求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上求三角函数值域及最值的常用方法（1） 一次函数型或利用：化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）， （3）函数在区间上的最小值为 1 （4）函数且的值域是 （2） 二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数的最大值等于 （3）.当时，函数的最小值为 4 （4）.已知k4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是 1 （5）.若，则的最大值与最小值之和为_2_（3） 借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为再利用辅助角公式

2、求其最值；利用万能公式求解；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例1：求函数的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。解法2：将函数变形为，由，解得：，故值域是解法3：利用万能公式求解：由万能公式，代入得到则有知：当，则，满足条件；当，由，故所求函数的值域是。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式，代入得到当时，则，满足条件；当时，如果t 0，则，此时即有；如

3、果t 0，则，此时有。综上：此函数的值域是。例2.求函数的最小值解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为（4） 换元法代数换元法代换：令：再用配方. 例题：求函数的最大值 解：设，则，则，当时，有最大值为（5） 降幂法型如型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为再利用辅助角公式求出最值。例1：求函数的最值，并求取得最值时x的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性

4、，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得， ，的最小值为，此时，无最大值。例2. 已知函数， （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式 解：（） 又，即， （）， 且， ，即的取值范围是典型应用题ABORSPQ例题：扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值分析：引入变量，建立目标函数解：连接，设，则，所以当时，在圆弧中心位置，点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键（6） 条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）

5、 例1. 已知，求的最大值与最小值 分析：可化为二次函数求最值问题解：（1）由已知得：，则，当时，有最小值；当时，有最小值例2：已知，求的取值范围。分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin，sin的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解：， 。sin =0时，； 时， 。例3 ：求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：定义域为0x1，可设且，即当或，即 =0或（此时x=1或x=0），y=1；当，即时，（此时），当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范

6、围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。【反馈演练】1 函数的最小值等于_1_2已知函数，直线和它们分别交于M，N，则_3当时，函数的最小值是_4 _4函数的最大值为_，最小值为_.5函数的值域为 . 6已知函数，则的值域是 .7已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于_8（1）已知，函数的最大值是_.（2）已知，函数的最小值是_3_.9在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，_10已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值解：（）因此，函数的最小正周期为（）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为解法二：作函数

7、在长度为一个周期的区间上的图象如下：yxO由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为11若函数的最大值为，试确定常数a的值.解：因为的最大值为的最大值为1，则所以12已知函数（1）若求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.解：（1） 又 （2）当时，则， 方程有实根，得 【高考赏析】（1）（本小题满分13分） 设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。 （I）求的值。 （II）如果在区间上的最小值为，求的值。（本小题13分） 2.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(2x)+2sin2(x) (xR)()求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) c