结构动力计算概念

1、 结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程。单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）。 单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位移计算）。 阻尼对振动的影响。 多自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）。 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）。 频率、振型的近似计算方法。学习目的和要求 学习内容 在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这些量值的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。 第第1 14章章 结构动力学结构动力学 本章基本要求： 掌握动力自由度的判别方法。 掌握

2、单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下 动内力、动位移的计算。 掌握阻尼对振动的影响。 了解自振频率的近似计算方法。 1. 结构动力计算的特点结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。2. 动荷载分类动荷载分类 (1) 周期荷载周期荷载 (2) 冲击荷载冲击荷载 (3) 快速移动荷载快速移动荷载 14-1 概概 述述 (4) 随机荷载随机荷载3结构动力计算的内容结构动力计算的内容(1) 确定结构的动力

3、特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。 (2) 计算结构的动力反应 即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等。 1. 结构振动的自由度结构振动的自由度 确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度。 (1) 单自由度结构单自由度结构：具有1个自由度的结构。2. 连续质量的简化连续质量的简化 (1) 集中质量法集中质量法 (2) 多自由度结构多自由度结构：自由度大于1的结构。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度 (2) 广义坐标法广义坐标法 3. 振动自由度的确定振动自由度的确定 基本假定：（1）不考虑集中质量的转动；（2）受弯直杆任两点之间的距离

4、保持不变。对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。自由度数目即等于所加入链杆的数目（如图14-2）。 图14-2振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关。如图14-3所示的体系。 图14-3自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动，而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。原有平衡位置强迫偏离位置图14-414-2 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动1不考虑阻尼时的自由振动不考虑阻尼时的自由振动 (1) 刚度法列动力平衡方程刚度法列动力平衡方程 各单自由度的振动状态，都可以用一个简单的质点弹

5、簧模型来描述，如图14-5a所示。(c)(b)(a)FIymFIFem静力平衡位置my图14-511eFk y IFmy 设质点位移y和质点受到的力都以向下为正。取质点为研究对象(图14-5b)作用在质点上的弹性力( )和假想地加在质点上的惯性力( )互相平衡，建立平衡方程得运动方程为：110myk y （a）令： 211km（14-1）有 20yy （14-2）这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。(2) 柔度法列位移方程柔度法列位移方程 取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力IFmy 看作是一静力荷载，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方程为： 1111IyFmy 即 110m

6、yk y （3）运动微分方程的解）运动微分方程的解0y0y 设初位移，初速度为，则求解以上方程可得任一时刻质点 位移为：00( )cossinsin()yy tyttAt (14-3)其中y0为初始位移，0y 为初始速度，为自振频率。结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、b）。(a)yyytttaaaa oooy00yT=0y(b)(c)图14-6若令0sinya0cosya， 振幅和相位角22002yay（14-4）00tanyy (14-5) 则有 sin()yat （14-6） cos()yat（14-7）（

7、4）自振频率的计算）自振频率的计算 自振周期：T=2/。1111111stkggmmmg (14-8)其中： 柔度系数11表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点沿振动方向所产生的位移。 刚度系数11k表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 st=W11表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点沿振动方向所产生的位移。 计算自振频率计算自振频率时可根据体系的具体情况，视时可根据体系的具体情况，视d11、k11、DST三三者中哪一个最便于计算来选用。者中哪一个最便于计算来选用。 (1) 自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关，自振频率（自振周期）只

8、与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅与初始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅a和相位角和相位角f 。 (2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。 例例14-1 图图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且，且EI都相都相等，在

9、中点有集中质量等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。的自振频率。 解：由式（解：由式（14-8）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移计算方法，可分别求得在自重计算方法，可分别求得在自重F=mg作用下的静力位移为作用下的静力位移为m(a)Fl(b)m3Fl5Fl32m(c)FlFlFll22ll22ll22l888416图14-73148FlEI 327768FlEI 33192FlEI ，代入式（14-8）即可求得三种情况的自振频率分别为1348EIml237687EIml33192E

10、Iml ， ，距此可得123:1:1.51:2说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。 2 2考虑阻尼时的自由振动考虑阻尼时的自由振动 y FIFeFRm粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为： FR=。其它形式的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析， 质点上受到的力如图14-8所示。结构自由振动时的动力平衡方程为 0IReFFF即，110myyk y 图14-8 211km2km令，则有 220ykyy（14-9）令 220ykyy（14-10） 为有阻尼自振频率。 （1）在小阻尼在小阻尼（k）的情况下，微分方程的解为 000cossinktykyybeytt（14-11）sin()kty

11、bet（14-12）其中 22000()ykyby000tanyyky（14-13）（14-14）令 k，称为阻尼比阻尼比。22221 ()1kk通常当1为大阻尼为大阻尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少遇到。cr（3）当）当=1时的阻尼称为临界阻尼时的阻尼称为临界阻尼；相应的值称为表示，则临界阻尼系数，用22crmkm22crkmkm， cr阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数之比。 1414-4 4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 当干扰力( )F t直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，动力平衡方程为 mFeFIFRF(t)图1

12、4-10( )0IReFFFF t11( )myyk yF t即 212( )yyyP tm（14-18） 齐次方程的通解为012(cossin )tyeBtBt简谐荷载的一般式可表示为 ( )sinF tFt（a） （14-19） 微分方程（14-18）为：22sinFyyytm（14-20） 设式（14-20）有一个特解12sincosyCtCt（b） 代入式（14-20）可求出C1、C2，再由初始条件确定出B1、B2后，可得 000222222222222222222cossin 2()2cossin ()4()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm （14-21） 振

13、动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率 一致，称为伴生自由振动。 随时间的推移而很快衰减掉， 最后只剩下按干扰力频率称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。 而振动的第三部分，o22yt图14-11 1. 不考虑阻尼的纯受迫振动不考虑阻尼的纯受迫振动无阻尼体系平稳阶段的动位移 22( )sin()Fy ttm 最大的动力位移（即振幅）为 222221()1FFAmm即 2211stAy112211stAFy式中11styF代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移，而（14

14、-22） （14-23） （14-24） （14-25） 为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2. 考虑阻尼的纯受迫振动考虑阻尼的纯受迫振动取式（14-21）的第三项，整理后有 sin()yAt其中 2222221()4FAm 1222tan ()振幅 相位差 振幅A可写为 222222214(1)stFAym （14-29） （14-28） （14-27） （14-26） 动力系数 2222221(1)4（14-30） 548.8 10ImFsintG2m2mm 例例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），E=210GPa，发电机转动时其并知梁的

15、惯性矩离心力的垂直分量为Fsint，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。图14-14 解：解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为 33339535 1042.53 104848 210 108.8 10stGlmEI故自振频率为 139.8162.32.53 10stgs干扰力的频率为122 3.14 50052.36060ns动力系数为222113.452.31 ()162.3梁中点的最大弯矩为max35 43.4 10 46944GFstMMMkN m梁中点的最大挠度为3333max953(353

16、.4 10) 104484848 210 108.8 104.98 104.98FststGlFlyyEIEImmm 1414-5 5多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动1刚度法刚度法 列质点的动力平衡方程，以质点im为例，有 0iiRim yF （a） 由叠加原理可得1122RiiiiiiijjinnFk yk yk yk yk y（b） (e)yj=1kiikjikjikiiyi=1(d)FRi(c)y1yiyjyn-miyi(b)ynyjyiy1mnmjmi(a)m1图14-19将式（b）代入（a）有11220iiiiinnm yk yk yk y（c） 对每个质点可建立n个方程

17、 1111112212221122221122000nnnnnnnnnnnm yk yk yk ym yk yk yk ym yk yk yk y （14-31） 写成矩阵形式为11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky （14-32） 或简写为MY+KY = 0（14-33） 即为多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。 2柔度法柔度法任一质点mi处的位移为 (c)(b)ynyjyiy1mnmjmi(a)m1ijiiji 1-miyi-m1y1-miyi-mnyn 1jjijji图14-20111222()()()()()iiiiiii

18、ijjjinnnym ym ym ym ym y可建立n个上述类似的位移方程 11111122212211122222111222000nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y 写成矩阵形式为11112111221222221200000nnnnnnnnnymyymyymy 或简写为Y +MY = 0（14-36） （14-35） （14-34） (d) 3按柔度法求解按柔度法求解振幅方程为 (21MI)A = 0 （14-37）频率方程 21M-I = 0 （14-38）12n求解上述方程得出n个自振频率，。 各阶主振型为 ( )2(1,2, )

19、kkkn1MI)A= 0 （14-39） 4两个自由度的结构两个自由度的结构两个自由度体系的振幅方程 1111122222111222221()01()0mAm Am AmA（g） 令21，则频率方程为 （h） 频率计算公式 (14-40) 两个自振频率为 112211（14-41） 第一主振型 111(1)2211(1)11221mAAm第二主振型 例例14-3 试求图14-21a所示等截面简支梁的自振频率并确定其主振型。111(2)2222(2)11221mAAm（14-43） （14-42） 解：解：结构有两个自由度，由图乘（图14-21b、c）可得 311224243lEI312217

20、486lEI，代入式（14-40）且12mmm ,有(e)A1(2)(2)A2A2(1)(1)A1(d)l9229lF2=1(c)M2图M1图(b)(a)l33llmF1=13m 图14-21 31111215()486mlmEI321112()486mlmEI，于是有133114865.6915EIEImlml2332148622.05EIEImlml第一振型为 (1)2111111121111(1)1122122()1AmmmAmm第二振型为(2)2211111121112(2)1122122()1AmmmAmm 5. 主振型的正交性主振型的正交性 主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自

21、由度体系中，任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。即：( )( )()0jTiAMA( )( )()0jTiAKA (14-44) (14-45) 14-6 14-6 多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动1位移幅值计算位移幅值计算 (1) 柔度法柔度法建立的振动微分方程为 sinPtY+MY （14-46） 稳态振动时的振幅方程 022110PMI Y000012TnyyyY (14-47)，为位移幅值向量；式中：P=1P 2P nPT，为荷载幅值引起的静力位移列向量。 0iy0iy 求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值，为正时表示质量mi的

22、运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。(1,2, )kkn2KM0时，当， 由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。 对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为 001111112222200221112222221()01()0PPmym ym ymy(14-48) (2) 刚度法刚度法建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上） sin tY+Y = F(14-49) 稳态振动时的振幅方程为 20KM YF(14-50) 式中， F=F1 F2 FnT，为荷载幅值向量。2惯性力幅值计

23、算惯性力幅值计算惯性力 200sinsin,IiiiiiIiFm ymytFt 020IiiiFmy为惯性力幅值。 惯性力始终与位移同向。 (1) 求得位移后，由 020IiiiFmy求惯性力幅值。 (2) 如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯性力幅值。 10121PMF0(14-51) 两个自由度体系惯性力幅值计算公式 001111121212100211122122221()01()0PPFFmFFm(14-52) 求得惯性力幅值Ii如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。 3. 动内力幅值计算动内力幅值计算 位移、惯性力、动荷

24、载频率相同。对于无阻尼体系三者同时达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。 4. 对称性的利用对称性的利用振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振动时荷载对称或反对称。 多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。14-7 计算频率的近似法1. 能量法能量法V( )( )T tV t 结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程