哈工大振动与波动习题

1、机械振动机械振动oxtAT振动曲线振动曲线cosxAt简谐振动简谐振动2220dxxdt 动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程旋转矢量旋转矢量?描写简谐运动的基本物理量及其关系描写简谐运动的基本物理量及其关系A.振幅：振幅： AB.角频率、频率和周期：角频率、频率和周期：T, 1 T 2 C.初相位：初相位： 由系统决定角频率：由系统决定角频率：mk 由初始条件确定由初始条件确定 A和和 ：02020 xvxA00tanxvv0的正负号的正负号(sin ) 值值简谐振动的解析描述简谐振动的解析描述tAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tAa简谐振动的能量

2、简谐振动的能量222111A =222kxmk常数v22211cos ()22pEkxkAt22211sin ()22kEmkAtv速度速度超前位移超前位移/2 相位相位加速度加速度超前位移超前位移相位相位常见的简谐运动常见的简谐运动220dgdtl2lTg220dmghdtJ2JTmgl220d xkxdtmcosxAt=2mTk弹簧振子弹簧振子（水平、垂直）（水平、垂直）单摆单摆复摆复摆0cos()t0cos()t简谐运动的判据简谐运动的判据1. .动力学判据动力学判据受正比、反向的恢复力作用受正比、反向的恢复力作用xkf动力学方程动力学方程022xmkdtxd2. 能量判据能量判据振动系

3、统机械能守恒振动系统机械能守恒恒量222121xkmv3. 运动学判据运动学判据)cos(tAx相对平衡位置的位移随相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化时间按正余弦规律变化受正比、反向的恢复力作用受正比、反向的恢复力作用022xmkdtxdoxtAT求解简谐运动的方法求解简谐运动的方法A、解析法、解析法B、振动曲线求法、振动曲线求法C、旋转矢量求法、旋转矢量求法D、能量求法、能量求法tAxcosxy0At)cos(tAx振动的合成振动的合成221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA 1A 2A A Ox一一. . 两个同方向同频率简谐运动的

4、合成两个同方向同频率简谐运动的合成12()2k 12()(21)k 2121AAAAA21AAA21AAA12() 其其它它值值( 同相同相 )( 反相反相 )二二. 多个同方向多个同方向同频率的简谐运动的合成同频率的简谐运动的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAxaRACOxPM四四. 两个同方向不同频率的简谐运动的合成两个同方向不同频率的简谐运动的合成拍现象拍现象xt)cos(101tAx)cos(202tAy221222212sincos2AAxyAyAx1020令三三. 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 拍频为：

5、拍频为：12五、相互垂直的不同频率简谐振动的合成五、相互垂直的不同频率简谐振动的合成合成轨迹为稳定的闭合曲合成轨迹为稳定的闭合曲线线李萨如图形李萨如图形若两频率成若两频率成简单整数比简单整数比nm21若两分振动频率相差很小若两分振动频率相差很小近似为两同频率的振动合成，近似为两同频率的振动合成，合运动合运动轨迹按前面给出的形状依次缓慢变化。轨迹按前面给出的形状依次缓慢变化。本章基本题型：本章基本题型：1、已知振动方程，求特征参量、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动、证明、判断一个物

6、体的振动是否是简谐振动4、简谐振动的合成、简谐振动的合成:动力学判据动力学判据；能量判据；能量判据；运动学判据运动学判据 解析法、解析法、旋转矢量法旋转矢量法（振幅、周期、频率、初相位）（振幅、周期、频率、初相位）机械波机械波简谐波0( , )cosxy x tAtu0( , )cos 2 () xy x tAt波函数的物理意义222221yyxut波动微分方程反映了时间和空间的周期反映了时间和空间的周期 性。性。0( , )cos 2 ()txy x tAT周期：周期：T 由波源决定由波源决定 波速：波速：u 由介质决定由介质决定波长：波长： uT 能量密度：能量密度：2220sin()Ex

7、wAtVu平均能量密度：平均能量密度：2212wA能流密度：能流密度：uAuwI2221 22201sin()2PkxEEVAtu惠更斯原理惠更斯原理(子波假设子波假设)介质中任一波阵面上的介质中任一波阵面上的各点各点,都可以看作是都可以看作是发射子波发射子波的波源的波源，其后任一时刻，这些，其后任一时刻，这些子波的包迹子波的包迹就是新的就是新的波阵面。波阵面。220222cosrtAy110112cosrtAytAyyycos21波的干涉波的干涉相干条件：相干条件：同方向振动，同频率，相位差恒定。同方向振动，同频率，相位差恒定。n212 n21AAA21AAA加强加强减弱减弱 ( n = 0

8、 1 2) 2010212()rr 两列两列相干波相干波，振动，振动方向相同，振幅相同，频率相同方向相同，振幅相同，频率相同，传播，传播方向方向相反相反, 叠加而成驻波叠加而成驻波驻驻 波波振幅振幅驻波方程驻波方程xtAy2cos1xtAy2cos221yyytxAycos2cos2xAA2cos2二、驻波方程二、驻波方程半波损失：半波损失：波疏波疏波密波密入射波在界面处反射时位相发生入射波在界面处反射时位相发生的的突变突变1. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质量m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡

9、位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为 x = Acos(t + ) 恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能22211122 10 0.05,0.204m22224FsFsksmvkAAkmkFxA s O角频率242rad/s6km物体运动到 A 位置时计时，初相为 = 所以物体的运动方程为 x = 0.204cos(2 t + ) (m) 解：向里为正方向。解：向里为正方向。023kLLMgf032kfMgkx1coscos23kLLM gfJ2221cos

10、33LdkxMLdt2. 质量为质量为M,长为长为L的均匀细杆可绕通过其一端的固定端的均匀细杆可绕通过其一端的固定端O1自由自由 转转动动,在离轴在离轴 L/ 处有一倔强系数为处有一倔强系数为k的轻弹簧与其相连的轻弹簧与其相连,弹簧另一弹簧另一端固定在端固定在O2,如图所示如图所示.开始时系统静止开始时系统静止, 杆刚好处于水平位置杆刚好处于水平位置.现将现将杆沿顺时针方向绕杆沿顺时针方向绕O1转过一小转过一小 角度角度 ,然后放手然后放手,证明杆作简谐振动证明杆作简谐振动,并求其周期并求其周期.3220211cos()cos233LdLMgk xxMLdtMgO1 fkO2/ 3/ 3xtg

11、xLtgL220dkdtM 22kMTMk 2221cos333LLdktgMLdt22221sin33LdkMLdt2222133LdkMLdt MgO1 fkO23. 两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为 x1= Acos(t + )，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。(1) 求第二个振子的振动表达式和二者的相差；(2) 若 t =0 时，x1= A/2，并向 x 负方向运动，画出二者的 x-t 曲线及相量图。解：(1) 由已知条件画出相量图，可见第二个振子比第一个振子相位落后 /2，故 = 2 1 = /2，第二个振子的振动

12、函数为 x2= Acos(t + + ) = Acos(t + /2) A1A2xOA1A2xO32(2) 由 t = 0 时，x1= - A/2 且 v 0，可知 = 2/3，所以 x1= Acos(t + 2/3)， x2= Acos(t + /6) xA-AO65611617tx1x24. 一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动规律为 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6) (SI)。求：(1) 合振动的振动函数；(2) 另有一同方向同频率的谐振动 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 当 3 等于多少时，x1, x2, x3

13、的合振幅最大？最小？解：(1) 解析法221212212cos()AAAAA220.40.32 0.4 0.3cos()63 0.5 (m)111221122sinsintg ()coscosAAAA10.4sin0.3sin()36tg 0.4cos0.3cos()360.120.5cos(30.12 ) (m)xt振动函数另法：相量图法12AA22120.5mAAA213tg4AA0.210.210.1230.5cos(30.12 ) (m)xt(2) 当 3 = = 0.12 时， max31.0mAAA2Ax/6/3O1AA当 3 = = -0.88 时， min30AAA5. 一质点

14、在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过点时轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过点时作为计时起点（作为计时起点（t=0），经过秒后质点第一次经过点，再经），经过秒后质点第一次经过点，再经过秒后质点第二次经过点，若已知该质点在，两点具过秒后质点第二次经过点，若已知该质点在，两点具有相同的速率，且有相同的速率，且cm 求：（求：（1）质点的振动方程；（）质点的振动方程；（2）质点在点处的速率。）质点在点处的速率。xAB0VAVB2ts4ts0t 解：以解：以AB的中点为坐标原点。的中点为坐标原点。05costxA 时，424ABTVVs25cos(2)tsxA时，351044AtgV

15、或 210/2 10cos(/43 /4)xtm 0/3.93/tvdx dtcm s时，6. 已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及 O 点的振动函数。x(m)0.5y(m)Ou = 0.5m/s123解：波函数标准方程xTtAy2cos已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s由25 . 0422cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty得223即2所以波函数为)m(22cos5 . 0 xtyO 点的振动函数为)m(22cos5 . 0Oty7. 一平面一平面 简谐波在介质中以速度简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右

16、传播，已知在传自左向右传播，已知在传播路径上的某点的振动方程为播路径上的某点的振动方程为y=3cos(4 t- ),另一点在右方另一点在右方9m处，处，(1)若取若取x轴方向向左，并以点为坐标原点，试写出波动方轴方向向左，并以点为坐标原点，试写出波动方程，并求出点的振动方程程，并求出点的振动方程(2)若取若取x轴方向向右，以点左方轴方向向右，以点左方5米米处的点为处的点为x坐标原点，重新写出波动方程及点的振动方程。坐标原点，重新写出波动方程及点的振动方程。xyAD9muyoAD5m9mu(1)波动方程为：波动方程为：3cos(4)5xyt 振动方程为：振动方程为：143cos(4)5Dyt (

17、2)5OAm 143cos(4)5Dyt x3cos 45xyt 53cos4 ()3cos(4)20oytt 8. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为轴正向传播，振幅为A=10cm，圆频率，圆频率 =7 rad/s，当，当t=1.0s时，时，x=10cm处的处的a质点的振动状态质点的振动状态ya=0，（dy/dt)a0；设该波波长；设该波波长 10cm，求波的表达式。，求波的表达式。20.7 sin(7)dyxtdt t=1.0s时时:20.10.1cos(7)0ay 20.1()0.7 sin(7)0adydt 20.20.1cos(7)0.05by 20.2()0.7 si

18、n(7)0bdydt 0.1cos(7)0.123xyt 22cos()0.1cos(7)xxyAtt解：9. 振幅为振幅为A，频率为，频率为 ，波长为，波长为 的一简谐波沿弦线传播，在自由的一简谐波沿弦线传播，在自由端端A点反射（如图），假设反射后的波不衰减。已知：点反射（如图），假设反射后的波不衰减。已知：OA =7 /8，OB = /2，在，在t = 0时，时，x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。求向负方向运动。求B点处入射波和反射波的合成振动方程。点处入射波和反射波的合成振动方程。OyxBA则反射波的表达式为则反射波的表达式为解：解：设入射波

19、的表达式为设入射波的表达式为)2cos(1xtAy227272cos 2)88yAtx驻波的表达式为驻波的表达式为 21yyy332 cos 2)cos()44xAt()tcos(Ayxt4200处，时，在B B点点( (x x= = /2)/2)的振动方程为的振动方程为: :tsinA)tcos()/cos(Ay244343222400得和由条件tyy 10. 一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为 A，频率为v, 速率为u. 求 (1) t=0时，入射波在原点o处引起质元由平衡位 置向位移为正的方向运动，写出波表达式 (2) 经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 写出反射波的表达式，

20、并求在x轴上因入射 波和反射波叠加而静止的各点位置。O Pux波疏波疏波密波密43解解: (1) 由已知条件可写出入射波在由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式点的振动表达式cos(2)2OyAt入入射波的表达式为入射波的表达式为2cos2 ()cos(2)22xyAtAtxu入(2) 设反射波的表达式为设反射波的表达式为2cos2 ()cos(2)xyAtAtxu反在在P点，入射波的相位为点，入射波的相位为23242t入反射波的相位为反射波的相位为2324t反Oux波疏波疏波密波密43P由由入反得得2 所以反射波的表达式为所以反射波的表达式为2cos(2)2yAtx反22coscos(2-

21、)2yyyAxt入反波节位置波节位置2cos0 x2(21),0, 1, 2.2xkk (21)4xk因此合成波的表达式因此合成波的表达式34x(21),14xkk 的整数 两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2- A1 例如左图：例如左图：23 yx 应用：应用：测定未知频率测定未知频率达到最大的次数达到最大的次数达到最大的次数达到最大的次数yxyx已知：已知：x =A cos t,求求 y=？)22cos(1tAy 例如左图：例如左图：21yx达到最大的次数达到最大的

22、次数达到最大的次数达到最大的次数yxyxA-AA-AxyO作业作业 5.10 11. 一质量为一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0时，位移时，位移x0= - 5.0 cm，且，且物体向负物体向负x方向运动，方向运动，试求：试求：（1）t = 0.5 s时物体的位移；时物体的位移；（2）t = 0.5 s时物体的受力情况；时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。

23、处的时间间隔。【解解】0.10mA2rad/s)T （1 1）由已知可得简谐振动的振幅）由已知可得简谐振动的振幅角频率角频率振动表达式为振动表达式为 0.10cosoxt (SI)0t 时0.10cos0.05mox 0.05 sin0o vx0.1O-0.050t 23o 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得 振动方程振动方程 0.1cos23xt t=0.5s时物体的位移时物体的位移? 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt （2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力时物体受到的恢复力? 由（由（1）得）得 0.0086NFkx 220.010.099km N/m(SI)

24、（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。x0.1O-0.050t 0.05153231st 第一次到达第一次到达x=5.0cm=5.0cm时的相位为时的相位为 53故故 第一次达到此处所需时间为第一次达到此处所需时间为 2230.67st连续两次到达连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为处的相位差为 2312、如图所示的振动曲线。求：、如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程）简谐振动的运动方程（2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由

25、b运动到运动到c的时间的时间 分别是多少分别是多少（3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度【解解】方法方法1 解析法解析法00012cos223Ax 0000sin0sin0vA 0cos()xAt0cos(52/3)0cx00sin(52/3)0v0t 原点：原点：5tsc点：点：2316方法方法2 旋转矢量法旋转矢量法（1）0t 0/ 2xA 00v 确定旋转矢量确定旋转矢量2356t16振动方程为振动方程为12cos()63xAtt-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由b运运动到动到c的时间分别是多少的时间分别是多少（3）状态）状态

26、d的速度和加速度的速度和加速度-A-A/2AA/2x/6a/3/32/6babats/61/6cbcbtssin0.4513dvAA 2222cos63m/s72daxAA 13.13.劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m，半径为半径为R的匀质圆的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的质心作谐振动。柱体的质心作谐振动。水平面水平面kc证明：证明：xcxo建坐标如图，建坐标如图，弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为222111const.222c