面PAHG平面BM&GHPA/GH又P危平面PADGH平面PAD.GH/平面PAD母题探究母题探究1 .本例条件不变，GHW平面PAC十么关系？试证明.PA/GH解由例题知P后平面PAC? ? ?GH/平面PACGH平面PAC，2 .若例题中，将G点取在MB,上述结论还成立吗？解上述结论成立，事实上，G点可以是平面DMBh任一点，上述结论都成立.规律方规律方法法1 .本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.2 .空间平行关系的转化

12、图：1 1 . .在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2 2 . .要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.3 3. .常用的面面平行的其他几个性质(1)(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这

13、两个平面互相平行.当堂达标力1.思考辨析(1)如果直线a,b和平面a满足a/b,a/a,b?a,那么b/a.()(2)如果福a,n/a,mn共面，那么m/n.()(3)若平面a/平面3,平面3/平面丫,则平面a/平面丫.()答案(1)，(2)V(3)V2 .已知直线a/平面a,平面a/平面3,则a与3的位置关系为.a&3或a/3若aM3,则显然满足题目条件.若a3,过直线a作平面丫，rna=b,丫门3=孰于是由直线a/平面a得a/b,由a/3得b/c,所以a/c,又a工3,c53,所以all3.3.过两平行平面a,3外的点P的两条直线AB与CD它们分别交a于A,C两点，交3于BD两点，若PA=6,AC=9,PB=8,则BD的长为.12两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面”，PAAC3的交线AC/BD所以由前又PA=6,AC=9,PB=8,故BD=12.PBBD4. 如 图 ， 直 四