量子力学作业答案

1、第一章量子理论基础m与温度T成反1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长比，即mT=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式以及38hv3-c1.-vdv，e方1c,vdvvd,(1)(2)(3)dvdv()8hc15hce下1这里的的物理意义是黑体内波长介于入与入+d入之间的辐射能量密度。本题关注的是入取何值时，取得极大值，因此，就得要求对入的一阶导数为零,由此可求得相应的入的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对入的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：hc18hc16匹e71hc5(1

2、ekT)hckThc如果令x=，则上述方程为kT5(1这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:样则有x=0,但经过验证，此解是平庸的；另外的一x=4.97,经过验证，此解正是所要求的，这mThcxk把x以及三个物理常量代入到上式便知mT2.9103mK1.4利用玻尔一一索末菲的量子化条件，求:(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T,玻尔磁子Mb91024JT1,试计算运能的量子化问隔,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔一一索末菲的量子化条件为pdqnh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义

3、动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为于是有kx22这样，便有122(Ekx2)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好个来回，运动了一圈。止匕外，根据1.2E-kx2可解出这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔一一索末菲的量子化条件,有2(E；kx2)dx12()J2(E-kx)dxnhV22(E:kx2)dx2(E-kx2)dxnh22(E1kx2)dx为了积分上述方程的左边，作以下变量代换;x2Esink这样,便有22Ecos2d22h这时,这样,这里22Ecos万22E万令上式左边的积分为便

4、有=29,这样，就有根据式（1）和（2）,便有2kEcosd2cosdA,此外再构造一个积分22E万22E2E22E万sin2d一cos2dk(DE.卜cos2d(2)E,cosd,kEsin0(2)这样，便有2hrh.k其中h2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次,这量子化的能量是等间隔分布的。(2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有qBR这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为nh20qBRd(R)2_.qBR2nhqBR2nh2又因为动能耐Ep-,所以，有2(qBR)22q2B2R22qBn2nBNB,nB2其中，MB是玻尔磁子，这样,发现量子化的能量也是等间隔的

5、，而且EBMB具体到本题，有根据动能与温度的关系式以及可知，当温度T=4K时,1kK310eV1.6,c22.10J1.54_221.610J229.610J当温度T=100K时,E1.51001.61022J2.41020J(2)21ikr-er从所得结果说明1表示向外传播的球面波,2表示向内（即向原点）传播的球显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。2.2由下列定态波函数计算几率流密度:1ikr(1)1er面波。解：J1和J2只有r分量在球坐标中r0一rersin(1)Ji；(12mir1一Le2mr41(2mrk2r0mrikrr1-2rk3mr1）1ikr1

6、(e)-e11ik-)-(rrikr1ikr、(-e)orrik1)%r小与同向。表示向外传播的球面波I*J2(222)2m1 1Ikr1Ikr1Ikr1Ikr-e(e)-e(-e)ro2mrrrrrrI111111-(-2Ik-)-(=Ik-)ro2mrrrrrrkk2 ro3rmrmr可见，J2与r反向。表示向内（即向原点）传播的球面波补充：设（x）eIkx,粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化?*dxdx2、一一波函数不能按I（x）dx1方式归一化。其相对位置几率分布函数为2、.1表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场,x0U(x)0,0xa,xa中运动，求粒子

7、的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S一方程2dd2m：xa23(x)U(x)3(x)E3(x)2mdx2-2(x)U(x)(x)E(x)2mdx在各区域的具体形式为2d2I:x021(x)U(x)1(x)E1(x)2mdx22d2H:0xa22(x)E2(x)2mdx由于（1）、（3）方程中，由于U（x）,要等式成立，必须i(x)02（x）0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。,2d2（x）2mE万程（2）可变为学2（x）0dx令k22mEd22(x)dx2k22(x)0其解为2(x)AsinkxBcoskx根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得2(0)

8、i(0)2(a)3(a) B0A0sinka0kan(n1,2,3,)n2(x)Asinxa由归一化条件2(x)dx1a得A2sin2xdx10aAsinkaasinbnsinxdxamn2a2(x)2.n、sin-xvaak22mEEn222_)可见E是量子化的o对应于En的归一化的定态波函数为2.n-Entn(x,t)1-sinxe,aaa,x0,2.4.证明(2.6-14)式中的归一化常数是A1,1aAsin(xa0,a),xa(2.6-14)由归一化，得2dxa2.2nAsin(xa)dxaaA2A22a11a2acos-(xa)dxaancos(xaa)dxA2aA2a2nsinn/

9、(xaa)An(n1,2,3,2maa一归一化常数A1a2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：(x)2xe2l(x)i(x)22x22会di(x)dx令d1(x)Vdx22x2xe%x0,得由i(x)的表达式可知,22x(223xe0,x时，1(x)0。显然不是最大几率的位置。2x(2x2232x2x)e442x)e1可见x1(x)dx2是所求几率最大的位置。3.2.氢原子处在基态(r,)1ea0r/a0,求:(1)r的平均值;2势能e-的平均值;r(3)最可几半径；(4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。解：(1)Fr(r,1-3a00re2r/a0r2sindrdd2r/

10、a0dr4-3a。nax,n!xedxn10a3a042a0(2)U2(-)r2e3a04e2a34e23-a0(3)电子出现在(r)dr0,当ri0,2ea30a02r/a0r2.sindrd2r/a0.e0rsin02r/a0rdrdrdaa。r+dr球壳内出现的几率为22)rsindrd42r/a02.3erdr3a0(r)4-3ea02r/a02rd(r)dr5(2a02.2r/a0r)rea0ri0,3a0时,(r)0为几率最小位置d2(r)dr284一r二a0%r2)e2r/a0d2dr(r)2a08Fea0ra0是最可几半径。(4)T?21q2-P21z.21122(r)(sin

11、)22rrrsinsiner/a2(er/a)r2sindrdda0001-3aOr/ace-1r2(er/a0)r2sindrddr2drdr2a：aO(2r2)eaOr/a0dr(5)c(p)c(p)4aO2a。*p(r)(r,1(2产01er/a02rdr01prcosesinnaxn!xedxni0a2(2)3W2(2)3/2.a：(22、3/230).a01Prer/aor/a0J_prcosdrdreipr/-prr/a0(ed(cos)1prcos-pr)dr一(2)3/2.a；2(p)a01J匚(一p)a01,2a：3ip8a0352(%p2L2、一一H一，L为角动量,2I3.

12、5一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一周定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有LZ哈米顿算符H?2I2d22Id其本征方程为(H与t无关,属定态问题)L22d22I取其解为2IEd2dAeim由波函数的单值性,应有d2()d22IE2(m可正可负可为零im(2)imeei2mem=0,1,2,转子的定态能量为Em2m2I(m=0,1,2,)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为mAeimA为归一化常数，由归一化条件2*10mmd.1A22A22A.2转子的归一化波函数

13、为iimm:e2综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为彳与t无关，属定态问题，其本征方程为卡Y(,)EY(,)(式中Y(,)设为H?的本征函数，E为其本征值)仔丫(，)2IEY(,)令2IE2,则有?Y(,)2Y(,)此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为L22(i)20,1,2,)其波函数为球谐函数Ym(,)转子的定态能量为m、NmP(cos)eim可见，能量是分立的,且是(2i)重简并的。3.9.设氢原子处于状态(r,.32R2i(r)Yio(,)yR2i(r)Yii(,)求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率

14、和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值2巳鱼22n22es(n2)角动量平方有确定值为22L(1)(1)角动量Z分量的可能值为Lzi0Lz2其相应的几率分别为其平均值为1LZ43.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为,ra;U(r)n0,ra求粒子的能级和定态函数。解：据题意，在ra的区域，U(r),所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数(ra)由于在ra的区域内，U(r)00只求角动量为零的情况，即0,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为(r),则粒子的能量的本征方程为21d,2d(r2rdrdr令U(r)rEd2udr2k2u0其通解为Bsinkr