定积分的性质

1、对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.三、三、定积分的性质定积分的性质积分区间长度为积分区间长度为0证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且在下面的性质中，假定定

2、积分都存在，且不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小定积分的加法定积分的加法 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2定积分的数乘运算（定积分的数乘运算（k=2） bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(a

3、bc性质性质3 3abc当当 a , b , c 的相对位置任意时的相对位置任意时, 例如例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）定积分关于积分区间的可加性定积分关于积分区间的可加性dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx . 0)(lim)(10 iinibaxfdxxf 性质性

4、质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.性质性质5 5的推论：的推论：（2）设设M

5、及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6定积分的最大最小值不等式定积分的最大最小值不等式解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例2. 试证试证:.2dsin120 xxx证证: 设设)(xf,

6、sinxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)

7、(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即xyoab )( f使得以区间使得以区间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：说明说明:.都成立或baba 可把可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对积分中值定理对abxxfbad)(因

8、因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn注注 ：一个非连续函数未必能取到平均值一个非连续函数未必能取到平均值平均值平均值1/2 取不到取不到 badxxf，xfxfbaCf.0)()(,0)(,则则为为零零不不恒恒且且设设 证证.0)(,00 xfbax使使由由已已知知条条件件知知存存在在.0)()(lim,00 xfxfbaCfxx由由例例3. 0)(,0 xfdcbadcx，上上使使在在的的区区间间存存在在一一个个含含由由保保号号性性知知 bddccabadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()( )( )()0,dcf x dxfdc ,dc 其其中中;,)(

9、,0)(,0)(,)1(上上恒恒为为零零在在则则且且设设baxfdxxfxfbaCfba 由例由例3,易得易得 babadxxgdxxf，xgxfxgxfbagf.)()()()(),()(,)2(则则等等于于不不恒恒且且设设 eedxxxdx121.)(lnln的的大大小小与与比比较较积积分分例例4解解1ln0 , 1 xex时时2)(lnlnxx ,)(lnln2不不恒恒等等与与但但xx.)(lnln121 eedxxxdx例例5解解:设设, )1ln()(xxxf则则xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd

10、1010 1010.)1ln(的的大大小小与与比比较较积积分分dxxxdx解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f . 6 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小小结小结思考题思考题 定定积积分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 或或)()

11、(xgxf在在,ba上上也也可可积积。这这一一性性质质之之逆逆成成立立吗吗？为为什什么么？思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxf0, 1)( 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxg1, 0)(显显然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可积积，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可积积。例例一一、 填填空空题题：1 1、 如如果果积积分分区区间间 ba ,被被点点c分分成成 bcca,与与，则则定定积

12、积分分的的可可加加性性为为 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 如如果果 baxf,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值分分别别为为Mm与与，则则 abdxxf)(有有如如下下估估计计式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 时时当当ba ，我我们们规规定定 badxxf)(与与 abdxxf)(的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 积积分分中中值值公公式式 bad

13、xxf)()(,)(baabf 的的几几何何意意义义是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性

14、质求极限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则 在， 则 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒恒等等于于，则，则 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfd