数学教案人教版八升九-1二次根式的性质与运算

1、第一讲二次根式的性质与运算教学内容动态数学思维暑期衔接版，八升九第一讲“二次根式的性质与运算”教学目标知识与技能1. 掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围2. 理解二次根式的双重非负性.3. 理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行化简计算数学思考在研究二次根式性质的过程中， 建立符号意识， 独立思考， 体会类比、 分类讨论的思想方法 问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力情感态度1. 通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界2. 通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.教学重点、难点重点：二次根式的概念与性质.难

2、点：二次根式的概念的理解及性质的运用教学准备动画多媒体语言课件第一课时教学路径导入：师：同学们好，今天是暑期的第一次课，大家能在这么炎热的天气中来这里学习， 肯定是做好了心理准备，为明年的中考开始提前奋斗了，我们大家一起努力加油！ 首先老师自我介绍，并对暑期教材进行简单介绍暑期前十讲的内容主要是对春季所学知识的一个综合提高，也就是复习，在复习的 过程中，综合运用知识，提高对春季知识的认识和综合解题能力 后面五讲的内容是 对九年级上册一元二次方程的学习好了，现在我们就进行我们暑期第一讲的学习 大家还记得登鹳雀楼这首诗吗？启动性问题出现图片，然后一字一字出现文字提出问题：这是唐代诗人王之涣的一首五

3、言绝句，全诗仅二十字，气势万千，心胸开阔，诗句常为后人引用，如果从数学角度分析，这鹳雀楼需要有多高，诗人在楼 上极目远眺，才能看到千里之远呢？方案说明欲穷白日依山尽，黄河入海流。建立模型给出已知条件：1如图，设楼高为 h 千米，地球的半径为 R,远眺的距离为r *2Rh千米;21 千里=500 千米；3每层楼按 3 米计算；4地球的半径 R 6400 千米.根据这些已知条件你能计算出这鹳雀楼需要有多高了吗? 出示小亮每层楼按 3 米计算，则鹳雀楼应有（19.5X1000）十 3= 19500- 3= 6500（层）.按着小亮的计算，王之涣若在楼上能看到千里之远，则此楼应有 6500 层，显 然

4、，这是不可能的.文学源于生活，但却高于生活.诗人在这里应用了夸张的手法，“千 里”并非是一个准确的数量，不过表示登高可以望得更远一些而已！师：诗人运用夸张的手法告诉我们：想要看得更远，就要站得更高.我们的学习也是一样的道理，想要学习得更好，我们就要站在更高的角度去看待问题，去探究问题 的实质，不仅做到会解题，还要知道为什么要这样解答 .文中有一个2Rh这是一个 二次根式，那么关于二次根式的相关知识都有哪些呢？来看看我们的知识回顾.小亮：由r，2Rh得r22r2Rh. h 2R50022 640019.5 （千米） .回顾:1.二次根式的概念定义：一般地，我们把形如_、a_ （a 组）的式子叫做

5、二次根式，符号“ 厂”称 为二次根号（下一步）2.二次根式的性质（1） a （a%）是一个非负数;(2) (a) 2= a (aX);3.二次根式的乘法4.二次根式的除法5.积的算术平方根的性质vab =_ ag b_（aX）,bX）.（ 下一步）6.商的算术平方根的性质7.最简二次根式（1） 被开方数不含分母；（2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式8.二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式 根式进行合并.师：回忆完概念后，我们来正式学习本节课.(3) Ja2|a|aaa（a0）0）.（下-步）ag b(a%, b

6、X).(下一步)aa0).下一步）(aX),b0).(下一步).（下一步）,再将被开方数相同的二次初步性问题探究类型之一二次根式有意义的条件例 1 若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（）x 1A. xHB. x0 C. x0 D. x 为 且 xH框住字体变色，动画依次出解析解析：分式中分母不能为 0,二次根式的被开方数大于等于 0. 下一步x 10列不等式组：x 1 0,解得 x 0 且 xH1.x 0.答案：D1. 学生独立完成此题.2. 教师指定中等程度学生讲解，并总结解决此类题的方法.重点让学生说出：分式中分母不能为 0;二次根式被开方数大于等于 0.3. 教师出示解析答案并小结

7、，并鼓励讲解的学生.师：这类型题目只要我们牢牢记住两点：(1) 二次根式的被开方数是非负数；(2) 分式的分母不为 0.师：那么类似性问题第 1 题，你能独立解决了吗？快点去试一试吧！类似性问题I-1.使代数式4 x有意义的 x 的取值范围是()x 1A.XH1B.XV4 且 XH1C.xN 且 xHD.x 詔且XH1学生独立解答此题并集体核对答案.4 x解析：x 1解得心且xH1.2.化简1 x1 x的结果是()A.21 xB.-21 xC.0D.无法化简学生独立完成此题，集体核对答案.1解析：由二次根式的非负性可知x 0,即1x 0,所以 1+x= 01 x 0,(1 x) 0,师：这种基

8、本的题型看来对同学们来说都是小菜一碟了，接下来的这道题目可没那 么容易了，我们一起来看下例 2 吧！初步性问题探究类型之二二次根式的性质例 2 如果 x a a x （a0），那么|寸 a1 2 3 4 52ax x27a22axx2=（）由 |x- a|= a- |x 可知 a x 0，即 x a， a x a ；（下一步）a22ax x2Ea22ax x2框住并变色珅 a2- 2ax + x2- Ja2+2ax +x2= y（a- x）2- J（a + x）2= a - x|- a + x = （ a-x） -（ a+x）=-2x答案：D2 指定学生审题，并说说二次根式有哪些性质，由此你得

9、到哪些结论？生：二次根式具有非负性，由此我知道|x0，也就是 a 0.师：很好，你注意到了一个隐含的条件“二次根式的非负性”，并得到了这个关系， 那么根据你得到的这个关系，你能发现 x 与 a 的关系吗？生:a x a.（教师此时出示解析第一步，确定学生的想法是正确的，并给予鼓励.）师：你还有什么发现吗？生：我发现后面式子每个根号里面的都满足完全平方公式.师：那你就赶快化简解决此题吧.3 学生同桌合作讨论化简，并计算最后的结果.A. 2a B. 2x C.- 2a D.- 2x解析：x a x 框住并变色4 指定学生上台书写自己的化简过程，其他学生指正.（学生补充完后教师出示解析第二步核对）师

10、：谁来总结下这道题中我们都用到了哪些知识点？5 学生总结本小题考察的知识点.学生说出前面两点即可.师：掌握了这些知识，你能独立解决下面的问题吗?3.等式（ba)2x（b a） x 成立的条件是（)A. abx0B.at，xOC. abx0D.at，xO学生独立完成此题 .解析：由二次根式的非负性可知(b a)2x (ba) x 为，故 b-a0，即 a0）来确定 x 的取值范围.答案：框住（1）并变色x 30解：（1）根据积的算术平方根的性质可知X 3 0，解得 xX.x 3 0,下一步 框住（2）并变色1212(x)2+ 4 二(x+1)2,xx下一步(x+ 1 )2 4= (xI)2,xx

11、/ 00, x 0.xx原式=x+1- (1 x) =2x.x x例 2.当 a0, b0 时，一 a+ 2 压 b 可变形为 (CA.仁a b)2B. (一a、b)2C. (.a、一b)2解析：框住第 1 个Ia0,b 0, b 0, 下一步i a=(.：a)?, b=(、.b)2,0)-答案：【类似性问题】1. D2. C3. C4. A5. 5所以 3x+2y=3X2+2X5=16，故 3x+2y 的平方根是 4.7.解：x 6_x_6、9 x 9 x，又 x 为奇数， x=7. 1 2x x2. 3x 1 = , (1 x)23x 1=X(1 7)2、3 7 1=8+2 .5.手册答案

12、1. B2. C3. C4. A5. C6. B6.解：根据题意得2x y 9x y 30,2,5.= 1-7.(1)5a、.a(2)卫(3)空(4)2 3(5)(6)仝510a308.a、a9. 810. x11. 3ab12. 解： cvav0vb,.原式=Ib- a|-|b|+|c- b|-|a- c|=b- a- b-(c- b)-(a- c)=b- a- b- c+b- a+c= -2 a+b.13. 解：(也)bb12o0,解得 a 12.(2)当 a=2, b=1 时，11111Lab(a1)(b 1)(a2)(b 2)(a2015)(b 2015)1111L1 22 3342016201711 11111：1L22 3342016201712017=20162017x 0= 1-（2）根据商的算术平方根的性质可知* * x 0，解得 x5.x 5 0,7.已知 x 为奇数，且6；6,求 2x x2V3x1 的值.解析：根据商的算术平方根的性质可知x 6 0,解得 6wx9;（下一步）9x0,又 x 为奇数，所以 x=7.例 7 设2=a,晅=b,用含 a, b 的式子表示J0.54，则下列表示正确的是（）A