微积分复习题题库超全

1、1习题121.确定下列函数的定义域:(1)V=、=；(2)y=logaarcsinx;(3)y=-x2-9sin二xx1+loga(2x3);(5)y=arccos+loga(4x)22.求函数1,c、sin(x#0)y一1x0(x=0)的定义域和值域。3.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同?(1)f(x)=x,g(x)=Jx2;(2)f(x)=cosx,g(x)=12sin2：;(3)f(x)=51,g(x)=x1；(4)f(x)=g,g(x)=x。x1x4.设f(x)=sinx证明：f(x：=x)-f(x)=2sin己cos225.设f(x)=ax2+bx+5且f(x+1)f(x)

2、=8x+3,试确定a,b的值。6.下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？1x2(1)y=x2(1x2)(2)y=3x2x3；(3)y=;1xx.x,、一.a-a(4)y=x(x1)(x+1);(5)y=sinxcosx+1(6)y=27.设f(x)为定义在(q,+*)上的任意函数，证明：(1)F1(x)=f(x)+f(x)偶函数；(2)F2(x)=f(x)f(x)为奇函数。8.证明：定义在(口，+8)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9.设f(x)定义在(-L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。10.下列

3、各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1)y=cos(x2)(2)y=cos4x;(3)y=1+sinnx;(4)y=xcosx;(5)y=sin2x(6)y=sin3x+tanx。11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。(1)y=x3,x=sint(2)y=au,u=x2;(3)y=logau,u=3x2+2;(4)y=&,u=sinx-2(5)y=*G,u=x3(6)y=logau,u=x22。12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1)y=也+x)2+1(2)y=3(x*)2；e2习题13如果 limun=A，则

4、 m|un|A|，并举例说明反之不然。nn习题14r2,小1.设弟匕提)(1)作函数y=f(x)的图形；(2)根据图形求极限limf(x)与limf(x)；xI一x1(3)当XT1时，f(x)有极限吗？2.求下列函数极限：x(1)lim;(2).xlim2；(3)lim2xox)0|x|xPx|x|x0-x-|x|3.卜列极限是否存在？为什么?(1)limsinx;(2)limarctanx;(3)limcosx)二x1二x0 x(4)lim(1+e“)；x(5)|x1|limx1x1(6)limex:。习题15x2-2x14-蚂二习题16求下列极限1.-一23n22n(n1)；2.n23.响

5、八；xZx31.求下列极限：(1)limsinax(b,0)；xosinbxtanxsinxlim3x们x3(2)(3)(6)(9)1-cosxlimxwxsinx耽(1tanx严;(3)y=sin2(3x+1)13.求下列函数的反函数:(4)y=：；logacos2x。(1)y=2sinx；(2)y=1loga(x2)；2xy=k1.利用数列极限定义证明:3x-1lim。x)1,xT6.34(10)limx*a:;xxa2.利用极限存在准则证明：,11(1)limn+x，二n二n2二x222(11)limX+1=1；nn二(2)数列J2,寸2+龙，寸2+/2+J2,的极限存在;x21.=1O

6、(3)limj，x一1习题17(12)lim1_WXr.、n21.当n无限增加时,1(1)二；n2.已知函数下列整标函数哪些是无穷小?n11cosn二(4)。3.为什么?4.11Xx,),ln(1x),eXx(1)当XT0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？(2)当 XTE 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大?(3)“1是无穷小”，这种说法确切吗？X函数 y=xcosx 在(q,+8)是是否有界？又当求下列极限/八!000n(1)lim；x51(|a：1,|b|：1)(-2)n2n(4)limn+1x，：-(-2)3xsin-X,eXTE 地，这个函数是否为无穷大?(2)lim

7、-x_：:.n2nn-2)limE&2、&：；xr：1bb2，bn(5)x3limx.1x1(6).4x2-1lim2；x16x2-5x125.求下列极限：ex十蛙1exP(1)limcX)二.(2)limxX0arctanx(4)lim;x，匚x6.下列各题的做法是否正确？(5)1cos;X-Xe(3)lim-sinn兀；n-nx2-9(1)limx)9x-9,、1(2)lim(x1x-1lim;x-arctanx为什么？(6)X一limearctanX。Xlim(x2-9)x9lim(x-9)xT12)=limx-1:11cITim2=：=0XTx-1x1x-15.39.当

8、XT1时，x3x+2是 x x1 1 是多少阶无穷小?10.当XTE 时，军1 1是 1 是多少阶无穷小？11111.当XT时，sin是是多少阶无分小？习题181.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:ax1-x2n4.讨论函数 f(x)=limx 的连续性，若有间断点，判断共类型。n一,：1.x习题191.设 f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。2.若 f(x)在a,b上连续，且在a,b上 f(x)恒为正，证明：在a,b上迹f(x)连续。3.求下列极限：(3cosx1(3)lim=limcosxlim=0。xxx)二J-，x7.证明：当XT0 0 时，arcsinxx,arcsinx

9、x,8.利用等价无穷小的性质，求下极限：Msin2x.(1)lim,x)0sin3xn(3)limsinxm(m,n 为正整数)；J0(sinx)arctanxx。(4)limxsin2xlimx)oarctanx,x,=。0一1一cosx(1)f(x)=x；x(2)f(x)=*2x2(0 三 x 三 1)2-x(1，：x_2)(3)f(x)=(|x).、(|x|1)(4)甲(x)=*|x|(x=0)o1(x=0)2.指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，贝 U U 补充或改变函数的定义使它连续。一、x2-1(1)y=2;x-3x2(2)ntanx(3)y=cos2

10、1x号心在0,2上连续?(1：x三2)3.a为何值时函数f(x)=q,、sin5x-sin3x(3)lim;6(1)lim%x22x+5；(2)lim(sin2x)3；x0 x7习题110、5一,、1.证明：方程 x3x=1 在区间2.设 f(x)在闭区间a,b上连续，x，x2，xn是a,b内的n个点，证明:3兴a,b,使得f()=f(x)f(x2)f(xn)习题211.用导数定义求下列函数的导数:7.函数在某点没有导数， 函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。8.设函数 f(x)=X(X罚为了使函数f(x)在 x=1x=1 处连续可导，a,b b 应取什 ax+b(x1)/八 s

11、inxsina(4)limxax-a.sinx(7)(10)(12)(5)(8)lim-123璀一2xr、x2-4ln(ax)Tnalimx_0 xba-a 蜉 x-b(a0)“、ln(13x)(6)lim)limthx;x)二(11)(9)lim(x，+2x_1);x_)_：:x.xxlim.x1(1,2)上至少有一个根。(1)y=ax+b(a,b 是常数)(2)f(x)=cosx;2.下列各题中假定f3)存在，(1)f(x0一,x)0_x(3)limf(x0+h)-f(X0-h)=A。h0h3.利用藉函数求导数公式，求下列函数的导数：(1)y=x2-我；(2)y按照导数定义观察下列极限，指

12、出limf(x)=A,其中,x)0 x-x(3)y=2x(4)y1.632=x&x；23x、x;54.已知函数f(x)5.已知函数f(x)6.自由落体运动(3)y=oxA 表示什么？f(0)=0;1，求f(1),f(-2)。x=只，求(2),(4)。s=1gt2(g=9.8米/秒2)。28么值？29.求曲线y=sinx在x=IT及x=n处的切线斜率。310.求曲线y=x3上取横坐标为玉=1及x2=3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？112.证明函数数f(x)=Jxsin；(*yx=0处连续，但不可导。13.函数y=|slnx|在 x=0 x=0 处的导数

13、是否存在，为什么?14.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：(1)f(x)=Xsln!(乂#0)在点 x=0 x=0 处；、0(x=0)，一、x1.(2)y=在点 x=1x=1 处；x-1(3)y=|x+2|在点x=2处。习题221.求下列函数的导数：(1)y=ax2+bx+c;2_(4)y=xcosx；(7)12；(2)(5)(8)y=x2(2十行)；P仰)=寸知sin中；1-sints=;1sint2(3)f(v)=(v+1)2(v1);(6)y=3ax-2；x(9)y=(2+sect)sint。2.2.求下列函数在指定点处的导数:(1)f(x)=anxn+anjxn+a1x+a0，求

14、f(0),f(1)；(2)y=x2sin(x-2)，求y(2)。x,t 是自变量，a,b是大于零的常数)(3)y=71+ln2x；(6)y=Vcosx2；(7)y=JI+2x+丁12；(8)(10)y=sin/+x2；(11)y=sin2xcot32(9)(12).2y=sin(2x1)；一._x2x-2y=sine；9y=x2+5相切且通过点（1,2）的直线方程。=xlnx的平行于直线2x2y+3=0的法线方程。=x2上哪一点的切线与直线3xy+1=0交成457.求过曲线y=e2x+x2上横坐标 x=0 x=0 的点处的法线方程,dy8.设f(x)对x可导，求dy:dx(1)y=f(x2)；

15、(2)y=f(ex)ef(x)；(3)y=ff(x)(4)y=f(sin2x)+f(cos2x)。习题231.求下列函数的二阶导数：22,、2x3.x4(1)y=xcosx;(2)y=*a-x；(3)y=；x(4)y=tanx；(5)y=(1+x2)arctanx；(6)y=e、x；(7)y=lnsinx;(8)y=sinxsin2xsin3x;(9)y=ln(x+x2a2)。2.验证函数y=C1e+C2e顷(九,C1,C2是常数)满足关系式/T”=。3.验证函数y=exsinx满足关系式y-2y+2y=0。4.求下列函数的高阶导数：(1)y=x2e2x,求y(20);(2)y=x2sin2x

16、，求y(50)。(13)y=cos2(cos2x)(14)y=x2sin1;x(15)y=J1+tan.x+i；(16)(19)(22)2x/lnxsin3x=e;1=arccos;(17)(20)(23)(25)=xarccosx-1x(28)(31)1x=arcsin:1x(1)=cosarccos!;(34).sin2!=ex;(37)chx=shxe；=t3-3=ln3(x2)；(18)y=ln(1+x+(2x+x2)；(21)y=lnln(lnt)；=arccosj1-3x;(24)arcsinx(26)y=.-;(27)1 x(29)(32)(35)(38)y=Jxarctanx;

17、:2arcsinxy=ln(arctan*1+x?)；(30)y=；arccosxy=earcsinx+arctanex；(33)y=仓TT仅f；bxay=ch(shx)；y=arctan(thx)(36)(39)y=th(lnx)；1y=ln(chx)+2。4.求与曲线5.求曲线y6.抛物线y角。并求从原点到该法线的距10人口皿d2yy 的二阶导数*：dx(1)y=f(x2)(2)y=f(sin2x);6.试从空导出=-二。dyydy2(y)3习题242t=2秒时的水平与铅直方向的速度；3求水平方向加速度与铅直方向加速度。4=acosO.兀八bsin。在=4处;5求质点出发时所在的位置；(1

18、)x2+y2=R2；(2)222x+xy+y=a；(3)xy=e45*；(4)xy=yx(5)xcosy=sin(x+y)；(6)yarctan=x1.求下列方程所确定的隐函数y 的导数2.利用对数求导法求下列函数的导数:1宜:dxln*x2+y2。5.若fx)存在，求下列函数(3)y=lnf(x)。11(1)y(2)y=(lnx)x;(3)(4)y3x2cosx=(sinx)；(5)y=.(5-2x)(x-1)(x1)2十(y+3)2=17过点(2,1)的切线方程。(6)y=xx；2x(x1)oy_(x2-1)3.求圆4.设y=sin(x+y)，求y5.设s=1+tes,.2x=t求St。6

19、.已知七求dy7.已知星形线x=acos31_3y=asintx=a(:产一sin)、y=a(1cos甲)dydxd2yd2y9.求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：8.已知摆线dydx3atx=213aty一匚在 t=2t=2 处。10.已知质点运动方程为x=1+2tty=4t2121.求下列函数的微分(1)y=5x2+3x+1；2y=arcsin(2x-1)；2(4)y=2lnx+x；2.求下列函数在指定点的微分：1(1)y=arcsinJx,在x=和x=2(2)(5)y=(x2+2x)(x-4)；y=ln(secttant)；时(|a|j2)；x 一.(2)y=(2)y=2,在 x=0

20、 x=0 和 x=1x=1 处。1x23.3.求下列函数在指定条件下的微分：1(2)y=，当(tanx1)2变到61兀时。3604.若函数y=x2+1,(1)在 x=1x=1 处，& &=0.01=0.01，试计算dy,Ay及Aydy;(2)将点5.填空：增量Ay和Ay-dy在函数图形上标出。(1)d()=2xdx;(2)d(1)=dxx(3)d(4)d(5)d()=sin2xdx；(6)1,ydx；xdxd(广2x(7)d()edx2=()dx；(8)d(sinxcosx)=d()+d(cosx)=()dx。11.验证参量方程/=etsint,y=ecost所确定的函数 y

21、满足关系d2y,、2cdy(x+y)=2.x日-ydxdx12.一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？13.将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？14.有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：(1)当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？(2)它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？(3)何时它的上端下滑的速率为4米/秒？习题2513习题311.验证F(x)=lnsinx在|-,U满

22、足Rolle定理的条件，并在-，:上,找出使66！.66f化)=0的to2.以定义在1,3上的函数f(x)=(x_1)(x2)(x3)为例，说明Rolle定理是正确的。3.已知函数 f(x)=1 项 x2,f(1)=f(1)，但在-1,1没有导数为零的点,这与Rolle定理是否矛盾？为什么？4.验证函数f(x)=arctanx在0,1上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间(0,1)内找出使f(b)f(a)=f(顷ba)成立的亳。15.当 abab 0 0 时，对于函数f(x)=-在(a,b)a,b)上能否找到洒足有限增量公式的&点？x这与Lagrange中值定理是否矛盾？6.不

23、用求出函数f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根？并指出它们所在的区间。7.证明恒等式：arcsinx+arccosx=；(TMxM1)。8 .若方程anxn+anxn七+ax=0有一个正根x=x0,证明：方程annxn+ann1)xn_2+、+a=0必有一个小于x的正根。9 .若函数f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f(XI)=f(x2)=f(x3)其中，axex?x3ex。习题321.求下列各题的极限：/八，-ln(1x)3一x3一a/(1)lim;(2)lim(aA0);x10 xx-a.x-aexe2(4)lim;(5)limx2e1;xT

24、sinxx0一、，zx1(7)limnxln(x1)；(8)lim.|；x1x1x-1lnx,、1tanx,、xn(10)lim；|;(11)lim(a1,nA0);x-0.xXraX(3)(6)(9)2.验证jim*：；,：存在，但不能用lnsin3xlim;xfilnsinxln11lim;xarccotxsinxlim,x;x)0(12)limx0Isinx*LHospital法则计算。1415习题334321.将x的多项式x-5x+x_3x+4表为(x4)的多项式。2.应用Maclaurin公式，将函数f(x)=(x3-3x+1)3表示为x的多项式。3.当x=4时，求函数y=qx的三阶

25、Taylor公式。14.当x=1时，求函数f(x)=的n阶Taylor公式，并与出拉格朗日型余项。x习题341.判定函数f(x)=x+cosx(0苴x0);(3)sinx+tanx2x00)；y=ln(x+v1十x2)。(2)1xln(x、.1x2).,1x2(4)arctanx芝x(x壬0)。(x0);9.单调函数的导函数是否必为单调函数？(研究:f(x)=x+sinx)1.求下列函数的极值:(1)y=2x3-3x2；1(4)y=xx;(2)y13x.45x2(5)y=2exe(3)y=x-ln(1x2)；(6)y=x+tanx。162.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:(1)y=x5

26、-5x4+5x3+1,1-xx21x-x2T,2;0,1；17(3)22aby=+，(0,1),(ab0);(4)y=x+j1_x,-5,1；(5)y=sin2x_x,rii.S2(6)1Xy=arctan,1X0,1;(7)2一_f(x)日x3x+2|,10,10。3.将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小?4.设一球的半径为 R,R,内接于此球的圆柱体的最高为 h,h,问 h h 为多大时圆柱的体积最大？5.过平面上一已知点P（1,4）引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。6.对某个量x进行n次测量， 得到n个测量值Xi,X2， ， Xn，

27、试证：当X取这n上数的算术平均值X1*二2+一x时，所产生的误差的平方和：n（XX）2+（xX2）2+（xxn）2为最小。7.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg,求最省力的杆长？8.从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角中为多大时，做成的漏斗的容积最大？习题36(4)(6)(8)3)为曲线y=(x1)4ex；y=ln(x2十1)；xy=xe。y=ax3+bx2的拐点？1.求下列各函数的凹凸区间及拐点:（1）y=x3-5x2+3

28、x-5；3X（2）y=2二2（a为任意正数）；图34184.试确定y=k(x23)2中的 k k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。习题37求下列曲线的渐近线:1.2.3.4.5.y=2；x-4x5x=.2，(1x)(1x)(1x)3?xT;x=2x+arctan。2习题38描绘下列函数的图形：1.y=-(x4-6x2+8x+7)。51.22.y=+4x。x3.y=e4)2。24.y=ln(x+1)。5.y=22(a0)。xa6.y=esinx(x占0)。习题391.求抛物线y=x2-4x+3在顶点处的曲率及曲率半径。2.计算曲线y=chx上点(0,1)处的曲率。3,x=acosJ3.求曲线

29、.3在t=比处的曲率。,x=a(costtsint).二，4.求曲线彳，.，在七=处的曲率。y=a(sint-tcost)225.证明曲线y=ach在任何一点处的曲率半径为匕aa19习题3101.试证明方程x5+5x+1=0在区间(-1,0)内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。2.求方程xlgx=1的近似根，使误差不超过0.01。习题411.定积分f(x)dx的几何意义可否解释为：介于曲线y=f(x),x轴与x=a,x=b之-a间的曲边梯形的面积?2.设物体沿x轴，在变力F=F(x)的作用上，由点a移到点b(ab)，试用定积分概念(积分和式的极限)来表示变力 F

30、所作的功3.利用定积分的几何意义，说明下列等式：一、1(1)2xdx=1;-04.把下列定积分写成积分和式的极限:(1)dx;01x2(2)ix2dx与x2dx;-1-1/-X1xdx与f3dx。-26.求由fe，dt+icos(t2)dt=0-00确定的隐函数 y 对x的导数dy。dx7.计算下列各导数:(1)dx1(3)-xsintdt；t04f1+xdx;dyy8.计算下列各定积分：(1)(4)ddxd.lnxt2.dxx12x2edt。(3)(5)(7)x3dx；1d2、1-x11edx02二i|sinx|dx;0(4)(6)(8)9-iJx(1+/x)dx；-41/.314，x2冗i

31、4tan2d71;02x(x&1)23x2(x1)设f(x)=2，求Jf(x)dx。-01.；2,二Id-xdx=;-04JTTtfcosxdx=2f2cosxdxo(3)fsinxdx=0;-Ji(4)冗fsinxdx。-05.根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大?(1)ix2dx与ix3dx;-0-020213lim(1爵2、3，n)n2n：:习题421.求下列不定积分(其中，a,m,n,g为常数)：dx(1)Jx衣dx;(2W2xx(4)3产一+|du；(5)J-IL；Vuu)LTgh/、(1-x)2(10)J亍dx;9.求下列极限(1)lim-cos(t2)dt；(2)

32、x)0 xsinxr2，一一s、几/、x(0 壬 x1)10.设 f(x)=,x(1x2)x求中(x)=ff(t)dt在0,2上的表达式，并讨论-02x0(arctant)limx二x21dt中(x)在(0,2)内的连续性。11.求极限(7)f(x2+1)2dx；(8)(、x1)(x3-1)dx；(9)10 x33亍dx；(13)x1e二丁dx;x2(14)atetdt；(15)23x-52xdx;3x2(16)secx(secx-tanx)dx;(17)tanxdx,2xcos2x(19)cosdx;(20)dx;2cosxsinx(18)(21)1cos2xcos2x2_2cosxsinm

33、xndx;(6)(x-2)2dx；(11)x212t|dx;1-x23x43x21dx;(12)22习题43(1)e5tdt;(2)(12x)5dx;(3)dxf；3-2x(4)f2x-12fcos(wt+平用t;cos3xcos5xdxdxdx2；ux22x27/22cosudu:,：./6x2.a2-x2dx-00 x(1x)edxfi;11lnx(15)(18)(21)(24)(27)(30)(33)(36)(3)2x,dx；,14xcosxsinx,2dx;1cosx(x1)(x-2)3Jtanxsecxdx；22(arcsinx).1-xdx,(x21)3dx厂1，1-x24dxi1

34、x(9)(12)(15)二耳dx；1/2x22axdx0.3a2-x2Jl斜cosxcos2xdx;2324冬(16)、：cosxcos3xdx；(17)JJI一 23.利用函数的奇偶性计算下列积分J1+cos2xdx；(18)1dxoex1(3)4.5.6.7.8.9.二4.xsinxdx,-Ji(2)12(arcsinx).kdx;f(x)为连续函数，证明：a0 x3f(x2)dxJI2仃4cos4臼dB;JH25fsin：xdx。x42x21-_5a2fxf(x)dx(a0)。12-0、，f(x)在4,b上连续，证明：bbf(x)dx=f(-x)dx。._b._b对于任意常数a,证明：a

35、af(x)dx=f(a-x)dx。-0-0证明:证明:证明:10.设11.若1-dxx2(x.0)。1x21x1mnnmx(1x)dx二x(1x)dx。-0-0JI2sinnxdx。-0Ttnsinxdz=2alf(x)dx的值与a无美。a-Lxif(t)dt是偶函数；-0f(x)连续函数且为偶函数，证明：ff(t)dtvnf(x)是以 2121 为周期的连续函数，证明:f(x)是连续函数且为奇函数，证明:是奇函数。习题441.计算下列不定积分:(1)Jxcosmxdx；(4)(7)Jxln(xT)dx；2xtanxdx;(2)Jtedt;2(5)Jxlnxdx;2(8)Jxcosxdx;(3

36、)(6)(9)Jarcsintdt；2Jxarctanxdx;Rlnx)2dx;(10)lnx2dx;(1x)(11)(x21)sin2xdx;(12)Jxsinxcosxdx；2526、(lnx2)(13)2，dx;x-2Tj(16)jedx；ln(x1)(19)()dxx12.计算下列定积分：(1)ixlnxdx；-11ln(1x)I2(2-x)(14)exsinxdx;22(17)fxcosxdx;(20)jx2Jx2+a2dx；:x.(2)一3dx;sinxc2(5)arctanx-1dx14(8)exdx；-0(15)eaxsinnxdx；2一(18)J(arcsinx)dx;(21

37、)JarctanJxdx。一、二2(3)o(xsinx)dx；JE:(6)2e2xcosxdx；0e(9)Llnx|dx。习题45(4)(7)eLsin(lnx)dx;27(1)2x3/dx；(2)5：4一吼；x-x(4)；(x1)(x2)(x3)(5)x21.2dx;(x1)2(x-1)(7)dx1.(8)dx2.2、(x21)(x2x)x41(10)dx;1tanx(11)1sinxcosx(13)(、x)31F=dx;-、x1(14)、x1-1f；dx;.x11(16)jJHdx；1-x(17)1dx;x(1x)(3)33dxx31(6)rdx2x(x21)(9)14dx；(12)dx1

38、3x1(15)1/，x4x1(18)j=dx。xx22x22.用学过的方法求下列不定积分x(1)dx;(2)(1-x)3lnlnx(4)idx；(5)xdx；(6x6)3-x2)5/2/2(aln(1x2)dx;(10)px;(11)(dx;sinx(1x8)2(3)(9)(12)1cosxC3顿xcosx_.一3sinx11x83x421.求下列不定积分:1128习题521.1. 求由下列各曲线所围图形的面积：(1)y=lnx,y=e十1x及直线y=0;(2)y=ex,y=/及直线 x=1x=1；(3)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb(0ab);(4)y=x2与直线 y=x 及y

39、=2x。2.2. 求由下列曲线所围图形的面积：(1)r=2acos0;r=2acos0;(2)x=acos31,y=asin31；(3)r=2a(2+cosB)。3.3. 求下列各曲线所围图形的公共部分的面积：_(1)r=1及 r=1+sinr=1+sin0;(2)r=j2sin8及r2=cos28。习题531.设 D 曲线y=1+sinx与三角直线x=0,x=gy=0围成的曲边梯形， 求 D 绕x轴旋转一周所成的旋转体积。2.求y=x2与y=x3围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。12x23.有一铸件，系由抛物线y=10 x2,y=10+1与直线y=10围成的图形绕 y 轴旋转而成的旋转体

40、。试算出其质量（长度单位是10-2m,铸件密度7.8x103kg/m3）。4.4. 求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积：（1）y=x2,x=y2，绕 y 轴；（2）x2+（y-5）2=16，绕x轴。5.5. 设有截锥体， 高为h上、 下底为椭圆， 椭圆的轴长分别为 2a,22a,2b b和 2A,2B,求截锥体的体积。6.计算底面是半径为 R 的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。习题541.计算曲线y=lnx上相应于3x(b+c);(3)(axb) c。(1)|a+b|日a_b|;3311.已知OA=i+3j,OB=j+3k,求OAB

41、OAB 的面积。习题811.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。2.动点到点F(Y,0,0)与到点F2(a,0,0)距离的平方和等于常量4a2,求动点轨迹方程。3.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面？4.动点到点(2,0,0)的距离为到点(-4,0,0)的距离的一半，求动点的轨迹方程。习题821.平面Ax+By+Cz+D=0与平面A2x+B2y+C2z+D2=0平行(但不重合)的条件是什么？2.指出下列平面的特殊位置，并画出各平面：(1)x=0；(2)3y1=0;(3)2x3y6=0;(4)x-73y=0;(5)y+z=1;(6)6x+5

42、y-z=03.求过点(3,0,-1)且与平面3x7y+5z12=0平行的平面方程。4.求过点 M(2,9,-6)且与连接坐标原点的线段OM垂直的平面方程。5.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。6.一平面过 z 轴且与2x+yV5z=0的夹角为,求它的方程。37.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,1,0),求平面方程。8.分别按下列条件求平面方程(1)平行于xOz而且经过点(2,-5,3);(2)通过z轴和点(-3,1,-2);(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)。习题831.求点(1,2,1)到平面

43、x+2y+2z10=0的距离。2.求过点(4,-1,3)且平行于直线专皂=y=号的直线方程。3.确定下列各组中的直线和平面间的位置关系:(1)x+3=y+4=z和4x-2y-2z=3;-2-73七2=空=土3和x+y十z=3。31-44.求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。(2)x=y=z和3x-2y+7z=8；3-2734x+y+3z=0一一6.求直线和平面xyz+1=0间的夹角。x-y-z=0|x-t27.求过点M(1,2,-1)且与直线y=3t4垂直的平面方程。Jz=t-15x3y十2z=5十十,9.直线在平面15x9y+5z=12内吗？px-3y+z=210.

44、求过点(0,2,4)且与两平面 x+2z=1x+2z=1 和y-3z=2平行的直线方程。11.求过点(3,1,-2)且通过直线七 4=4=匕拦=_?=_?的平面方程。521x=1*12.求与直线y=-1+t及立1=虹2=都平行且过原点的平面方程。cJ121|z=2t13.求点(-1,2,0)在平面x+2yz+1=0上的投影。x+y-z+1=0v14.求点 P(3,-1,2)到直线，距离。2xy+z4=015.求直线“X4yz在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。习题911.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？(1)x=2;(2)y=x+1;(3)x2+y2=4；

45、(4)x2-y2=1;2.指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？5.用对称式方程及参数方程表示直线x_yz=12xyz=48.求二直线L5x-3y3z9=01和3x-2y-z-1=02x2yz23=0的夹角的余弦。35,八y=5x1(1)/;y=2x-33.将 xOzxOz 坐标面上的抛物线24.将 xOzxOz 坐标面上的圆x2ZZ222x_九-1(2)49y=3=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。=9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。5.将xOy坐标面上的双曲线旋转曲面的方程。4x29y2=36分别绕x轴及 y 轴旋转一周，求所生成的习题921

46、.画出下列方程所表示的曲面：(1)Ixa+y2=0j;(2)221;.2222(3)匚十匕=1;492y-z=0942.说明下列旋转曲面是怎样形成的？2222(1)匚十七十4=1;(2)2x-匕z2=14994，一、222(3)x-y-z=1；(z222-a)=x2y23.圆出卜列方程表小的曲面：2222(1)+L+z2=1；(2)z=J匕；94349(3)16x2+4y2-z2=64。习题931.画出下列曲线在第一卦限内的图形x=1；V=2z=4x、xy=02-yx2y2=a2222xz=a2.分别求母线平行于x轴及 y 轴而且通过曲线；x2+y2+z2=162*22八xzy=0的柱面方程。

47、3.求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程(任写出三种不同形式的方程)4.4.将下面曲线的一般方程化为参数方程3637222x2+y2+z2=0.y=x5.求螺旋线x=acosny=asin【z=bn在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。6.求曲线f22-_一x+y+3yz2x+3z3=0y_z+1=02z194x-2=0习题1011.已知函数f(x,y)=x2+y2xytan，试求f(tx,ty)。y2.已知函数f(u,v,w)=uw+wu*。试求f(x+y,x-y,xy)。=依_X2_y2+22(RA0)。xyz-ry22x,-、在何上是间断的?-2x(2)J(x-1)2y2(z

48、1)=4z=0在 zOxzOx 面上的投影曲线的方程。7.指出下列方程所表示的曲线x2y2z225x=3222x2-4y2z2x=-3x2+4y2+9z2=30z=1=25；22y2+z2-4x+8=0.y=4y2(5)3.求下列各函数的定义域：x.yz(1)u(2)u4.函数38习题1021.设函数z=x2xy+y,(1)求函数在点(x0,y)处的偏增量Axz,Ayz和全增量&；39(2)当x从2变到2.1,y从2变到1.9时，求Axz,Ayz与位的值各为多少?X,.?z2.设z=(1+xy)v,求一(Xx4y43.设4.设f(x,y)=x+y-x2+y2，求fx(2,4)。z=ln

49、，x十X求I2x/水Coaxdy=05.设f(x,y)=e6.设u=ln(1+x+y2+z3),7.求下列函数的偏导数x=lntan；y1火=II3，=xsin;x(7)sin(x+2y)， 求fx。 ,匹i及fy。 上.4y.4ux+uz。xyz.4当x=y=z=1时,(2)(5)(8)z-1x2y8.求曲线x=19.求下列函数的全微分:z=exy+ln(x+y)；22xyz=；x-yyxu=x;z=arcsin(yJx);z=xyes5；u=Pet+e+t;(3)(6)(9)一x=sinyycos；x=ln(x+lny)；=e%os(-:)在点(1,13)处的切线与纵轴正向所成的角度。(2

50、)(5)xyz=arctan1一xyz=2xeT-J3x+ln3;(7)10.求下列函数在给定点处的全微分:(8)u=ln(3x2y十z)；(3)(6)(9)z=sin(xy)x(x2fy2fz2)u=e；2u=arctan(xy)。(1)z=x4+y4-4x2y2,11.试示当x=2,y量的值。仆JT、1c,14,4/Ax=0.02,4y=-0.01时，函数z=x2y3的全微分及全增(1,1)；(2)z=xsin(xy)ex-y习题10322z、z1.设z=uv-uv,u=xcosy,v=xsiny,求=,=。:x:y2,xz;:z2.设z=ulnv,u=,v=3x2y，求一，-。y:x:y

51、x3.设z=arctan,x=u+v,y=u-v,证明y4041:z:zu-vT=-22.u；vuv2x，x=u-2v,y=v+2u,yyt2t,dz=-,x=e,y=1e,求M。x_2y3击dz=e,x=sint,y=t，求dt=arctan(xy),y=ex,求dzdx12.设2、1,=tan(3t2x-y),x=y=.t.7求重。dt13.设ax/e(y-z)2,y=asinx,z=cosx,a1皿du求。dx14.设z=lnxx2项yx=cost,y=sint,在t=丑处，求全导数的值。2-1.xy15.设z=ln，x=sect,=2sint,在t=兀处，求全导数的值。2x-yy216

52、.设z=arctan,y=x,x.zdz广.xdx17.设z=xy,y=中次），求与，史rxdx习题1042d、几x1.设2a4.z:z,。ju-v5.=(2xy)2xy6.yr,22f(x-y)其中f可微函数，验证於1：zx；:xy-y7.=F(x,y),x=rcosO,y=rsin8,；zjz,_o.:r:-u8.9.10.设=arcsin(xy),x=3t,y=4tdzodt11.设42432.设sin(xy)e”x2y=0，求四dx3.设InJx2+y2=arctan，求dy。xdx5.设ez-xyz=0,求和冬。；:x:y6.设x2+y2+z2-2axyz=0,求和；x诳7.设x=l

53、nz，求冬和ozy永:y8.求由方程2xz2xyz+ln(xyz)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。9.求由方程组2*2z=x+yx2+2y2+3z2=20所确定的隐函数的导数半和乎。10.地由方程组|xu_yv=0yuxv=1所确定的隐函数的偏导数卫，史和；x:y女.y习题1051.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=sin(ax+by)(2)z=arcsin(xy);(3)z=x2y；(4)z=ylnx；(5)z3-3xyz=a3；(6)x+y+z=e(x4y初。-2-2xz；z2.设z=e(cosy+xsiny)，验证二=TTTT。:x.y:y:x一222一-一3.设f(x,y,z

54、)=xy+yz+zx，求fxx(0,0,1),fxx(1,0,2),及fzxy(2,0,1)o4.设x+2y十z2*xyz=0,-2.2.2一-u:u/u444.设u=f(x,xy,xyz),求：y/x:z：vxz5.设u=f(x2+y2+z2)，求写：x_2_2uu6.设u=f(s)+g(t),s=xy,t=x+y,验证一-=-。；:x2寸习题1061.求函数z=x2-xy-2y2在点(1,2)沿着与x轴正向构成60角的方向导数。2.求函数z=x22x2y+xy2+1在点(1,2)沿着从该点到点(4,6)的方向导数。3.求函数 z=ln(x2十y2在点(1,1)沿着第一象限角平分线的方向导数

55、。4.求函数 u=xyu=xy十yz+zxyz+zx 在点(2,(2,1,3)沿着从该点到点(5,5,15)的方向导数。习题1111.求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sinL在点一1,1,2J2处的切线及法平面方程。22t1t2,一，一、2.-求曲线 x=,y=,z=t 在点 t=1 处的切线及法平面万程。1t2t3.求曲线x=acost,y=asint,z=bt在 t=t=处的切线及法平面方程。44.在曲线x=t,y=t2,z=t3上求一点，使在该点的切线平行于平面x+2y=z=4。5.求曲面ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。6.求曲面3x2+y2-z

56、2=27在点(3,1,1)处的切平面及法线方程。27.求曲面xxy8x+z+5=0在点(2,-3,1)处的切平面及法线万程。8.求曲面z=ax2+by2在点(x0,y0,z)处的切平面及法线方程。9.求椭球面3x2+y2+z+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面 z=0z=0 的夹角。习题1121.求函数f(x,y)=4(xy)x2y2的极值。2.求函数f(x,y)=(2ax-x2)(2by-y2)的极值，其中，abab# #0 0。453.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值。4.求下列已知函数在指定条件下的极值：(1)z=xy，若x+y=1;(2)z=x2十y2,

57、若-=1,ab111一一一(3)u=x+y+z，右一+十一，xA0,y0,z0。xyz5.从斜边长为 l l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。6.在半径为a的半球内求一个体积最大的内接长方体。46习题1221.证明Riemann积分中值定得。习题1211.求2.求3.求pxedy的值,其中，D:星二化：2的值,其中，D:；：U”ex4ydxdy的值，其中,D0_x_1D:f。0_y_14.求JJx2ycos(xy2)dxdy的值，其中,JT0公0)所围成的区域。D8.把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分:47ffarctanydxdy,D 为圆Dx象限内的区域；(

58、4)|L|Lsin,ix3+y2dxdy,D:x2+y44ji2,x2+y2芝兀2。D习题1231.利用下列给出的积分区域，把ffff(x,y,z)dxdydz化为三次积分:(1)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的区域V；(2)由曲面z=x2+2y2及z=2x2所围成的区域 V V。2.计算下列三重积分：一、dxdydz)(x+y+z)3,其中，5.适当选择坐标计算下列三重积分：3川，其中，V:x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体。V(1xyz)33.利用柱面坐标计算下列三重积分：(1).ijjzjx2+y2dxdydz，其中，V V:柱面 y=v2xx2及平面z=0,z

59、=a(a0),y=0所围成的区域；(2)皿：xdydz,其中,V：锥面x2+y2=z2及平面z=1所围成的区域。Vx2y214.利用球面坐标计算下列三重积分：(1)(x2+y2)dxdydz,其中，(A(AA Aa aA A0)0)及平面 z=0z=0 所围成的区域；(2)M(x2+y2+z2)dxdydz,V2R)dy.2Ry_y2f(x,y)dx；(2)dx/Rf(x2+y2)dy;R2X2dx-0Rxf兰dyx1R9.将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值:(1)-0-0fdy。(2)22印n(1+x2+y2)dxdy,DKR2_x2_y2dxdy,DD为圆x2+y2=1所围在第一象限

60、中的区域;D 为圆x2+y2=Rx所围在第一象限中的区域;(3)x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=x,y=0围成的第V:半球面 z=iA2-x2_y2,z=、：a2-x2_y2其中，V V:球面x2十y2+z2=1围成的区域。48（1）|xydxdydz,其中，V V:柱面x2+y2=1及平原z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一卦限内的区域；222泠dxdydz,其中，V V:球面x2+y2十z2=1所围成的x2y2z21区域。习题1241.求锥面z=Jx2+y2被柱面z2=2x所截下部分的曲面面积。2.求球面x2+y2+z2=a2为平面z=3,z=3所夹部分的曲面面积。423.计算平面A+Y十3=1被三个坐标面所割出部分的面积。abc4.求