振动与冲击理论基础

1、 第第3 3章章 振动与冲击理论基础振动与冲击理论基础 力学基础（冲击、振动）力学基础（冲击、振动） 数学基础（微分方程、随机过程）数学基础（微分方程、随机过程）1 1 概述概述商品破损的原因商品破损的原因: :（1 1）冲击）冲击冲击过程的时间历程不能用数学式描述；冲击过程的时间历程不能用数学式描述； 冲击幅值是多峰状态，包装的响应是随机分布的；冲击幅值是多峰状态，包装的响应是随机分布的； 冲击波的形状比较复杂，难以用简单的函数表达；冲击波的形状比较复杂，难以用简单的函数表达； 没有明确的冲击作用时间，很难用脉宽来定量时间；没有明确的冲击作用时间，很难用脉宽来定量时间； (2) (2) 振动

2、振动 某个物理量的值在观测时间内不断地经过极大值某个物理量的值在观测时间内不断地经过极大值和极小值地变化，这种状态的改变称为振动。和极小值地变化，这种状态的改变称为振动。 机械振动机械振动物体在平衡位置附近所做的周期性往复运动，物体在平衡位置附近所做的周期性往复运动，称为机械振动。（包装动力学研究的重点）称为机械振动。（包装动力学研究的重点）（3 3）气候条件）气候条件（温湿度、风雨、盐雾等）（温湿度、风雨、盐雾等）（4 4）其他因素）其他因素（如有害气体、热源、放射源、气味源和日光照（如有害气体、热源、放射源、气味源和日光照射等）射等）脆脆值值1.1 1.1 机械振动机械振动组成：组成： 振

3、动系统（单摆），振源（给一初始位振动系统（单摆），振源（给一初始位移），响应移），响应 振动问题：已知振源、系统特性，求响应振动问题：已知振源、系统特性，求响应 环境预测：已知系统特性、响应，求输入环境预测：已知系统特性、响应，求输入 系统识别：已知输入、响应，求系统特性系统识别：已知输入、响应，求系统特性车床车床+ +混凝混凝土机座土机座弹性垫弹性垫振动系统振动系统激励激励响应响应1.1 1.1 实际包装系统实际包装系统简化简化1.2 1.2 力学模型力学模型简化力学模型的原则：简化力学模型的原则：（1 1）要正确反映包装系统的特性；）要正确反映包装系统的特性；（2 2）在正确反映包装系统的

4、特性的前提下尽可能简）在正确反映包装系统的特性的前提下尽可能简化模型。化模型。考虑的具体问题：考虑的具体问题：（1 1）包装产品是均质刚体，还是由多个部件组成？）包装产品是均质刚体，还是由多个部件组成？产品的摆放方式？产品的摆放方式？（2 2）是否考虑外包装箱的质量和弹性？）是否考虑外包装箱的质量和弹性？（3 3）是否考虑缓冲材料的质量？）是否考虑缓冲材料的质量？（4 4）是否考虑缓冲材料的粘性？）是否考虑缓冲材料的粘性？1.2 1.2 力学模型力学模型单自由度系统单自由度系统假设：假设：被包装产品为均质刚体，略被包装产品为均质刚体，略去外包装箱的质量和弹性，不计缓去外包装箱的质量和弹性，不计

5、缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。的弹性体。m m：产品质量：产品质量k k：缓冲衬垫材料的弹性系数：缓冲衬垫材料的弹性系数c c：缓冲衬垫材料的粘性阻尼系数：缓冲衬垫材料的粘性阻尼系数1.2 1.2 力学模型力学模型二自由度系统二自由度系统假设：假设：略去外包装箱的质量和弹性，不略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。尼的弹性体。m1, m2m1, m2：易损件和产品质量；：易损件和产品质量；k1k1，c1c1：易损件与产品间的弹性系数：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；和粘性阻尼系数

6、；k2k2，c2c2：产品主体与外包装箱间的缓：产品主体与外包装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。1.2 1.2 力学模型力学模型三自由度系统三自由度系统假设：假设：不计缓冲材料的质量，并视为粘不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。性和阻尼的弹性体。m1,m2m1,m2：易损件和产品质量；：易损件和产品质量；m3m3：外包装箱的质量（外包装箱很重：外包装箱的质量（外包装箱很重时）；时）；k1k1，c1c1：易损件与产品间的弹性系数和：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；粘性阻尼系数；k2k2，c2c2：产品主体与外包装箱间的缓冲：产品主体与外包

7、装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。材料的弹性系数和粘性阻尼系数。 1.2 1.2 力学模型力学模型多自由度系统多自由度系统1.2 1.2 力学模型力学模型多自由度系统多自由度系统假设：产品叠放在同一包装箱中或同一产品假设：产品叠放在同一包装箱中或同一产品 有多个关键零部件有多个关键零部件 不计缓冲材料的质量，并视为粘性和不计缓冲材料的质量，并视为粘性和 阻尼的弹性体。阻尼的弹性体。m1,m2m1,m2mnmn：质量；：质量；k1k1，k2k2knkn：弹性系数；：弹性系数；c1c1，c2c2cncn：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。 1.3 1.3 机械振动的分类机械振动的分类（1 1）

8、按自由度分：单自由度系统，二自由度系统，三自由度）按自由度分：单自由度系统，二自由度系统，三自由度系统，多自由度系统，连续介质系统；系统，多自由度系统，连续介质系统；（2 2）按系统运动的微分方程分：）按系统运动的微分方程分： 线性振动线性振动（运动方程为线性微分方程）；（运动方程为线性微分方程）； 非线性振动（运动方程为非线性微分方程）；非线性振动（运动方程为非线性微分方程）；（3 3）按系统输入类型分：）按系统输入类型分： 自由振动：系统只受初干扰或外界激励取消后，系统仅自由振动：系统只受初干扰或外界激励取消后，系统仅 在弹性恢复力的作用下产生振动。在弹性恢复力的作用下产生振动。 强迫振动

9、：系统在外界激励下产生的振动；强迫振动：系统在外界激励下产生的振动； 自激振动：系统在输入和输出之间有反馈特性，并有能自激振动：系统在输入和输出之间有反馈特性，并有能 量补充而产生的诊断。量补充而产生的诊断。（4 4）按系统输出规律分：）按系统输出规律分：周期振动周期振动 随机振动随机振动 2 2 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动2.1 2.1 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动 自由振动自由振动振体在受到初干扰（初位移或振体在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统恢复力的作用下在平初速度）后，仅在系统恢复力的作用下在平衡位置附近作往复运动称为自由振动。衡位置附

10、近作往复运动称为自由振动。2.1.1 2.1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动(a)(b)(c)平衡位置（1 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解图（图（b b） W=F=k W=F=k （2-12-1）图（图（c c） F= - k( ) F= - k( ) 负号表示力的方向负号表示力的方向根据牛顿第根据牛顿第2 2定律定律 F=ma F=ma 得振动体的运动微分得振动体的运动微分方程：方程： W- k( )=m W- k( )=m 由（由（2-12-1）得）得 m = - k m = - k （作用在振动方向的常力只影响振动中心的位（作用在

11、振动方向的常力只影响振动中心的位置，而不影响振动规律）置，而不影响振动规律）stxstxstx x x（1 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解设设 系统的固有特性，固有频率）系统的固有特性，固有频率）得得 （二阶常系数线性齐次微分方程）（二阶常系数线性齐次微分方程）解：解： C C，D D待定系数待定系数代入初始条件：代入初始条件： 所以所以, ,得方程的解得方程的解 mkn/202xxn tDtCxnnsincos000, 0vxxxxtCDCxnn0sin0cos00 xC 000cos0sinvxDDCxnnnnnnnvxD/00 tvtxxnnn

12、sin/cos00（1 1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解令令A A振幅：振体偏离振动中心的最大距离振幅：振体偏离振动中心的最大距离相位角，相位角，A A， 由运动的初始条件定。由运动的初始条件定。sin0Ax tvtxxnnnsin/cos00cos/0AvntAtAtvtxxnnnnnsincoscossinsin/cos00)sin(tAn2220sinAx2220cos)/(Avn22222020cossin)/(AAvxn22020/nvxA00/vxtgn（2 2）周期、频率和圆频率）周期、频率和圆频率)sin(tAxn周期：周期：物体作一次

13、完全振动（来回一次）所需的时间称为振动周物体作一次完全振动（来回一次）所需的时间称为振动周 期，用期，用T T表示，则物体在任一时刻表示，则物体在任一时刻t t的运动状态（位置和的运动状态（位置和 速度）应该与物体在速度）应该与物体在t+Tt+T的运动状态（位置和速度）相同的运动状态（位置和速度）相同运动状态具有周期性运动状态具有周期性)sin()(sin)sin(TtATtAtAnnnn由于正弦函数的数值每经过由于正弦函数的数值每经过22重复一次，故重复一次，故 2Tn)(2sTn 频率：频率：周期的倒数称为频率。它表示单位时间内（每秒）物体所周期的倒数称为频率。它表示单位时间内（每秒）物体

14、所 作的完全振动的次数，单位为赫兹（作的完全振动的次数，单位为赫兹（HzHz）。）。 21nTf圆频率圆频率 ：表示振动体在：表示振动体在22秒内的振动次数。秒内的振动次数。 （弧度（弧度/ /秒）秒）nfn2（2 2）周期、频率和圆频率之间的关系）周期、频率和圆频率之间的关系说明：周期、频率或固有频率都是由振动系统本说明：周期、频率或固有频率都是由振动系统本 身的性质所决定的量；这种由系统本身性身的性质所决定的量；这种由系统本身性 质所决定的周期、频率或圆频率往往称为质所决定的周期、频率或圆频率往往称为 固有周期固有周期、固有频率固有频率或或固有圆频率固有圆频率。 mknkmTn22mkTf

15、211例：求质量例：求质量弹簧系统的周期、频率或圆频率。弹簧系统的周期、频率或圆频率。结论：质量结论：质量弹簧系统的周期、频率和圆频率与重力弹簧系统的周期、频率和圆频率与重力 作用下的静变形有关。作用下的静变形有关。stkmgstmgkstngmkgTstn22stgTf211代入代入 （3 3）计算固有频率的能量法）计算固有频率的能量法 根据能量守恒定理，系统的机械能守恒：根据能量守恒定理，系统的机械能守恒：T+V=T+V=常数常数 T T：动能，：动能，V V：势能：势能具体研究质量具体研究质量弹簧系统：振动体在任意位置弹簧系统：振动体在任意位置且有速度且有速度 ，则，则xx （3 3）计

16、算固有频率的能量法）计算固有频率的能量法平衡位置：平衡位置： 极限位置：极限位置：在上述系统中：在上述系统中： 221xmT221kxV 0 xmaxxx 0212kxV2max121xmVTEmaxxx 0 x 0212xmT2max221kxVTE，即，即 21EE 2max2max2121kxxm)sin(tAxn)cos(tAxnn1)sin(tnAxmax1)cos(tnnAxmax代入代入 2max2max2121kxxmmkn（4 4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度串联弹簧串联弹簧 11stkmg11kmgst22stkmg22kmgststkmg)1

17、1(212121kkmgkmgkmgststst21111kkkniinkkkkk121111112121kkkkk（4 4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度并联弹簧：并联弹簧：推广到推广到N N个并联弹簧：个并联弹簧： 2F1Fmg stkF11stkF22stkkFFmg)(212121kkkniinkkkkk1212.1.2 2.1.2 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响衰减振动衰减振动(1)(1)阻尼振动阻尼振动：振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。：振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。(2)(2)粘滞阻尼的大小粘滞阻尼的大小: :当振体以不大的速度在流

18、体介质当振体以不大的速度在流体介质（空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻尼的大（空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻尼的大小与振体速度成正比，即小与振体速度成正比，即 粘滞阻尼系数，取决于振体的形状、大小和介粘滞阻尼系数，取决于振体的形状、大小和介质的性质，单位为牛顿质的性质，单位为牛顿秒秒/ /米。米。 振体速度，米振体速度，米/ /秒。秒。 牛顿。牛顿。 - -号表示阻尼的方向与振体速度的方向相反。号表示阻尼的方向与振体速度的方向相反。cvRcRv（3 3）单自由度有阻尼系统的受力分析）单自由度有阻尼系统的受力分析取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点 ，该系统的运动微分方程为该系统

19、的运动微分方程为方程的解可设为方程的解可设为 代入微分方程代入微分方程 得得 该系统的特征方程该系统的特征方程cvkxxm 0 xmkxmcx （二阶常系数线性齐次微分方程）（二阶常系数线性齐次微分方程） stAex 02mksmcsmkmcmcs22, 1)2(2特征方程的解特征方程的解 产生重根的情况在物理上具有特殊意义，将对应的阻尼产生重根的情况在物理上具有特殊意义，将对应的阻尼 系数称为系数称为临界阻尼系数临界阻尼系数。 设设 系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼系数之比，称为系数之比，称为阻尼比阻尼比。 0)2(2mkmcnmkmc2nmc2mcs

20、s221ncmC21)2(2222, 1cnncCcCcmkmcmcscCcns)1(22, 1mknkmcmcCcnc22(A) (A) 小阻尼系统的自由振动（小阻尼系统的自由振动（ 111）强阻尼系统强阻尼系统特征方程有两个负实根特征方程有两个负实根 ： kmmCcnc22tneBtAx)(ns)1(22, 1振体运动的微分方程的解为两个衰减指数函数的和：振体运动的微分方程的解为两个衰减指数函数的和：ttnneAeAx)1(2)1(122取决于初始条件取决于初始条件 21,AA例题1：缓冲衬垫的排列如图所示，其中缓冲衬垫的弹簧刚度缓冲衬垫的排列如图所示，其中缓冲衬垫的弹簧刚度为为 ， ，

21、，求等效弹簧刚度。求等效弹簧刚度。解：解： mmNk/1751mmNk/5 .872mmNk/6573mmNkkk/5 .2625 .87175212, 1mmNkkkkk/6 .18732, 132, 1例题例题2 2：已知单自由度小阻尼系统在已知单自由度小阻尼系统在 时的第三个振幅比时的第三个振幅比 的的第二个振幅降低了第二个振幅降低了20%20%，求此系统的阻尼系数和固有频率。，求此系统的阻尼系数和固有频率。解：解：（1 1）求阻尼系数）求阻尼系数小阻尼系统对数衰减率：小阻尼系统对数衰减率：（2 2）求固有频率）求固有频率 振动周期振动周期 ，阻尼系统的固有频率为：，阻尼系统的固有频率为

22、：st2 . 33st1 . 32212ln211TAAnii2231. 025. 1ln8 . 0lnln2232AAAA035288. 02231. 042231. 042222sradTd/382.6221sttT1 . 0231sraddn/872.68122.2 2.2 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动 受迫振动：振动系统在长时间或瞬间的激励作用下发生的振动。受迫振动：振动系统在长时间或瞬间的激励作用下发生的振动。 2.2.1 2.2.1 运动微分方程及求解运动微分方程及求解以静平衡位置为坐标原点，以静平衡位置为坐标原点，坐标向下为正。坐标向下为正。F F（t t）简谐扰

23、力）简谐扰力（二阶常系统非齐次微分方程）（二阶常系统非齐次微分方程） tFxckxxmsin0 tFxmkxmcxsin0 2.2.1 2.2.1 运动微分方程及求解运动微分方程及求解 方程的解为：方程的解为：其中：其中： 为对应的齐次方程的通解，设为对应的齐次方程的通解，设 ，则，则 是一个衰减运动，瞬态解，通常不考虑；是一个衰减运动，瞬态解，通常不考虑； 为特解（稳态解）：为特解（稳态解）： 为强迫振动的振幅，为强迫振动的振幅， 为相位角。为相位角。将将 代入非齐次微分方程中，可得代入非齐次微分方程中，可得 )sin()sin(21tBtAexxxdtn1x1)sin(1tAexdtn1x

24、2x)sin(2tBxB22,xx 2220)()(cmkFB2mkctg强迫振动的振幅和相位角只决定于系统本身的特性和干扰强迫振动的振幅和相位角只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动的初始条件无关。力的性质，与运动的初始条件无关。(1)(1)频率比频率比 ： 稳态解为：稳态解为：(2) (2) 静力偏移静力偏移 ： 力幅作用下系统的偏移力幅作用下系统的偏移 (3) (3) 动力放大系数动力放大系数 ： 表示干扰力对振动系统动力作用的效果，取决于表示干扰力对振动系统动力作用的效果，取决于 和和 。 nkmcmknn2,2220)2()1 (/kFB212tg)sin()2()1 (/22

25、202tkFx0BkFB002220)2()1 (1BB(4) (4) 曲线（以曲线（以 为参变量）为参变量） (4) (4) 曲线（以曲线（以 为参变量）为参变量）A A1 1，即，即 （低频段），（低频段）， 接近接近1 1， 接近接近 缓慢交缓慢交变的干扰力的动力作用接近其静力的作用。变的干扰力的动力作用接近其静力的作用。B B 1 1，即，即 （高频段），（高频段）， 接近接近0 0，干扰力交变极其干扰力交变极其迅速时，振体由于惯性几乎来不及振动。迅速时，振体由于惯性几乎来不及振动。C C对对 的各条曲线，当的各条曲线，当 增大时，对于确定的增大时，对于确定的 和和 ，都有相应的最大值

26、，都有相应的最大值共振共振解决问题！解决问题！求出求出共振时共振时 和和 ，求极值的问题。求极值的问题。当当 值较小（实际中往往如此），认为值较小（实际中往往如此），认为 ，即，即 干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振，干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振， 。当当 ，无共振现象。，无共振现象。D.D.当当 =0=0，无阻尼自由振动。从图上可以看出，小阻尼系统和，无阻尼自由振动。从图上可以看出，小阻尼系统和无阻尼系统的响应没有区别。因此，在无阻尼系统的响应没有区别。因此，在 和和 时可以按无阻尼系统来计算时可以按无阻尼系统来计算 值。值。 nB0Bn0dd202110n21max75.

27、 025. 1707. 0707. 02max121例题例题3 3： 在如图所示的振动系统中，已知弹簧常数在如图所示的振动系统中，已知弹簧常数 ，物块，物块质量质量 ，粘滞阻尼系数，粘滞阻尼系数 ，干扰力的，干扰力的力幅力幅 ，干扰力频率，干扰力频率 ，试求振体的受迫，试求振体的受迫振动。振动。mmNk/38. 4kgm2 .18mmsNc/149. 0NF5 .440srad /15解：分析解：分析 求求 和和 求求 和和（1 1）求系统的固有频率）求系统的固有频率 （注意单位）（注意单位）（2 2）求频率比）求频率比（3 3）求阻尼比）求阻尼比（4 4）求）求 和和 )sin(tBxB22

28、20)2()1 (/kFB212tgnkmcmkn2,)/(5 .152 .184380sradmkn968. 05 .1515n264. 02 .1843802149. 02kmcB)(7 .19)968. 0264. 02()968. 01 (/38. 45 .44)2()1 (/2222220mmkFB11. 8968. 01968. 0264. 021222tg)(45. 111. 8radarctg)45. 115sin(7 .19tx2.2.2 2.2.2 支座激励与隔振支座激励与隔振强迫振动强迫振动外界的激励力，位移干扰。外界的激励力，位移干扰。（1 1）系统运动微分方程及求解）

29、系统运动微分方程及求解taxssin运动微分方程为运动微分方程为 )()(ssxxcxxkxm ssxckxkxxcxm taxssin将将 taxscos)sin()(22tckakxxcxm 方程的稳态解为：方程的稳态解为： )sin(tBx22222222222)2()1 ()2(1)(acmkckaBkcarctgrT（2 2）传递率）传递率 : :（振体振幅与支座振动的振幅的比值）（振体振幅与支座振动的振幅的比值）2222)2()1 ()2(1aBTr（3 3） 曲线曲线（ 为参变量）为参变量）rTA A 1 1， 1 1， ，隔振体的固有频率远，隔振体的固有频率远大于激励频率时，大

30、于激励频率时， 11，没有隔振效果。，没有隔振效果。B B 区域内，区域内， ，振体振幅会被放大，当，振体振幅会被放大，当 ，发生共振。，发生共振。放大区。运输包装工具在起放大区。运输包装工具在起制动过程中可能会经过放大区，因此隔振体（缓冲结制动过程中可能会经过放大区，因此隔振体（缓冲结构）应有适当的阻尼。构）应有适当的阻尼。C C ， ，有隔振效果，称为隔振区。在实际，有隔振效果，称为隔振区。在实际应用中取应用中取 。nnrT21rT121rT55 . 2（4 4）传递率曲线分析）传递率曲线分析例例4 4： 包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬垫引起的静变形为包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬

31、垫引起的静变形为5.08cm5.08cm，如果此包装放在运输车上，支座扰频为如果此包装放在运输车上，支座扰频为 ，支座扰力，支座扰力幅值幅值 ，求产品最大位移和最大加速度。，求产品最大位移和最大加速度。 srad /7 .15gxs1 . 0max 解：分析，求解：分析，求max,xB )sin(tBxBxmaxBxmax2maxBx taxssinaxsmaxaxsmax2maxaxs 2222)2()1 ()2(1aBTr在本题中不考虑阻尼，故在本题中不考虑阻尼，故 211rTnn（1 1）求系统固有频率）求系统固有频率 （注意单位）（注意单位）)/(9 .1308. 5980sradgs

32、tn（2 2）求传递率）求传递率 58. 3)9 .13/7 .15(111122rT（3 3）求）求 max,xB maxmaxmaxmaxmaxmaxsssrxxxxxxaBT ggxTxsr358. 01 . 058. 3maxmax )(42. 17 .15358. 022maxcmgxB 2.2.3 2.2.3 任意周期激励力引起的强迫振动任意周期激励力引起的强迫振动（1 1）非简谐周期激振力引起的受迫振动）非简谐周期激振力引起的受迫振动)()(nTtFtFnn, 3 , 2 , 1系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为 )(tFkxxcxm 应用谐波分析法，可将应用谐波分析法，可

33、将 按富里埃级数展开成一系列不同按富里埃级数展开成一系列不同频率的简谐激振力，即频率的简谐激振力，即 为为常力，取静平衡位置为坐标原点，方程中不出现该项。常力，取静平衡位置为坐标原点，方程中不出现该项。)(tFnjjjtjbtjaatF10)sincos(2)(20anjjjjjjjktjbtjatx1222)2()1 ()sin()cos()( 当系统阻尼较小时，当系统阻尼较小时， 可忽略不计，可忽略不计， ，方程的解为：，方程的解为： 0jnjjjjktjbtjatx12)1 (sincos)(njjj为第为第j j阶谐波阶谐波响应的相位差响应的相位差 为第为第j j阶频率比阶频率比 （2

34、 2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动 njjjstjbtjatx1)sincos()(单自由度系统在支承运动单自由度系统在支承运动 作用下的稳态响应为：作用下的稳态响应为： taxssin)sin()2()1 ()2(1)sin(2222ttBx根据叠加原理，得非简谐周期性支承运动作用下系统的稳态响应：根据叠加原理，得非简谐周期性支承运动作用下系统的稳态响应： )sin()cos()2()1 ()2(1)(12222njjjjjjjjtjbtjatx若忽略阻尼若忽略阻尼 =0=0，则，则 ，方程的解可简化为：，方程的解可简化为： 0jnjjjjtjb

35、tjatx121sincos)(2.2.4 2.2.4 任意激励力引起的强迫振动任意激励力引起的强迫振动系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为： )(Fkxxcxm t0)(F任意激励力，非周期，无法直接求解任意激励力，非周期，无法直接求解解决方法：任意激励力解决方法：任意激励力分解成无数多个脉冲宽度（脉冲作用分解成无数多个脉冲宽度（脉冲作用时间）为无限小的脉冲，在时间）为无限小的脉冲，在 的间隔的间隔 内，系统质量受到一内，系统质量受到一个微冲量个微冲量 的作用的作用阴影面积表示阴影面积表示求出单独脉冲作用求出单独脉冲作用下系统的响应下系统的响应叠加叠加系统的总响应。系统的总响应。 td

36、dtF )(dteFmxdttdn)(sin)(1)(0它包括了任意激励力作用下的瞬态振动它包括了任意激励力作用下的瞬态振动和激励停止后的自由振动。和激励停止后的自由振动。若忽略阻尼，则若忽略阻尼，则 =0=0， ，方程，方程的解可简化为：的解可简化为： DuhamelDuhamel积分法积分法nddtFmxntn)(sin)(10例例5 5：试求有阻尼单自由度系统对图：试求有阻尼单自由度系统对图2-152-15（a a）所示的阶跃函数激）所示的阶跃函数激励的响应。励的响应。 解：单位阶跃函数可表示为：解：单位阶跃函数可表示为：)0(1)0(0)(tttu阶跃函数可表示为阶跃函数可表示为 ,

37、,系统运动微分方程为：系统运动微分方程为：)(0tuF)(0tuFkxxcxm 利用利用DuhamelDuhamel积分法，在积分法，在t0,t0, , ,则响应为：则响应为： 0)(FF)cos(111 )(sin20)(00tekFdtemFxdtdttdnn211tg对无阻尼系统，对无阻尼系统， =0=0， ，系统响应为：，系统响应为：nd , 0)cos1 (0tkFxn当当 时，响应达到最大，即时，响应达到最大，即 ，为静变形的，为静变形的2 2倍，倍，其响应曲线见图（其响应曲线见图（b b）. . ntkFx/20max例例6 6：求半周期正弦脉冲激励对单自由度无阻尼系统的响应。：

38、求半周期正弦脉冲激励对单自由度无阻尼系统的响应。解：时间间隔为解：时间间隔为 的半周期正弦脉冲波形如图的半周期正弦脉冲波形如图a a 所示，可表示成：所示，可表示成：nT)0(sinsin), 0(0)(00nnnTttFTtFTtttF式中：式中： nT利用利用DuhamelDuhamel积分法，半周期正弦脉冲在积分法，半周期正弦脉冲在 的响应为：的响应为： nTt 0)()cos(sin2)()sin(sin)(1/)(sinsin02000nnnnnnnnTnnttkFttkFdtmFxn当当 ，激振力为，激振力为0 0，响应只取决于，响应只取决于 时的状态，有：时的状态，有：nTt n

39、Tt )()cos(sin)()(sinsin)(1)/()(sinsin02000nnnnnnnnnnTnttkFTttkFdtmFxn当当 的值不同时，响应曲线不同，（的值不同时，响应曲线不同，（c c）半周期正弦脉冲的）半周期正弦脉冲的冲击响应谱。冲击响应谱。 /n2.3 2.3 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 2.3.1 2.3.1 两自由度线性系统的振动两自由度线性系统的振动（1 1）系统的运动微分方程）系统的运动微分方程)()()(112112111tFxxcxxkxm )()()(2222212112122tFxcxkxxcxxkxm 整理得：整理得： )(1211

40、1211111tFxkxkxcxcxm )()()(2221112211122tFxkkxkxccxcxm 耦合方程耦合方程 引入矩阵和向量：引入矩阵和向量：2100mmM 21111cccccC 21111kkkkkK 21xxX)()()(21tFtFtF )(tFXKXCXM 矩阵方程矩阵方程 （2 2）无阻尼系统的自由振动）无阻尼系统的自由振动0)()(, 02121tFtFcc000021211112121xxkkkkkxxmm 方程的解为：方程的解为： )sin()sin(22221211211121tAAtAAxxnn为任意常数（由初始条件确定）为任意常数（由初始条件确定） 为为

41、 在频率在频率 时的振幅。时的振幅。 ,A12A)(1tx2nn基波基波：较低的频率项为基波；如果：较低的频率项为基波；如果 ， 为基波。为基波。谐波谐波：其他的项称为谐波。：其他的项称为谐波。21nn1n2221222121211121111,1rrrAArrrAA其中为常数其中为常数 r)sin(1)sin(1221221111121tArtArxxnn主振型主振型：系统按给定的一个固有频率作自由振动为主振动，系统系统按给定的一个固有频率作自由振动为主振动，系统作主振动的任何瞬间的各点位移之间所具有的一定比值，即整个作主振动的任何瞬间的各点位移之间所具有的一定比值，即整个系统具有确定的振动

42、形态，成为主振型。系统具有确定的振动形态，成为主振型。 kkkkmmm3,2,2121若若 =0=0，则产生第一主振型。，则产生第一主振型。12A)sin(11111121tArxxn )sin(11112111tArrnx或或121111rrr振型矢量振型矢量 若若 =0=0，则产生第二主振型，则产生第二主振型 。11A)sin(12212221tArxxn或或 )sin(22122212tArrnx整个方程的解整个方程的解 )sin(1)sin(1221221111121tArtArxxnn)sin()sin(11221211112121tAtArrxxnn 2111rrr振型矩阵振型矩阵 （3 3）有阻尼系统的强迫振动）有阻尼系