谭继锦有限元法31概述

1、第3章 连续体问题的有限元法1第三章 连续体问题的有限元法本次课主要讲解平面问题有限元法的概念。单元位移模式、单元应变应力、单元刚度矩阵、单元节点载荷、总刚度矩阵、边界约束条件、解题步骤、计算结果处理等内容。第3章 连续体问题的有限元法2第一节 概述 从几何角度看，结构可以分为以下三类：杆梁结构、板壳结构、实体结构。杆梁结构自身存在自然连接关系，即在共同连接处，有公共节点，杆梁结构的离散可以按其结构形式自然离散。 连续体由于内部没有自然的连接关系，需要通过人工的方法在连续体内部和边界上划分节点离散，以分片连续形式来逼近原来复杂的几何形状。途安轿车解剖结构重汽车桥第3章 连续体问题的有限元法3理

2、论力学：物体或机械运动的基本规律。材料、弹性、板壳力学则研究强度、刚度、稳定性问题。 弹性力学经典方法解决实际问题的主要困难在于求解偏微分方程的复杂性。 有限元法则将原来连续的弹性体划分成有限个单元集合体且彼此只在有限个点连接，因此这个集合体只有有限个自由度。 目前广泛应用的有限元法是取节点位移作为基本未知量，因此实际上是有限元位移法。单元中任一点的位移可通过节点的位移进行插值计算。第3章 连续体问题的有限元法4通过节点位移表示单元中的应变、应力和节点力，将各个单元整体组集，问题归结为求解以节点位移为未知量的线性代数方程组。整个有限元分析的关键步骤是离散化，单元分析和整体组集。 平面问题中最简

3、单的就是采用三角形单元对弹性体进行分析，单元中任一点的的位移可用3个节点的位移进行插值运算，整个区域采用有限个节点表示，从而避免求解整个区域位移函数的困难。第3章 连续体问题的有限元法5图3-1 平面问题中的三角形三节点单元和四边形四节点单元图3-3 任意三角形单元第3章 连续体问题的有限元法影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线性项）；2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；注：满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三

4、个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。有限元法的收敛准则第3章 连续体问题的有限元法7 一任意三角形单元如图3-3所示。其各顶点为节点，每个节点在平面内沿X轴和Y轴的位移为u、v，单元共3个节点,6个位移分量，单元内任一点的位移u(x,y),v(x,y)可假设为坐标x、y的某种系数，即选用适当的位移函数也称为位移模式。 一种简单的线性位移函数为：123456uxyvxy（3-1）126,., 是6个待定常数，可由单元的节点位移确定第二节 平面三角形常应变单元位移模式图3-3三角形单元第3章 连续体问题的有限元法8节点的坐标为（xi,yi）、（xj,yj）、（xm,ym）其节

5、点位移为（ui,vi）、（uj,vj）、（um,vm）将之代入式（3-1）得ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ymvi=a4+a5xi+a6yivj=a4+a5xj+a6yj vm=a4+a5xm+a6ym联立求解上述6个方程，可以求出a1,a2a61231 1 1 iiijjjmmmxyuxyuuxy第3章 连续体问题的有限元法9123 1 2 1 11 21 1 11 21 iiijjjmmmiijjmmiijjmmuxyuxyAuxyuyuyAuyxuxuAxu第3章 连续体问题的有限元法10上式中A是三角形单元i,j,m的面积，为保证单元面积为正，要求

6、逆时针编号。1231 ()()()21()()21()()2ijmjmjimmimijjimjjmjijiimimjmmjimmiijjiu x yy xux yx yux yx yAy uy uy uu yu yyuAx ux uxux uxux uA第3章 连续体问题的有限元法11由（3-1）所示的形函数，单元内任一点（x,y）的位移为：123456uxyvxy1 ()2 () () j mj mjmmjii mm jmimijijj ijijimux yyxxyxyyxyx uAxyx yxyxyyxyx uxyx yxyxyyxyx u 第3章 连续体问题的有限元法12 ( , ,)

7、3-61()()() (3-4)21()()() (3-5)2ijmjmijmimjiiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmax yy xbyyi j mcxxuabxc y uab xc y uab xc y uAvabxc y vab xc y vab xc y vA按顺序替换（）则位移表达式为：令注意：（1）观察系数是变量还是常数；（2）观察一下是否能求出单元内任一点的位移。记作Ni第3章 连续体问题的有限元法131()21 ()21 () 2iiiijjjjmmmmNab xc yANabxcyANabxcyA如 令Ni表示单元内部位移的分布形态，故Ni,Nj,Nm称为单元的形

8、状函数，简称形函数第3章 连续体问题的有限元法14单元内任一点的插值公式为：iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(i,j,m) (3-8)将上式写成矩阵形式为： 0 0 0 0 0 0 iiijmjeijmjmmuvNNNuufNvNNNvuv 第3章 连续体问题的有限元法15第三节第三节 单元应变和应力单元应变和应力平面问题几何方程为： /xyxyuxvyuyvx 平面应力问题的物理方程21010100(1)/2xxyyxyxyE第3章 连续体问题的有限元法16由式（34），得：1/()21/()21/()21/()2iijjmmiijjmmiijjmmiijjm

9、muxbub ub uAvycvc vc vAuycuc uc uAvxbvb vb vA 00010002iixijmjyijmjxyiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuv第3章 连续体问题的有限元法17上式简记为 (3 12)eB ijmBBBB写成分块形式子矩阵010( , ,)2iiiiibBci j mAcb将式（3-12）代入应力应变关系物理方程，得： eeDBS矩阵S可以写成分块形式 ijmSDBSSS第3章 连续体问题的有限元法18对应平面应变问题，只要把上述式子里 221001100121002( , ,)2(1)11()()22iiiiiiiiiiiibES

10、DBcAcbbcEbci j mAcb2,(1)1EE就得相应子矩阵第3章 连续体问题的有限元法19第四节 单元平衡方程与单元刚度矩阵结构平衡小单元体平衡，结构的平衡可通过节点的平衡来表示，有限元的任务就是建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。采用虚功原理建立单元的平衡方程：图3-4 单元节点力及相应应力分量图3-5 单元节点虚位移示意图第3章 连续体问题的有限元法20设想单元节点发生了虚位移 其6个分量组成单元节点虚位移列阵为：*,ufv * 3-17 Tiijjmmu v u v uv在单元内部引起的虚应变为：* Txyz虚功原理：虚功原理：外力虚功等于内力虚功。即节点

11、力在节点虚位移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上做的虚功。第3章 连续体问题的有限元法21 * 3-19 3-22 TeTeTeTTeTeeTeTeeeeFtdxdytBDBFBDBt dxdyBDB t dxdyKBDB t dxdyFK单元厚度记 则 *eB eB第3章 连续体问题的有限元法22式（ 3-22 ）建立了单元节点力与单元位移之间的关系，通常称为单元刚度方程。单元刚度矩阵： 3-23 3-24 eTTTieTjijmTmiiijimjijjjmmimjmmKBDB tdxdyBDBt AAdxdyBKBDB BBA tBkkkkkkkkk 式中： 为该单元面积第3章 连续体

12、问题的有限元法23 222 2 01 0 0 11 1 00 0 2211- 0 0 2 0 0 41TiiiiiiiiiiiiiiiiiKBDBt AbbcEct AcbAAcbbbctEcbA 每个子块是的矩阵，如：22222 11- 2211 22 4111 22iiiiiiiiiiiiiiiiicbccbbcbcbctEAbcbccb第3章 连续体问题的有限元法24s22 01 0 0 11 1 00 0 2121- 0 0 2 0 = 0 41ressrrssrrrrssrssbbcEKctAcbAAcbbcbctEbcbA211 2211 22 =4 111 22rrrsrsrsr

13、srrssrsrsrccbb bc cb cc bE tAb cb cc cb b第3章 连续体问题的有限元法25（1）单元刚度矩阵中每个元素物理意义明确。其物理意义为单位节点位移分量所引起的节点力。 表示第n个自由度产生单位位移而其他自由度固定时，在第m个自由度产生的节点力。（2） 是对称矩阵。（3） 是奇异矩阵。 在无约束的条件下，单元可作刚体运动。 中诸元素的值取决于单元的位移函数，单元的几何参数（单元的形状、大小、方位）、单元的材料性质(E,)。mnK eK eK eK eK 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质：第3章 连续体问题的有限元法261. 从几何角度看，结构可以分为哪几类？2. 三节点三角形单元形函数表达式，系数bi、ci的计算式。3. 三节点三角形单元内任一点位移的插值公式为？4. 三节点三角