二重积分的计算 (3)

1、 关于二重积分的计算 (3)现在学习的是第1页，共32页 一、在直角坐标系下计算二重积分一、在直角坐标系下计算二重积分bxaxyxD)()(:21则称则称D为为 X 型区域型区域. )(1xy)(2xyxboyDax1 1先对先对 , ,后对后对 的二次积分的二次积分yx若积分区域若积分区域 可以表示为可以表示为D 当当 时时, ,则则 的值是以的值是以 为底为底, , 以以 为曲顶的曲顶柱体体积为曲顶的曲顶柱体体积0),(yxfDdyxf),(D),( yxfz现在学习的是第2页，共32页 xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为DyxfVd),(

2、yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD由第五章中由第五章中“平行截面面积为已知平行截面面积为已知的立体体积的立体体积”的分析过程的分析过程:现在学习的是第3页，共32页 我们常将上式写成我们常将上式写成2.2.先对先对 , ,后对后对 的二次积分的二次积分 Ddyxf),()()(21),(xxbadyyxfdxxy若积分区域若积分区域 可以表示为可以表示为DdycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdoc则称则称 D 为为 Y 型区域型区域. 则其体积

3、可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 dcyyDdxdyyxfdyxf)()(21),(),()()(21),(yydcdxyxfdy现在学习的是第4页，共32页 oxy说明说明: : (1) (1) 若积分区域既是若积分区域既是X X 型区域又是型区域又是Y Y 型区域型区域 , , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复

4、杂,可将它分成若干可将它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD则则 现在学习的是第5页，共32页 例例1.1. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.现在学习的是第6页，共32页 例例2.2. 计算计算

5、 其中其中 ( (如图如图) )是抛物线是抛物线 及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域,DxydD2xyxyx11xy 2xy yoD解法解法1 1：若将：若将 看成是看成是 型区域型区域, , 可表示为可表示为 . .则则DXDxyxx2, 10Dxydxxxydyx210d10221d2xyxxx1053d)(21xxx01642164xx241现在学习的是第7页，共32页 解法解法2:2:若将若将 D D 看成是看成是 型区域型区域 D D , ,可表示为得可表示为得Yyxyy, 10Dxydyyxydxy10d10221dyxyyy102d)(21yyyy01432143yy24

6、1现在学习的是第8页，共32页 例例yyxxdsind1012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1 , 1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0二重积分的计算法二重积分的计算法现在学习的是第9页，共32页 y

7、yxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0二重积分的计算法二重积分的计算法现在学习的是第10页，共32页 例例3.3.化化 为二次积分为二次积分, ,其中其中 为为 、 轴和轴和Ddyxf),(D32xy x1) 1()2(22yx2xyDx32xy1) 1() 2(22yx2xo解：所围区域解：所围区域 为为 型区域型区域, , DY所以所以:D, 10y22322yyxyDdyxf),(10d y22322),(yyydxyxf所围

8、图形所围图形现在学习的是第11页，共32页 例例4 4 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解：如图解：如图, , 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: :,020:2211xyxD2280222:xyxD822 yx2D2221D221xy 2将将 视为视为Y Y型区域型区域, ,则则:D21DDD, 20 y282yxyDyxyxfIdd),(20dy282d),(yyxyxf现在学习的是第12页，共32页 例例axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式= xyxfd),(交换积分次序：交换积分次序： axxaxay

9、yxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2a二重积分的计算法二重积分的计算法xyOaa2aa2ayx22 现在学习的是第13页，共32页 交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出相应的将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;二重积分的计算法二重积分的计算法现在学习的是第14页，共32页 1990 年研究生考题年研究生考题, 填空填空,

10、3分分)(dd2202 yexxy)1(214 exy xoy22解解yexxydd2202 xeyyydd0202 yyeyd202 )(d212202yey )1(214 e二重积分的计算法二重积分的计算法交换积分次序交换积分次序 200d2yxeyy现在学习的是第15页，共32页 例例5.5.求两底半径为求两底半径为R R的直交圆柱所围成的立体体积的直交圆柱所围成的立体体积解：设两柱面方程分别为解：设两柱面方程分别为 222222RzxRyx， 由对称性由对称性, , 所求立体体积为其在第所求立体体积为其在第 一卦限部分体积的一卦限部分体积的8 8倍第一倍第一卦卦限部限部 分分( (如图

11、如图) )的底面区域为：的底面区域为： 220 ,0:xRyRxD曲顶为：曲顶为： 22 xRzzaaaoyx所以所以dxdyxRVD228dyxRdxxRR22022083330222316)31( 8)(8RRRdxxRR现在学习的是第16页，共32页 二重积分的计算法二重积分的计算法2002 年研究生考题年研究生考题, 7分分计算二重积分计算二重积分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D设设, 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 2

12、22dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 e xxyex010)dd2(2或或现在学习的是第17页，共32页 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 计算积分计算积分xexyd 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.yexyd x2x xd I211二重积分的计算法二重积分的计算法112141xy 2xy 21Oxy现在学习的是第18页，共32页 简便简便为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角为此只要我们找到极坐标系下二重积

13、分与直角坐标系下二重积分的关系坐标系下二重积分的关系, , 就可以在极坐标系下讨论就可以在极坐标系下讨论二重积分二重积分 的计算。的计算。Ddyxf),( 若积分区域若积分区域 是与圆域有关的区域或者被积函数为是与圆域有关的区域或者被积函数为 D )(22、yxf )(、xyf)(xyf 等形式等形式, ,用极坐标计算二重积分更用极坐标计算二重积分更 首先找两坐标系下面积元素的关系。如图首先找两坐标系下面积元素的关系。如图, ,极坐标极坐标系下系下, , 设积分区域被网格（由一族同心圆设积分区域被网格（由一族同心圆( ( 常值常值) )与与一族过极点的射线一族过极点的射线( ( 常值常值) )

14、组成组成 ）分割成若干个小区）分割成若干个小区r二、在极坐标系下计算二重积分二、在极坐标系下计算二重积分现在学习的是第19页，共32页 iir域域, , 任取一个任取一个（其中（其中 介于介于 ， 之间，之间， 介于介于 riirri， 之间之间)，则，则iiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(iiirrAoiirr iirrriiiD其中其中 为为 与与 的平均值。由此当的平均值。由此当 充分小时充分小时，极坐标系下的面积元素，极坐标系下的面积元素 .iririirriir,rdrdd现在学习的是第20页，共32页 其次其次, , 直角坐标系与极

15、坐标系有如下变换关系直角坐标系与极坐标系有如下变换关系sincosryrx最后最后, , 两坐标系下积分区域两坐标系下积分区域 形状不变，因此有形状不变，因此有D.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算DAo)(1r)(2rADo)(1r)(2rADo)(2r0)(1r现在学习的是第21页，共32页 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设设,)()(:21rD则则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(

16、0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD现在学习的是第22页，共32页 Ddxdyyxf),(,11 :2xyxD10 x例例6 6. .写出写出极坐标系下的二次积分极坐标系下的二次积分, ,其中其中 . .解：由极坐标系下圆解：由极坐标系下圆 的方程的方程122 yx1r1 yxcossin1r则则 可表示为：可表示为：D ,201cossin1r为为 ,直线直线 方程为方程为 .则则Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd xoy1D1122yx1 yx现在学习的是第23页，共32页 例例7.7.将将 化成二次积分，其中化成二次积分，其中 . .

17、 .D ),(dxdyyxfxyxD2 :22yxoD2解：解：D 与圆域有关与圆域有关, , 考虑用极坐标展开考虑用极坐标展开 D,22cos20 r在极坐标系下在极坐标系下 ：. 所以所以cos2022D.)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD特别地特别地, , 积分区域积分区域 , ,如图如图, ,则表为则表为)(0 ,20rDoA)(r于是于是Drdrdrrf)sin,cos()(020)sin,cos(rdrrrfd现在学习的是第24页，共32页 例例8.计算计算 ，其中，其中 是由圆心在原点，半径是由圆心在原点，半径dxdyeDyx22Da为为 的圆周所围成的闭区域

18、的圆周所围成的闭区域. .解：极坐标系下解：极坐标系下 ： ,故有故有 Dar 0 ,20dxdyeDyx22arrdred0202).1 (2aeoyx321D2D 此题若用直角坐标来计算此题若用直角坐标来计算, , 由于积分原函数不易由于积分原函数不易 表示而无法求出表示而无法求出, , 可见极坐标在某些情况下确实能可见极坐标在某些情况下确实能 化简运算。化简运算。例例9. .计算计算 .D:D , 3dxdyxyI122yx 解：如图解：如图,直线直线 把圆分成把圆分成 ，03 xy1D2D, 10 323 :1rD，10 3532 :2rD，现在学习的是第25页，共32页 则则2133

19、DDdxdyxydxdyxyI1023532102323 cos3sincos3sindrrddrrd.38cossin3cossin3313235332现在学习的是第26页，共32页 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD现在学习的是第27页，共32页 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DD