定量分析方法第9章(201309)

1、产品产品投入投入限量限量设备设备128台时原材料原材料A4016kg原材料原材料B0412kg12xx、1228xx12416412xx12xx、1223zxx12max23zxx12121228416412,0 xxxxx x12,nx xx1 122max(min)nnzc xc xc x11 11221121 1222221 12212( , )( , )( , ),0nnnnmmmnnmna xa xa xba xa xa xba xaxaxbx xx 对策的三要素：u 局中人：有权决定自己行为方案的对局参加者称为局中人。u 策略：对局中一个实际可行的方案称为一个策略。u 赢得矩阵（支

2、付）：当每个局中人在确定了所采取的策略后，其策略组合就形成一个局势，并产生确定的收益或损失称为赢得（支付）。赢得与局势之间的对应关系称为赢得（支付）函数。 根据参加对策的局中人的数目，可以将对策分为二人对策和多人对策，局中人为二人的称为二人对策。 根据局中人可供选择的策略的有限或无限，可将对策分为有限对策和无限对策。 根据各局中人赢得值的代数和（赢者为正，输者为负）是否为零，将对策分为零和对策与非零和对策。 设两个局中人为I、II，局中人I有m 个策略： ；用S1表示这些策略的集合： 同样，局中人II有n个策略： ,用S2表示这些策略的集合： 12,m 12,n 112,mS 212,nS 局

3、中人I的赢得矩阵是：局中人II的赢得矩阵是 。把一个对策记为 。12,;GS SATA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 在局中人I设法使自己的赢得尽可能大的同时，局中人II也设法使局中人I的赢得尽可能小。 所以局中人I应首先考虑用 策略所能赢得的最小，然后在这些最小赢得中选择最大。局中人I可以保证赢得同样，局中人II可以保证局中人I的赢得不超过 maxminijjiaminmaxijjia1、混合策略定义定义7-1：对给定的矩阵对策若等式成立，则称这个公共值为对策G的值，记为VG，而达到的局势 称为对策G在纯策略意义下的解，记为而和分别称为局中人I和局中人II的最优纯策

4、略。12,;GS SAmaxminminmaxijijjjiiaa(,)ij *(,)ij*i*j定理7-1：矩阵对策在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在一个局势 ，使得对一切 均有 12,;GS SA*(,)ij1,2,1,2,im jn* *iji ji jaaa定理7-1表明矩阵对策有解的充分必要条件是在A中存在元素 是其所在行中最小的同时又是其所在列中最大的。这时 即是对策值，因此 也称为“鞍点”，而 为对策的解。12,;GS SA* *i ja* *i ja* *i ja*(,)ij 对矩阵对策 而言，局中人I有把握的至少赢得是 ，局中人II有把握的至多损失是 。局中人I的赢得不

5、会超过局中人II的损失，即总有 。 仅当 时，矩阵对策G存在纯策略意义下的解，且 。但实际更多的情况是 ，此时不存在纯策略意义下的解。ijji1aminmaxv ijij2amaxminv 12,;GS SA12vv12vv12GVvv12vv例如，假设赢得矩阵为：4563A1, 5amaxminv*ijij2j2, 4aminmaxv*ijji1i 对两个局中人来说，不存在一个双方均可接受的平衡局势，对策没有纯策略意义下的解。一种较合乎实际的想法是给出一个选取不同策略的概率分布。定义7-2:对给定的矩阵对策其中 把纯策略集合对应的概率向量 其中 和 其中分别称为局中人I和局中人II的混合策略

6、。12,;GS SA112,mS 212,nS ()ijm nAa12( ,)mXx xx01iixx12(,)nYy yy01jjyy如果局中人I选取的策略为局中人II选取的策略为 ，则期望值称为局中人I的期望赢得，而局势（X，Y）称为“混合局势”，局中人I，II的混合策略集合记为 。12(,)mXx xx12(,)nYy yy(, )TiijjE X Yx a yXAY *12,SS定义7-3:设 是对策G的混合扩充，如果有则称这个公共值为对策G在混合意义下的值，记为 ，而达到 的混合局势 称为对策G在混合策略意义下的解，而 和 分别称为局中人I，II的最优混合策略。*12,;GSSE*2

7、211maxmin(, )minmax(, )Y SY SXSXSE X YE X Y*GV*GV*(,)XY*X*Y定理7-2：任意一个给定的矩阵对策在混合策略意义下一定有解。 矩阵对策的解可能不只一个，但对策值是唯一的。 2、优超原则 在局中人I的纯策略中，假设存在 和 ，如果对局中人II的一切纯策略，都有 ，即局中人I的赢得矩阵的第l行元素不小于第k行对应的元素，则局中人I的纯策略 优于 ，局中人I选择 的概率为零，可以去掉赢得矩阵的第k行。 同理，在局中人II 的纯策略中，假设存在 和 ，如果对局中人I的一切纯策略，都有 ，则局中人II的纯策略 优于 ，局中人II选择 的概率为零，可以

8、去掉赢得矩阵的第k列。k1kjijaa1kkk1ikilaa1kk例7.4.3：设某矩阵对策的赢得矩阵为388065 . 57864959379520503023A试利用优超原则简化该矩阵。解：经4步后最终可化为二阶矩阵64374A3、没有鞍点的矩阵对策的解法 2*2 矩阵对策的公式解法定理7-3：对给定的矩阵对策如果A无鞍点，则局中人I的最优混合策略 ，局中人II的最优混合策略 和对策值 由下列公式给出：令 122*2,;,()ijGS SAAa*12(,)Xxx*12(,)Yyy*GV11221221Daaaa*1222121112*122122112111221221()/()/()/(

9、)/()/GxaaDxaaDyaaDyaaDVa aa aD上述公式来源于以下两个方程组：0 x,x1xxVxaxaVxaxa2121G222112G2211110y,y1yyVyayaVyaya2121G222121G212111在人们的日常生活或企业组织的经营管理中，经常会遇到一些决策问题，它包括下列要素：1、自然状态，描述了决策问题所处的各种状态；2、行动方案，解决决策问题，决策者可采取的行动；3、后果，是决策者采取了某一行动方案后可能获得的结果；4、效能，是客观结构在决策者心中的价值。决策问题通常有两种描述和解决方法，一种是决策矩阵法，一种是决策树方法。状态概率状态方案决 策12imA

10、AAA12jnSSSS12()()()()jnP SP SP SP S1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa益损期望值E(A)12imEEEEAAAA maxrE AAE(A)叫做决策空间；12,nSS SS叫做状态向量；12(), (), ()nP SP SP S同样设有m个行动方案A1,A2,Am，写成集合为12,mAA AA对风险型决策问题，假定它们是随机变量，其发生的概率分别用 表示，由于发生这类事件的可能性是相互排斥的，又是相互独立的事件，故有表中主要部分是在各自然状态下决策者采取行动方案的后果。12()()()1nP SP

11、SP S 决策树是一种形象的说法，如下图所示。它所伸出的线条像大树的树干和树枝，整个图形就像一棵大树。自然状态点自然状态点13决策点概率枝概率枝概率枝结果点结果点结果点结果点方案分枝方案分枝修枝概率枝 图中左边的方块叫决策点，由它画出若干线条，每条线代表一个方案，叫方案分枝。方案分枝的末端画个圆圈，叫做自然状态点。从它引出的线条代表不同的自然状态，叫概率枝。在概率枝的末端画个三角，叫做结果点，在结果点旁，一般列出不同自然状态下的收益或损失值。决策树的画图是从左至右逐步完成的。 应用决策树来作决策的过程，是从右至左逐步后退进行分析的。根据右端结果点旁的益损值和概率枝上的概率，计算出每个自然状态点

12、上的益损期望值，然后根据不同方案分枝末端的益损期望值结果作出选择。方案的舍弃叫做修枝，被舍弃的方案用在方案分枝上做“ ”的记号来表示（即修剪的意思）。最后在决策点留下一条方案分枝，即为最优方案。决策树法的优点 （1）可以构成简单、明了、清晰的决策过程，使决策者有步骤、有顺序地进行决策； （2）直观、形象，可使决策者以科学的逻辑推理去周密地思考各种有关因素； （3）便于集体决策，集思广益，集中群众智慧和统一不同意见，同时也很适合于向上级领导机关汇报决策过程和结果。在风险决策问题中，自然状态的发生概率一般是根据过去的资料和经验估计的，其估计结果是否准确直接影响着决策效果。概率估计的准确程度取决于所

13、掌握情报资料的多少和详细程度，但是为了获取情报，需要进行调查研究等活动，要消耗人财物力。因此需要权衡是否需要再作调查或试验，以及需要投入多少人力和财力去获取新的情报。这是一类复杂的决策问题，涉及统计决策中的先验概率和后验概率。贝叶斯决策法就是运用概率论中的贝叶斯定理解决这类问题的方法。贝叶斯决策是在已知自然状态先验概率的情况下，通过抽样调查，利用贝叶斯公式修正先验概率，进而取得后验概率，并据此进行决策的。 设A、B为两个随机事件，它们发生的概率分别为P(A) 、P(B)， P(AB)表示A、B同时发生的概率。 所谓条件概率是指在事件B发生的前提（条件）下，A发生的概率，记为P(A|B)。()(

14、|), ()(|)( )( )P ABP A BP ABP A BP BP B()(|), ()(|)( )( )P ABP B AP ABP B AP AP A或而根据全概率公式11( )(|) ()()nniiiiiP AP A B P BP AB可以得到贝叶斯定理表达式：1(|) ()(|)(|) ()ijjjinijjjP A B P BP BAP A B P B 上式说明，已知事件 发生的概率和 发生条件下 发生的概率，就可以求得在事件 发生的前提下， 发生的概率。jBjBjBiAiA对完全不确定型决策问题，获得了有关情报资料后就易于把问题转化为风险型决策问题。而对于风险型决策问题，

15、获得的情报（信息）越多，对自然状态发生概率的估计就越准确，作出的决策就越合理。但为了获得情报，就要进行调查、试验等工作，这需要支付一定费用。因此，为了权衡得失，有必要估算情报本身的价值。在多目标决策问题中，由于不能简单比较两个解的优和劣，所以就有劣解和非劣解两个重要概念。现用一直线坐标描述 和 两个目标（极大化）的大小，得到5个点（见9-1图），显然点都比点为优，故为劣解，在多目标决策中应舍去。而三点各有一个指标优越，故不能舍去，称之为非劣解，也叫有效解。处理多目标决策问题，要先找出非劣解，然后再按一定规则从中选取满足要求的，作出最后决策。1f2f图9-1 多目标决策1、以少胜多的方法“以少胜

16、多”的主要目的是将多目标化成单目标问题处理，目前主要有以下几种方法：（1）主要目标法。通过对实际问题的分析，抓住其中一两个主要目标，让它们尽可能优化，而其他指标只要满足一定要求即可。这种方法比较有效。（2）线性加权法。若有m个目标 ，分别给以权系数 ，然后作新的目标函数（也称有效函数） 。这种方法的难点是如何找到合理的权系数，使多个目标用同一尺度统一起来，同时所找到的最优解又是向量极值的好的非劣解。1( ),( )mf xfx(1,2,)iim1( )( )miiiU xf x2、层次序列法由于同时处理m个目标比较麻烦，故可采用层次序列法。层次序列法的思想是把目标按其重要性给出一个序列，分别为

17、最重要目标、次要目标等。设给出的重要性序列为 ，下面介绍逐个求最优化地序列最优化。首先对第一个目标求最优，并找出所有最优解的集合记为 ,然后在 求第二个目标的最优解，记这时的最优解集合为 ，如此等等，一直到求出第 个目标的最优解 ，其模型如下：该方法有解的前提是 非空，同时 都不能只有一个元素，否则很难进行下去。1( ),( )mf xfx0R0R1Rm0 x0011()max( )x RRf xf x10022()max( )x RRfxfx120()max( )mmmmx RRfxfx011,mR RR012,mR RR1、Precision Tree软件 PT软件是作为Excel的“add-in”运行的，它链接到Excel并为其提供决策分析能力，