北师大课件数列递推性例话

1、1序序 曲曲函数族中特殊类函数族中特殊类数列列数能排队数列列数能排队自然编号有座位自然编号有座位前后跟随可递推前后跟随可递推2数列与递推数列与递推问：问：数列是函数吗？数列是函数吗？ 答：答：定义在自然数集定义在自然数集N上，函数式为上，函数式为 an= f (n)问：问：有何实际意义？有何实际意义？答：答：数列的每个函数值，都按自然数序号排了座位，前后间的数列的每个函数值，都按自然数序号排了座位，前后间的邻居关系非常清楚，知道了前面的一个数，就可知道它的后面邻居关系非常清楚，知道了前面的一个数，就可知道它的后面数是谁数是谁. 因此数列有因此数列有“递推关系递推关系”：an+1= f (an

2、). 问：问：一般函数有这关系吗？一般函数有这关系吗？21x答：答：没有！如一次函数没有！如一次函数 y = x，你知道，你知道 后的紧跟数是谁！后的紧跟数是谁！3数列与递推基础数列与递推基础一一 等差与递比数列都是递推数列等差与递比数列都是递推数列二二 一次式递推一次式递推an+1=kan+b三三 四四 五五 六六 七七 八八 递推式与数学归纳法递推式与数学归纳法41、等差数列是递推数列、等差数列是递推数列【定义】【定义】 一个数列一个数列 an ，如果从它的第，如果从它的第2项开始，每项与它的项开始，每项与它的前面一项的差等于一个常数前面一项的差等于一个常数d ，即，即【递推式】【递推式】

3、 由等差数列的定义，可得等差数列的递推式由等差数列的定义，可得等差数列的递推式daaaann 11则这个数列叫等差数列则这个数列叫等差数列.a2 - a1=a3 - a2=an+1 - an =d52、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式在等差数列在等差数列 an 的递推式中的递推式中依次令依次令 k=1, 2, , n 得得n+1元元 n+1列方程组列方程组daaaakk 11daadaadaaaannnn11121两边相加，消去两边相加，消去a1，a2， an 得得an+1= a + nd 或或 an= a + (n -1)d63、等比数列是递推数列、等比数列是递推数列【定义】【定义】

4、一个数列一个数列 an ，如果从它的第，如果从它的第2项开始，每项与它前项开始，每项与它前面一项的比等于一个常数面一项的比等于一个常数q ，即，即则这个数列叫等比数列则这个数列叫等比数列.qaaaaaann12312【递推式】【递推式】 由等比数列的定义，可得等比数列的递推式由等比数列的定义，可得等比数列的递推式nnqbbbb1174、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式在等比数列的递推式中在等比数列的递推式中kkqbbbb11依次令依次令 k=1, 2, , n 得得n+1元元 n+1列方程组列方程组nnnnqbbqbbqbbbb11121两边相乘，消去两边相乘，消去b1，b2， bn 得

5、得bn+1= bqn 或或 bn= bq n-18研究函数式时，我们是从简单的正比例函数、一次函数开始的研究函数式时，我们是从简单的正比例函数、一次函数开始的.在这种启发下，我们想到了递推式中的在这种启发下，我们想到了递推式中的“一次式一次式”：（1）k = 1时，时， 得等差数列得等差数列 an+1 =an + m非常凑巧，等差、等比数列正好是这种非常凑巧，等差、等比数列正好是这种“一次式一次式”的特殊情况的特殊情况. 在递推式（在递推式（）中：）中：（2）m = 0时，得等比数列时，得等比数列 an+1 =kan如果如果k 1（当然也不为（当然也不为0），），m 0 呢？呢？an+1 =k

6、an + m （）9【例【例1】 已知数列已知数列 an 中，中，a1=2，an+1=2an - -1 求这个数列的通项公式和前求这个数列的通项公式和前 n 项和项和.【点评】【点评】 一次递推数列一次递推数列 an+1= 2an-1 通过转换，通过转换，bn = an - 1 化为等化为等比数列比数列 bn+1 = 2bn【解答】【解答】 an+1 = 2an-1 an+1- -1=2(an - -1)令令 bn = an - -1得得 bn+1 = 2bn bn=2n - - 1 an = bn+1 = 2n- - 1 +1 （下略）（下略）【分析】【分析】 递推公式是一个典型的递推公式是

7、一个典型的“一次式一次式”，我们考虑将其转，我们考虑将其转化为等差或等比数列求解化为等差或等比数列求解.10【例【例2】 已知已知 m 0， k 0，1，a 1 = a ( 0 ) , an+1 = kan +m求数列求数列 an 的通项公式的通项公式.【分析】【分析】 按例按例1的经验，转化到等比数列，关键在常数的经验，转化到等比数列，关键在常数 c 匹配匹配.【解答】【解答】 设设(an+1-c) = k(an - c)kcckaann1令令 c kc = m，得，得kmc1令令 bn = an cckcacbakbbnnnnn1111)( 即即kmkkmaann1 )1(1 11我们可以

8、类比等差等比数列定义等和等积数列我们可以类比等差等比数列定义等和等积数列.【定义】【定义】 等和数列等和数列 等积数列等积数列maaaann11pbbbbnn11【递推式】【递推式】 等和数列等和数列 等积数列等积数列maaaann 11nnbpbbb11【说明】【说明】 等和数列是一次递推数列等和数列是一次递推数列an+1 = kan+m 在在k= - -1 时的特时的特殊形式殊形式.等积数列是反比例递推数列等积数列是反比例递推数列.12【例【例1】 已知数列首项已知数列首项 a1 =2若若an+a n+1=3 求数列通项公式求数列通项公式.【解答】【解答】 由由 a1+a2 = a2+a3

9、 = an+an+1【说明】【说明】 等和数列一般形式为等和数列一般形式为 a1=a，an + an+1=m得得 a1 = a3 = =a2m - -1=2 a2 = a4 = =a2m = 1等和数列一般为摆动数列，只当等和数列一般为摆动数列，只当 m = 2a 时，为常数列时，为常数列.故数列的通项公式为故数列的通项公式为为偶数时为奇数时nnan 1 2通项公式为通项公式为为偶数时为奇数时namnaan 13【例【例2】 已知数列首项已知数列首项 b1 =2若若bn b n+1=3 求数列通项公式求数列通项公式.【解答】【解答】 由由b1b2 = b2b3 =bnbn+1【说明】【说明】

10、等积数列一般形式为等积数列一般形式为 b1=b bn bn+1=p等积数列一般为摆动数列，只当等积数列一般为摆动数列，只当 p = b2 时，为常数列时，为常数列.故数列的通项公式为故数列的通项公式为为偶数时为奇数时nnbn 23 2通项公式为通项公式为为偶数时为奇数时nbpnbbn 得得 b1 = b3 = =b2m - -1=2 b2 = b4 = =b2m = 2314在等差数列在等差数列 an 中中daaaann11如果让公差如果让公差d（常数）变动起来，由（常数）变动起来，由 d 变为变为dn，得数列，得数列nnndaaaa11我们可以称其为我们可以称其为“变差变差”数列数列. 当变

11、差当变差dn 为等差或等比数列时，为等差或等比数列时，我们可以将其转化为等差或等比数列求通项公式我们可以将其转化为等差或等比数列求通项公式.15【例题】【例题】 已知已知 a1 =1，an+1=an + 2n +n 求通项公式求通项公式.【解答】【解答】 在差式在差式 an+1 -an= 2n + n 中，对中，对n进行进行“迭代迭代”：依次令：依次令n=1，2，k，得方程组，得方程组【分析】【分析】 这是一个变差数列，这是一个变差数列，“变差变差” dn = 2n + n是一个等比数是一个等比数列与等差数列的和列与等差数列的和.kaaaaaakkk2 22121223112 两边相加，消去两

12、边相加，消去a1, a2 , , ak，得，得 a k+1=1+(21 + 22 +2k )+(1+2+k)2) 1()22(11kkk得通项公式得通项公式 12) 1(2nnann16“迭代法迭代法”求变差数列通项公求变差数列通项公式式【迭代】【迭代】 在在 an+1 - an= dn 中，依次令中，依次令n=1，2，k，得，得k元元 k 列方程组列方程组【题设】【题设】 设有变差数列设有变差数列 a1=a，an+1 = an+dnkkkdaadaadaa1223112 其中其中 d1+ d2 +dn = D(n)【解【解ak+1】 方程组两边相加，消去方程组两边相加，消去 a1 ，a2，a

13、k 解得解得ak+1 =a +(d1 + d2 + + dk ) = a + D(k)【求【求an】 由此得由此得 an =a+D ( n-1 )为所求通项公式为所求通项公式.17数列的递推式，如等差数列的递推式数列的递推式，如等差数列的递推式是用是用an的函数式来表示的函数式来表示an+1其实，函数式只为方程式的一种特殊形式，将等差数列的递推其实，函数式只为方程式的一种特殊形式，将等差数列的递推式改写为式改写为an+1 = an+d = f ( an )an+1 an d =F ( an+1 , an ) = 0则是一个关于则是一个关于an 和和 an+1 的方程式的方程式方程式表示递推关系

14、，则更有其普遍意义方程式表示递推关系，则更有其普遍意义.18【例题】【例题】 数列数列 an 中中a1=1，且有，且有2nan+1 + anan+1=2nan ,求通项公式求通项公式.【解析】【解析】 由方程式由方程式 2n an+1 + an a n+1= 2n an 得得【分析】【分析】 递推式是关于递推式是关于an 和和an+1 的方程，的方程，“参数参数” 2n 还是一个还是一个变数，首先可进行求函数变数，首先可进行求函数 an+1= f (an )的尝试的尝试.nnnnnnnnnnnnaaaaaaa2112212211nnnaa21111用迭代法可以解得用迭代法可以解得 nnnna2

15、1221212111121122122111nnnnnnaa19复合数列相对基本数列而言复合数列相对基本数列而言. 中学的基本数列有中学的基本数列有2个，一是等差个，一是等差数列，二是等比数列，其他数列可看作是两种基本（之一）的数列，二是等比数列，其他数列可看作是两种基本（之一）的复合数列复合数列.复合数列的解法是通过转换复合数列的解法是通过转换 换元化为这两种基本数列（之换元化为这两种基本数列（之一）来解决一）来解决.一次递推数列一次递推数列 an+1 c = kan + m 可变形为可变形为通过换元通过换元 bn = an c 而转化为等比数列而转化为等比数列 bn+1 = kbn 而求解

16、而求解.一次递推数列再延伸一步，让常数一次递推数列再延伸一步，让常数m变起来变起来ak+1 = kan + mn 当当 mn 具备一定条件时，也可通过换元法转化为一次递推数具备一定条件时，也可通过换元法转化为一次递推数列列an+1=kan + mn20【例题】【例题】 数列数列 an 中中a1=2，且有，且有 an+1 =4an+2n+1,求通项公式求通项公式.【解析】【解析】 由方程式由方程式 2n an+1 + an a n+1= 2n an 得得【分析】【分析】 这就是一次递推数列的变这就是一次递推数列的变m形式：形式：1222241111nnnnnnnaaaaan+1 = kan +

17、mn 其中其中mn = 2 n+1是等比数列是等比数列令令 则原数列转化为则原数列转化为nnnab21bn+1 = 2bn + 1 （一次递推数列）（一次递推数列）bn = 2n 1 an=2n bn+1=24n - - 2 n 【说明】【说明】 这里的一次递推数列的变这里的一次递推数列的变 m 形式形式an+1 = 4an + 2n+1转到一次递推数列转到一次递推数列bn+1 = 2an +121数列求和公式与通项公式有如下关系数列求和公式与通项公式有如下关系这实际上是一个关于这实际上是一个关于an 与与Sn 的递推式的递推式.nnnSSaSa1111如等差数列如等差数列ndaSSaaSan

18、nn11111在含在含 Sn 的递推式中，作出的递推式中，作出 Sn+1 Sn = an代换即得关于代换即得关于 an ，an+1 的递推式的递推式.22【分析】【分析】 这是一个含有这是一个含有 Sn 的递推式，先利用它求的递推式，先利用它求 a1 .【说明】【说明】 含含Sn 的递推式，通过的递推式，通过an+1 = Sn+1 - - Sn 转化为不含转化为不含Sn的式子的式子.【例题】【例题】 数列数列 an 前前n 项和设为项和设为32231341nnnaS求数列通项公式求数列通项公式.【解答】【解答】在在 中中32231341nnnaS令令n = 1，由，由 S1 = a1 得得23

19、23434111aaa又又an+1 = Sn+1 - - Sn)22(31)(34121nnnnaa1124nnnaa（问题转化为前面问题（问题转化为前面问题 下略）下略）23对等差数列，对等差数列，a1=a, an+1 = an+d 求通项，用了迭代法求通项，用了迭代法递推式与数学归纳法递推式与数学归纳法daadaadaann 12312 求得求得 an+1= a1+nddnaan) 1(1其实，这种不完全归纳法得出的其实，这种不完全归纳法得出的an=a1 + (n - 1)d 只是一个只是一个“猜想猜想”，只是因其直观而将证明过程省去了只是因其直观而将证明过程省去了.为什么可省去呢？因为在

20、用数学归纳法时，在由为什么可省去呢？因为在用数学归纳法时，在由 k 到到 k+1的过的过程正好是用它的递推式程正好是用它的递推式.当关系当关系“不直观时不直观时”，对，对“猜想猜想”得到的通项公式还得进行严格得到的通项公式还得进行严格的数学归纳的证明的数学归纳的证明.特别地，直接利用递推式，用数学归纳法证明数列某性质特别地，直接利用递推式，用数学归纳法证明数列某性质.24【例题】【例题】 数列数列 an 中，中，a1=1，且有，且有 an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2) ,求数列通项求数列通项.【探试】【探试】 a2 = a1 = 1 a3 = a1 + 2a2 = 3 a4 = a1 + 2a2 + 3a3 = 12 a5 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 60