第六章-环与域

1、环与域环与域环环 定义定义:给定代数系统，其中和都是二元运算，如果满足以下条件 (1)是交换群。 (2)是半群。 (3)对是可分配的。 则称是一个环。 通常将称为环中的加法运算，称为环中的乘法运算。加法群中的幺元用0表示，a的加法逆元用a表示。若中存在幺元，用1表示，若a的乘法逆元存在，则用a1表示。 例1 (1)整数集、有理数集和实数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z、有理数环Q和实数环R。 (2)系数属于实数的所有多项式组成的集合记为Rx，那么Rx关于多项式的加法与乘法构成环。 (3)元素属于实数的所有n阶矩阵组成的集合关于矩阵的加法与乘法构成环。 (4)模m的剩余类集合Zm，

2、对于模m的剩余类加法m和乘法m构成一个环，叫作剩余类环。 定理定理: 设是环，则对于任意的a、b、cS，有证明 (1)因为a0a0a(00)a0a00，所以由消去律可得a00。同理可证，0a0 (2)因为aba(b)a(b(b)a00，所以(ab)a(b)。同理可证(ab)(a)b。111111111 .0012 . ()()()3 . () ()4 .(), ()5 .)6 .7 . ()()()nnnnnmnmiiijijijaaababa baba babca ba cbcab ac aabba ba bbbab abaaba bn aban bna b （ (3) (a)(b)(a(b

3、)(ab)ab （4)a(bc)a(b(c)aba(c)abac。 (bc)a(b(c)aba (c)a baca。 定义: 给定环，则 (1)若是可交换半群，称是可交换环。 (2)若是独异点，称是含幺环。 (3)若满足幂等律，称是布尔环。定理:设R为有单位元的环，且不只含一个元素，则1不等于0反证法：若10，则a=a*1=a*0=0整环、除环、域零因子零因子:若存在a、bS且a0、b0满足ab0，称环为含零因子环，a和b是零因子。零因子。,nnnnn 例：对于剩余环Z，若 不为素数，则Z中必存在零因子整环、除环、域定理：定理： 无零因子与乘法消去律等价无零因子与乘法消去律等价 环中无零因子，

4、当且仅当环中乘法具有消去律。环中无零因子，当且仅当环中乘法具有消去律。 若环中无零因子,则对a0，x,yA,若axay则axay0,于是a(xy)=0, 因而xy0，即xy。 另一式: xayaxy同理可得。当环中，具有消去律时,若a0，ab0, 即aba0, 消去a, 则b0, 即中无零因子。 整环、除环、域,n1 nnnn 整环：有单位元无零因子的交换环是整环例：对于剩余环Z，若 为素数，则Z 必为整环除环：设R是一个含 的环，R=R-0,如果R是一个群，则为除环，可交换的除环为域例例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)Sxx2nnZ. (2)Sxx2n+1nZ. (3)Sx

5、xZx0N, (4)Sxxa+b ,a,bQ.问S和+,能否构成整环？能否构成域？为什么？2解： (1)不是整环也不是域,因为乘法幺元是1,1S.(2)不是整环也不是域,因为S不是环,普通加法的幺元是0,0S, (3)S不是环,因为除0以外任何正整数x的加法逆元是一x,而一xS当然也不 (4)是整环和域.环与域定理：设定理：设R是一个无零因子的有限环，且是一个无零因子的有限环，且|R|2，则则R必为除环必为除环 因为群因为群有幺有幺,可交换可交换,且无零因子且无零因子(群有消群有消去律去律,由前面定理知由前面定理知:有消去律有消去律无零因子无零因子)。推论推论 有限整环必定是域。有限整环必定是

6、域。推论推论：设P为素数，则为域111aF,b,b,2),bd(3),(4),/a babbacbdacadbcbda cacb dbdacadcbdbc设 是一个域，属于F,若b0,则可将写成写成在这种记号下以下性质成立：(1)设b0 d0,则ad=bc（ 设b0 d0,则设b0 d0,则设b00 d0,则商环与理想商环与理想 定义：定义： 设是环，T是S的非空子集。若T关于和运算也构成环，则称为的子环。 例:整数环Z、有理数环Q都是实数环R的子环。0和R也是实数环R的子环，称为平凡子环。 定理：定理：(子环判定定理)设是环，T是S的非空子集。若对任意的a、bT，有abT且abT，则是的子环

7、。 例：偶数环2Z 是整数环Z的子环 定义：定义： 设为的子环，若对于T中任何元t和S中任何元a，有atT且taT，则称为环的理想。 定理：定理：给定环，T是S的非空子集，则为环的理想对任意的t、tT及aS，有(tt)T，taT，atT。 例4 试证为环的理想，其中(i)ni|nZ。其中，和是普通的加法和乘法。证明 对任意的mi、ni(i)及kZ，则mini(mn)i(i)，(mi)(ni)(mni)i(i)，k(ni)(kn)i(i)。所以，为环的理想。 定义：（定义：（1) 设为环的理想，若在T中存在元g使得TSg，其中Sgag|aS，则称为环的主理想主理想，并称g为的生成元或称由g生成。

8、 (2)设R是一个整环，如果R的每个理想都是主理想，则称R为主理想整环主理想整环 例： 设为环的理想，则存在iN，使得L(i)。即的每个理想都是主理想。 证明 显然Z(1)，0(0)，因此两个平凡理想和都是主理想。 令为的任一真理想，i为L中最小正整数，下证L(i)。 因为为的理想且iL，所以对于任意ni(i)，有niL，故(i)L。 对任意的kL，令kqir，其中q、rZ且0ri。因为qi、kL，由理想的定义得rkqiL。考虑到i为L中的最小正整数和0ri，则r0。故kqi(i)，因此L(i)。 综上可得，L(i)。所以，是的主理想。域的特征和素域域的特征和素域 定义：设F是一个域，S包含于

9、F，若S在加和乘运算下也构成域，则称S为F的子域，F为S的扩域。 定理：设是一个域，则 (1)在加法群中，每个非零元都具有同样的周期 (2)如果中非零元素的周期为有限数p，则p必为素数域的特征和素域域的特征和素域 定义：设是一个域，若中非零元的周期为有限数p,则称域F的特征为p，若中非零元的周期为无穷数，则称域的特征为0 注：域F的特征或者为素数或者为0 定理定理：设S是F的子域，则S与F具有相同的特征 定理定理：n元有限域的特征数必为素数p，且p|n 证明：若F是n元有限域，则是n阶群，故1在F中的周期为p,且p|n，又因为F的特征为p，所以，p为素数,eF| ep,0, ,2 ,(1) , pppppppppFpFZZZie iZZeepeZZiieiZZZ定理：若域 的特征为素数其 中必存在与同构的子域证明：设 是 的单位元，令因为 的加法周期为 故作到的映射 ：知 为同构