中考数学复习：二次函数角度的存在性问题

1、1中考数学复习：二次函数角度的存在性问题2axbxc与x轴父于A(1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2);【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2(1)求抛物线的表达式;(2)求证：CAOBCO;(3)若点P是抛物线上的一点，且PCBACBBCO,求直线CP的表达式.1c5【参考答案】(1)yxx2；(2)证明略；(3)y思路点拨1.设求抛物线的交点式比较简便.2.第(2)题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等.3.第(3)题先把3个角的关系， 转化为/PC%Z2,再按点 P 与 CB 的位置关系分两种情况讨论.满分解答(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0

2、)、B(4,0)两点，所以 y=a(x1)(x4).1-.2y1(x1)(x4)=1x2x2.222代入点 C(0,2)，得a所以抛物线的表达式为(2)如图2,tanZCA&匹=2.如图3,tanZBC&理=-=2,所以 ZCAOZBCOOC2(3)如图2,因为 ZPC 珍 ZAC%ZBCO 所以 zPC 序 ZBC3ZAC%Z1=Z2./PC%在两种情况：如图4,当点 P 在 CB 的右侧时，由/PCE=Z2,得 CP/x 轴.图3角的余角相等，得Z3此时直线 CP 的解析式为 y=2.如图 5,当点 P 在 CB 的左侧时，设 CP 与 x 轴交于点 D.由 ZPd2,得D

3、C=DB.设 D(x,0)，根据 DC=D 瓦列方程 x2+22=(4x)2.解得 x 己.所以 D(-0).22由 C（0,2）、D（30），得直线 CP 的解析式为y4x2.23考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P的坐标.第一种情形，如图 4,当 CP/x 轴时，点 P 与点 C 关于抛物线的对称轴交x轴于点B,点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧;（1）当ABBD时（如图），求抛物线的表达式;（2）在第（1）小题的条件下，当DP/AB时，求点P的坐标;1一,-ABD,求ABG的面积.2第二种情形，如图6,设 P(12x,x5x2)223作 Pdy 轴于 E,那么 ODCO.所以2

4、EPCEx解得 x=0,或 x7所以P(7,33922(2x25x2)5,x-对称，所以R5,2)【例2】已知在直角坐标系中，抛物线2yax8ax3(a0)与y轴父于点（3）点G在对称轴BD上，且AGB图4图54【参考答案】191,、(1)y1x2x3;(2)(10,-);(3)10或22.思路点拨1.抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B）和点 A 的坐标，根据 AABD 求出点 D 的坐标，再代入解析式求待定系数 a.5考点伸展第(3)题也可以从/ABD 勺平分线开始思考:2. 看着1/ABD 结合 BABD 不由得让人联想起“三线合一”.23.以 ZAB0 外角，构造等腰三角形 BAGB8B

5、A 这样就满足/AB2ZAGB4. 根据对称性，/AGB 勺顶点 G 存在两种情况.满分解答(1)所以将点由 y=ax28ax+3,可得 A(0,3),抛物线的对称轴为直线B(4,0),AA5.当BAA5时，D(4,5).得 a1.所以 y8D(4,5)代入y=ax28ax+3,如图 2,作 PRBWE.设点 P 的坐标为(x,当 DP/AB 时，EEP3-EP.4所以 ED解方程 512-x8所以x=10,或x=4x=4.12x8OAOB3)34(x一24)，整理，得x14x+40=0.(与点 D 重合，舍去).所以 P(101).，2(3)如图 3,在 DB 的延长线上截取 B 序 B*5

6、,那么/AGB/BAG又因为/AB6/AG&/BAG 所以此时/AG 序 1/ABD2此时S/ABB10.如图 4,作 AFUBWH,点 G 关于直线 AH 的对称点为 G,那么 GH=G8.所以 BG=B 卅 G比11.此时 SKG=22.图2图3图4图56如图 5,作 ZABD 勺平分线与 y 轴交于点 C.因为 Z1=Z2,Z1=ZC,所以/2=ZC.所以 ACA45.过点 A 作 BC 的平行线交抛物线的对称轴于点 G,那么四边形 CAGBI 平行四边形.所以 Z1=ZG,BGAA5.所以/AGB1/ABD 此时斗AB10.2求点 G的过程同上.32-xbxc与y轴角于点A(0

7、,3)，与 x 轴的正半轴交于点5B(5,0)，点 D 在线段 OB 上，且OD1,联结 AD 将线段 AD 绕着点 D 顺时针旋转90得到线段 DE 过点E 作直线lx轴，垂足为 H,交抛物线于点 F.(1)求这条抛物线的解析式；(2)联结DF,求cotEDF的值；(3)点 G 在直线l上，且EDG45，求点 G 的坐标.好答案：(1)y35212x一x3；(2)COtEDF2.55;(3)E(4,6)或(4,-)2满分解答(1)因为抛物线与x 轴交于点巳5,0)，设 y35(x5)(xm)，代入点 A(0,3),得一3m3.所以m-1.所以 y35(x5)(x1)32-x512x53.(2

8、)如图2,由AOBADHE 得 D 田 AO3,E 出DO1.所以 E(4,1),3由 f(4)(x5)(x1)3,得 F(4,3)5【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y7F(4,3)、E(4,1)，可得 ZDF?45,DA3 扼，E 巳2.如图 3,作 E/DF 于 M 那么 ElF 眼后由 D(1,0)8在 RtDEI,ElVt72,D 降 DFF/2J2,所以 DE 而.DM2、.；22.5所以cos/ED 巳=一.=丁DE105【例4】已知顶点为A(2,1)的抛物线经过点B(0,3)，与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)；(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结AB、BD、DA,求A

9、BD的面积；(3)点P在x轴正半轴上，如果APB45，求点P的坐标.(3)符合条件的点G有两个：1如图 4,当点 GDE方时，由/EDGZEF45,/DE 催公共角，可得ED(AEFG 所以 ED=EF EG 所以10=2EG 所以 EO5.此时G4,6).2如图 5,当 G在 Db 方时，GDG 是直角三角形.此时 D=HG HG.所以9=6HG.所以 HG=3.此时 G(4,2).图2图3图4图59参考答案：(1)Vx24x3；(2)3;(3)(3把,0).满分解答(1) 设抛物线的顶点式为 V=a(x2)21,代入点 B(0,3)，得 a=1.所以这条抛物线的解析式为 y=(x2)2-1

10、=x24x+3.2(2) 由y=x4x+3=(x1)(x-3),得 C(1,0),D(3,0).如图2,由 A(2,-1)、B(0,3)、D(3,0)，可得/BDO=45,ZADO45,BA&/2,AA匝.所以SFD=1ADBD=1423扼=3.22(3)如图3,以AB为斜边构造等腰直角三角形GAB以G为圆心、GB 为半径画圆，与 x 轴交于点 P(圆与 x 轴右侧的一个交点)，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知 ZAP 序45。.如图 4,由BMAGNA 得 BM=GNMG=NA设 G(mn),那么旺n+1,3n=nv2.解得n3,n=2.所以 G(3,2).设 P(x,0)

11、.根据 GB=GP,列方程32+12=(x-3)2+22.解得(3 扼,0)，或(3 扼,0)(这是圆与x轴左侧的交点的横坐标，此时 ZAPA135。).所以点 P的坐标为(3J6,0).10【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为 ZBDO=45=Z1+Z3,所以Z1=Z2,Z3=Z4.DP所以PBIAAPD 所以DLDBZAPS45=Z2+Z3,ZADO=45=Z2+Z4,DADP是DP=DA DA23,2=6.所以 Dd 扼，O43J6.所以 P(3J6,0).【例5】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数mxn的图像经过点A(3,0),B(m,m1),且与y轴相交于点C；(1)求这个二

12、次函数的解析式并写出其图像顶点D的坐标;(2)求CAD的正弦值;(3)设点P在线段DC的延长线上，且PAO求点P的坐标.图2图311yl参考答案：(1)yX22x3，顶点(1,4);(2)瑚010满分解答(1)将 A(3,0)、B(mnu1)两点分别代入y=x2+m解得m2,n=3.所以 y=-x2+2x+3=(x-1)2+4.所以Q0,3)，顶点 D(1,4).(2)如图2,作DHy轴于E.由 A(3,0)、C(0,3)、D(1,4)，可得ZAC&ZDCE=45,AO冷,DOR.(3)33.5,Z),(6,3)-n,3mn0,m1.所以ZACD=90.所以 AD=AC+DC=18+2

13、=20.所以 AA2崩.所以tanZCAP 匹=互=1,sinZCAP 匹=互=匝.AC3,23AD2_510(3)直线 CD 勺解析式为y=x+3,于是可设 P(x,x+3).作 PMx 轴于 H,当ZPAOZCAIM,由tanZPAO=tanZCAD 得引1AH31当 P 在 x 轴上方时，-31.解得 x.此时 P(3,-)(如图2所示).3x32222当 P 在 x 轴下方时，(x3)1.解得x=6.此时R6,-3)(如图3所示).图2图31213【例6】如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线yx2bxc与 x 轴相交于点 A(-1,0)和点B,与y 轴相交于点 C(0,3)，抛

14、物线的顶点为点 D,联结 ACBGDBDC(1)求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：ACADBG(3)如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，ZBCE=ACO 求点 E 的坐标.满分解答(1)由抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴相交于点A1,0)，设y=(x+1)(xm).代入点 C(0,3)，得3.所以y=(x+1)(x-3)=-(x22x3)=x2+2x+3=(x-1)2+4.所以点 B 的坐标为(3,0)，顶点 D 的坐标为(1,4).(2)如图2,由 B(3,0)、C(0,3)、R1,4)，可知 B、C 两点间的水平距离、竖直距离都是3,GD 两点间的水平距离、竖直

15、距离都是1.因此 BCDC 与 y 轴的夹角都是45。.DC所以ZBCD=90,tanZDBG-DCBC所以 ZAC&ZDBC 所以ACtADBC壁=13;23由 A(1,0)、C(0,3)，得 O 任1,O3,所以tanZAC&A=-OC3G 是 BD 的中点.所以G2,2).3.解得Ed6.所以 E(6,0).14(3) 设 CE 与 BD 交于点 G.由 ZBC&ZACOZDBC 得 G 序 GC于是可得 C 饥RtDBC 斗边上的中线，点作 G 血 y 轴与 H,那么也四，即-GHEO2152axbx5(a0)经过点A(4,5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交

16、于点C，且OC5OB，抛物线的顶点为D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且BEOABC，求点E的坐标.【1】如图，抛物线y(1)抛物线yax2bx5与y轴交于点C,C(0,5),.OC5.OC5OB,OB1.又点B在x轴的负半轴上,B(1,0).抛物线经过点A(4,5)和点B(1,0),16a4b,这条抛物线的表达式为yx24x5.(2)由y2x4x5，得顶点D的坐标是(2,9).联结AC.点A的坐标是(4,5),点C的坐标是(0,5),10,8,确边形ABCDSABCSACD18-(3)过点C作CHAB，垂

17、足为点H.图2图3图4D【参考答案】16-SABC1ABCH10,AB5而,217BHC90,BC26,BHJBC2CH2娘,BO2._33，得EO-,.点E的坐标为(0,).EO322【2】如图，抛物线y=x2+bx+5与x轴交于点A与B(5,0)点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P.(1)求抛物线的表达式并写出顶点P的坐标;(2)在x轴上方的抛物线上有一点D，若？ABD?ABP,试求点D的坐标；(3)设在直线BC下方的抛物线上有一点Q,若SDBCQ=15，试写出点Q坐标.参考答案：(1)yx26x5,P(3,4)；(2)D(1,12)；(3)Q(2,3)或(3,4).满分解答(1)将点巳

18、5,0)代入y=x2+bx+5,得.解得b=6.所以y=x26x+5=(x-3)2-4,顶点 P 的坐标为(3,4).(2)如图 2,作 DMx 轴于 N.设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M由tanZABD=tanZABP 得N现.在 RtBCH中,CH2BH3在 RtBOE中,BOE90,tanBEOBOEOBEOABC,18BNBM设点 D 的坐标为(x,x26x+5),那么-竺5-2-5x2解得x=1.所以点 D 的坐标为(一1,12).19如图3,设 y 轴上点决方的点G直线 BC 勺距离 G*3 很，那么CG6,G(0,-1).过点 G 乍 BC 勺平行线与抛物线的交点就是要求的点 Q 这条直线为 y=x1.解方程组yX1,得