第六章 理想不可压缩流体平面势流和旋涡运动

1、流流 体体 力力 学学集美大学机械工程学院无旋有势(存在条件)1.速度势函数存在条件类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速速 度度 势势 函函 数数0由函数的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）圆柱坐标形式（二维）),(zrrurru01222222rrrr2.速度势函数的性质由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程0

2、zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022为拉普拉斯算子， 称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程性质1：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分性质2：任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差，而与曲线的形状无关BAABBABAABdwwdzvdyudxdsV)(则，求环量问题变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，A点和B点重合，若速度势函数是单值连续的，则流场中沿此封闭曲线的速度环量等于零，即0AB如果速度势函数不是单值函数，则这封闭曲线的速度环量就不等于零。不可压缩平面流场满足连续性方程：0y

3、uxuyx即：yuxuyx由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件dxudyudyx函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函数的主要性质：（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程将速度的流函数表达式代入不可压缩流体平面流动的连续性方程得：yxxy22（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02则：将代

4、入也是调和函数得：因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的拉普拉斯方程。势函数与流函数的关系：流线族与等势线族正交0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线可作流网在流场的个别点上，如边界的角点或速度等于零的点上，可能无法满足正交条件。例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：022xxyuxuyx（1） 满足连续性方程021yuxuxyz（2） 是无旋流（3

5、）无旋流存在势函数：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000取（x0，y0）为（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 满足拉普拉斯方程， 是调和函数2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函数xydxdyyxdxudyudyx222取（x0，y0）为（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均匀直线流动速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323基本的平面有势流动由于流场中各点速度相等，根据理想流体的伯努利方程，得c

6、gpz如果均匀流体直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可忽略重力影响，于是p=c,即流场中压强处处相等。当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.平面点源与点汇（用极坐标）（1）点源：Q为点源强度1122o34ur源点o是奇点r0 ur速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）点汇 流量Q为点汇强度1122o34汇点o是奇点r0 urrQur2rQln22QQQpprr0

7、点汇流沿半径的压强分布gpgugpr22如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程式中，。时，当减少而降低。可见，压强随着半径的代入上式，可得由于为零。处的压强，该处的速度为在088,2r2122022p)p/(QrrrQ-pprQup/r（3）点涡（用极坐标）注意：环流是无旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度势函数流函数速度场点涡强度常数rurdu220逆时针为正1122o34u可见，点涡的等势线族是经过涡点的放射线，而流线族是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动也满足同理，对无旋流：势流叠加原理012022210202势 流 叠 加 原 理以上几种简单的平

8、面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u02sin021QrurQruln2cos021S有势流动叠加作流线步骤：找驻点S：rQurur2cos0si

9、n10uru, 00u0ru将代入（舍去）将代入得驻点的坐标：00r02 uQrsu0Sors（1）（2）由（2）由（1）02 uQrs将驻点坐标代入流函数，得2Qs则通过驻点的流线方程为22sin0QQru给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线04,23,2uQyr02,uQxrss,2 , 0r流线以为渐进线02uQy 外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）（2）源环流螺旋流（用极坐标）模型：源流与环流叠加（水泵蜗壳内的扩压流动）rlnQ2121势函数流函数rlnQQ2122121等势线cQecr1流线cQecr2流线和等势线是相互正交的对数螺旋线源流和环流的叠加（流线与等势线为相

10、互正交的对数螺旋线族）离心泵的叶片形状离心泵的叶片形状（3）等强源汇流（用极坐标直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）21212122rrlnqrlnrlnq22222yaxyaxlnqxyoaarr1r2P(x,y)12q-q势函数流函数21212qaxyarctgaxyarctgq2源流和汇流的叠加当a0，q，2qa常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简222yxxM222yxyMa0：偶极流（4） 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 平行流（均匀等速流）和偶极流叠加,可用来描述流体绕过圆柱体无环流的流动.若均匀等速流的速度为 ,沿x轴正向流动,偶极流的偶极矩为M。n 平行流与偶

11、极流的叠加平行流与偶极流的叠加n 流网流网 平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶极流：叠加：122222211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr 流线方程为：022sinrrMVcsinrrMV22022rMV当常数C取不同的数值时，可得如图所示的流谱。当C0时对应的流线，称为零流线。流体对圆柱体的无环量绕流n零流线零流线 当常数C0时，即零流线的流线方程： 由 ，得 。sin00, 或 即：0y 0rr 可见，零流线为以坐标原点为圆心， 为半径的圆和x轴。VM

12、rr20csinrrMV22VMr20n平行绕流圆柱体无环流的流动平行绕流圆柱体无环流的流动0rr202222()yxyvv rxyy VMr20n流函数和速度势：流函数和速度势：n流场中的速度分析流场中的速度分析 直角坐标系：直角坐标系：因为：所以：20221() cos(1) cos2rMvrvrrr20221() sin(1) sin2rMvrvrrr（ ）0rr（ ）2220222()(1)()xryxvvxyx0yv 0 xyvvb:在（r0，0）和（r0，0）处a:当讨论：讨论：时，即为平行流。为驻点，即A，B为驻点。Vvxyx极坐标：极坐标：讨论：202202(1)cos1(1)

13、sinrrvvrrrvvrr a:半径为r的圆形曲线上的速度环量b：当 时，故平行流绕圆柱体的流动为势流。22002222002(1)sin(1) sin(1)cos0rrv dsvrdv rdrrrv rr 0rr02sinrvvv ；时0 00,0,0B rAr当 时，22min0vmax2vv即C、D点的速度最大。n圆柱面上的压强分布圆柱面上的压强分布 圆柱面上的压强分布可由伯努利方程求得。 在无穷远处，速度为 ，压强为 。则 工程上为了处理问题方便起见，引入一个无量纲压强系数 ，则 。vp2222vvppgggg2222111 4sin22ppvvpv由其中22sinvv221 4si

14、n12pppCv12pppCv讨论： 1、前、后驻点：2、C、D点：0v 1pC 2max12ppv3pC 2min32ppvmax2vv 3、在 和 的范围内，圆柱面上的压强作用是对称的，即作用在其上的压力是平衡的。0180180360 n对于理想流体，平行流无环流绕流圆柱体时，既不产生阻力对于理想流体，平行流无环流绕流圆柱体时，既不产生阻力也无升力。也无升力。 证明：如图，在单位长度的圆柱体上作用在微元弧段上的总压力和阻力分别为2220011 4sincos02DxFFrpvd 2220011 4sinsin02LyFFrpvd 证毕。 说明：无升力、无阻力只适用于理想流体，实际流体不适用

15、，上述即为达朗伯疑题。（5 5） 平行流绕流圆柱体有环流的平面流动平行流绕流圆柱体有环流的平面流动库塔儒可夫斯基公式库塔儒可夫斯基公式平行流绕流圆柱体有环流的流动是无环流流动和一个环流的叠加。20121cosrvrr2max2min1232ABCDppppvppppv20121sinrvrrmin0ABvvvmax2CDvvvv其中n环流环流222ln2rn平行流绕圆柱体无环流的流动平行流绕圆柱体无环流的流动流体对圆柱体的无环量绕流n叠加的结果叠加的结果201221cos2rvrr201221sinln2rvrrr流场如图所示。上部和环流方向一致，速度加快，下部方向相反，速度减慢，上部压强降低

16、，下部升高。平行流与纯环流的叠加则可得2021cosrrvvrr20211sin2rvvrrr n验证是否满足两个边界条件验证是否满足两个边界条件0rrC201221cos2rvrrn是否满足圆柱面为流线的条件是否满足圆柱面为流线的条件当 时，令又，当 时，故满足以圆柱面为边界的流动。20Cre0rv 则0rrn是否满足来流速度为是否满足来流速度为 的边界条件的边界条件 v当 时， 。故满足无穷远处的条件r 因此这种叠加是正确的。因此这种叠加是正确的。vv2021cosrrvvrr201221sinln2rvrrrn圆柱面上的速度分布及驻点的位置圆柱面上的速度分布及驻点的位置002sin2rv

17、vvr 20211sin2rvvrrr n圆柱面上的速度分布圆柱面上的速度分布 当 时， 该式说明：圆柱面上径向速度为零，即无分离，切向速度为 的正弦函数。0rrn驻点的位置驻点的位置 时0 当驻点在圆柱面上时， 此时，0v0sin4 r v 讨论：当 时，且 则有两个驻点。 因 即 和 。且随着 增大， 也增大，驻点向中间移动。如图（a）sin104 r v sinsin2021cosrrvvrr当 时， 驻点移动到最下方。如图（b）04 r v sin12当 时， 。可令 和 为零，得（ ）（ ）两个驻点，一个在圆柱体内，如图（c）04 r v sin1rvv11,r22,r当 时，和上述的情况类似，只是驻点的位置在上部。0 （c）（b）（a）圆柱面上的驻点位置n圆柱面上的压强分布圆柱面上的压强分布n压强分布压强分布在圆柱面上 列无穷远处和圆柱面上的伯努利方程 0rv 02sin2vvr 221122pvpv22012si