任意角和弧度制(共2课时)

1、角角1.1.角的定义角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形. .A AOB B始边始边终边终边顶点顶点角是平面几何中的一个基本图形，角是角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的可以度量其大小的. .在平面几何中，角的在平面几何中，角的取值范围如何？取值范围如何？ 003600但在实但在实际问题际问题中还会中还会遇到其遇到其他角他角探究一：角的形成结果；探究一：角的形成结果；在齿轮传动中，被动轮与主动轮是在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的按相反方向旋转的.一般地，一条射线

2、绕其端点旋转，既可以一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所度所形成的角是否相等？形成的角是否相等？如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到常常听到“转体转体108010800 0”、“转体转体126012600 0”这样这样的解说因此，仅有的解说因此，仅有0 0360360范围内的角范围内的角是不够的是不够的角的形成过

3、程角的形成过程规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角，按，按顺时针顺时针方向旋转形成的方向旋转形成的角叫做角叫做负角负角如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角零角. . .角的方向角的方向度量一个角的大小，既要考虑度量一个角的大小，既要考虑旋转方向旋转方向，又要，又要考虑考虑旋转量旋转量，通过上述规定，通过上述规定，角的范围就扩展到角的范围就扩展到：任意大小任意大小.B B2 2A AB B1 1O O 对于对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？图的

4、要点吗？ 000660,150,210画图表示一个大小一定的角画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题问题1： 钟表经过钟表经过4小时，时针与分针各小时，时针与分针各转转 (填度填度). 问题：如果你的手表慢了问题：如果你的手表慢了2020分钟，或分钟，或快了快了1.251.25小时，你应该将分钟分别旋转小时，你应该将分钟

5、分别旋转多少度才能将时间校准？多少度才能将时间校准？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .探究二：探究二：象限角象限角 思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy象限角象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第

6、轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为任何象限，或称这个角为轴线角轴线角.那么下列各角：那么下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo问题：问题：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限象限角只能反映角的终边所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能

7、反映角的大小. 问题问题2：锐角是第几象限的角？第一象限的角锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？ 思考：思考：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的角的终边在什么位置？终边在该位置的角一终边在什么位置？终边在该位置的角一定是定是135135吗？吗？xyo探究三：探究三：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o3280003603232800036032392与与32角终边相同的角有多少个？

8、角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与32角在数量上相差多少？角在数量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考2 2：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S吗？吗？ S=|=S=|=k360k360，kZkZ，即任，即任一与一与终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考3 3：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示

9、？样表示？ Zkk,3603200 129 1294848，第二象限角，第二象限角. . 300 300，-60-60. .例题分析例例1在在0360范围内，找出与范围内，找出与95012角终边相同的角，角终边相同的角，并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角. 例例2求与求与3900终边相同的最小正角和最大负角终边相同的最小正角和最大负角. 例2: 写出终边在Y轴上的角的集合 分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyo

10、xyo 所以,终边在Y轴上的角的集合为12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180 ,nnZ xyo巩固与提高 写出终边在X轴上的角的集合 写出终边在坐标轴上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900 xyoxyo,360zkk,36090zkk小结小结1:1:终边在轴线上的角的集合终边在轴线上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000例例4用集合

11、的形式表示象限角用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为第一象限的角表示为第二象限的角表示为第二象限的角表示为第三象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为第四象限的角表示为 |k 360 k 360 +90 ，（，（k Z） |k 360 +90 k 360 +180 ，（，（k Z） |k360+180k360+270，（kZ） |k360+270k360+360，（kZ） 或|k36090k360，（kZ） 小结小结2 2：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|k360S=|k3600 090900 0

12、k360k3600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k360k3600 01801800 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k360k3600 02702700 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k360k3600 0k360k3600 0，kZ.kZ.小结作业小结作业1.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值角的概念推广后，角的大小可以任意取值. . 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条

13、终边与之对应，给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义并使得角具有代数和几何双重意义. .2.2.终边相同的角有无数个，在终边相同的角有无数个，在0 0360360范范围内与已知角围内与已知角终边相同的角有且只有一个终边相同的角有且只有一个. . 用用除以除以360360，若所得的商为，若所得的商为k k，余数为，余数为（必须是正数），则必须是正数），则即为所找的角即为所找的角. . 弧度制弧度制一）问题的提出 1、度量角的方法度分秒制把圆周角分为360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角.2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应. 当半径不同时

14、，同样大的圆心角所对的弧长不相等. /0024446 .35计计算算：/0/024443635080半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当当n=300时时练习练习:当当n=600时呢时呢?可以计算弧长可以计算弧长L=180rn6632236663rL3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.Rl642-2-4-6-8-10-10-551015终边终边始边始边半径弧长弧长半径136.632.094.982.38O拖动点增减角的大小拖动点增减角的大小A642-2-4-6-8-10-10-551015终边终边始边始边半径弧长弧长半径136.633

15、.418.142.38O拖动点增减角的大小拖动点增减角的大小A称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢?二、1弧度角的定义弧度角的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。弧度的角。1弧度弧度单位符号是 rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.三）弧度数1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2，所以周角的弧度数为2，周角是2rad 的角.2、任意一个003600的角的弧度数必然适合不等式 0 x2.3、任一正角的弧度数都是一个正实数； 任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 弧度制下的角与实数之间的

16、关系是怎样的呢?Rl4、用弧度来度量角，实际用弧度来度量角，实际上上角的集合角的集合 与与实数集实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：实数集实数集R R角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数对应角的对应角的弧度数弧度数角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 用用“弧度弧度”与与“度度”去度量每一个去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算的结果，二者就可以相互换算 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，其弧度数是，而在角度制里它是，2360rad2360因此 rad2360因为 1度角等于多少弧度？度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？弧度角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度度把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键180把化成度把化成度例2rad5414418054rad54解：角度弧度0601201352704265230写