数学一轮总复习

1、数学数学 A（理）理）5.4平面向量应用举例第五章平面向量 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型题型分类分类深度深度剖析剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ab ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质ab ，a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b为非零向量abx1y2x2y10ab0 x1x2y1y20基础知识自主学习知识梳理夹角问题 数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)长度问题 数量积的

2、定义|a|_，其中a(x，y)基础知识自主学习知识梳理2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角).矢量加法和减法基础知识自主学习知识梳理3.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思

3、路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 ，则A，B，C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析(4)在ABC中，若 0，则ABC为钝角三角形.()(5)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为 ，且|F1|3，|F2|5，则F1F2的大小为 .()(6)已知平面直角

4、坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足： ，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234BB 解析题型分类深度剖析题型一向量在平面几何题型一向量在平面几何中中 的应用的应用思维点拨解析思维升华例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.题型分类深度剖析思维点拨思维升华题型一向量在平面几何题型一向量在平面几何中中 的应用的应用例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别

5、在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.解析正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明.题型分类深度剖析思维升华题型一向量在平面几何题型一向量在平面几何中中 的应用的应用例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维点拨解析题型分类深度剖析思维升华题型一向量在平面几何题型一向量在平面几何中中 的应用的应用例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，

6、且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维点拨解析题型分类深度剖析用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；思维升华题型一向量在平面几何题型一向量在平面几何中中 的应用的应用例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维点拨解析题型分类深度剖析(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.思维升华题型一向量在平面几何题型一向量在平

7、面几何中中 的应用的应用例例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维点拨解析题型分类深度剖析跟踪训练1(1)在边长为1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则 等于()解析建立如图平面直角坐标系，题型分类深度剖析题型分类深度剖析(2)在ABC所在平面上有一点P，满足则PAB与ABC的面积的比值是()A题型分类深度剖析题型二向量在三角函数中题型二向量在三角函数中的的 应用应用例例2已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A

8、,1sin A)，且p与q是共线向量.(1)求A的大小；解析思维升华题型分类深度剖析题型二向量在三角函数中题型二向量在三角函数中的的 应用应用解析思维升华例例2已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p与q是共线向量.(1)求A的大小；题型分类深度剖析题型二向量在三角函数中题型二向量在三角函数中的的 应用应用解析思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.例例2已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Ac

9、os A,1sin A)，且p与q是共线向量.(1)求A的大小；题型分类深度剖析(2)求函数y2sin2Bcos 取最大值时，B的大小.解析思维升华题型分类深度剖析(2)求函数y2sin2Bcos 取最大值时，B的大小.2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 60解析思维升华题型分类深度剖析(2)求函数y2sin2Bcos 取最大值时，B的大小.1cos 2Bsin 2B1sin(2B30)，当2B3090，即B60时，函数取最大值2.解析思维升华题型分类深度剖析解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量

10、的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.(2)求函数y2sin2Bcos 取最大值时，B的大小.解析思维升华题型分类深度剖析跟踪训练2(1)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m( ，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()题型分类深度剖析题型分类深度剖析(2)ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n( ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_.解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C( ac)0，题型分类深度剖析题

11、型分类深度剖析题型三向量在解析几何中题型三向量在解析几何中的的 应用应用例例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(1)求动点P的轨迹方程；解析思维升华题型分类深度剖析解 (1)设P(x，y)，则Q(8，y).解析思维升华题型三向量在解析几何中题型三向量在解析几何中的的 应用应用例例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(1)求动点P的轨迹方程；题型分类深度剖析向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向

12、量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.解析思维升华题型三向量在解析几何中题型三向量在解析几何中的的 应用应用例例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(1)求动点P的轨迹方程；题型分类深度剖析解析思维升华题型三向量在解析几何中题型三向量在解析几何中的的 应用应用例例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(1)求动点P的轨迹方程；( 2 ) 工 具 作 用 ： 利 用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题.特别地，向

13、量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.题型分类深度剖析例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.解析思维升华题型分类深度剖析解析思维升华例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.题型分类深度剖析解析思维升华例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.题型分类深度剖析解析思维升华例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.题型分类深度剖析解析思维升华例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在

14、解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.题型分类深度剖析( 2 ) 工 具 作 用 ： 利 用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题.特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.解析思维升华例例3(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值.题型分类深度剖析跟踪训练3 已知向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过

15、点(2，1)的直线方程为_.(4k)(k5)670，解得k2或k11.题型分类深度剖析当k|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.答案D练出高分B组专项能力提升1113141512练出高分B组专项能力提升1113141512练出高分B组专项能力提升1113141512练出高分B组专项能力提升1112141513练出高分B组专项能力提升1112141513练出高分B组专项能力提升111215131414.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_.解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，练出高分B组专项能力提升1112