投影与直观图教案

1、1.1.4投影与直观图投影与直观图 请同学们看下面几个常见的请同学们看下面几个常见的自然现象自然现象, ,考虑它们是怎样得到的考虑它们是怎样得到的? ?这种现象我们把它称为是这种现象我们把它称为是投影投影.一、投影一、投影 物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。出了投影的方法。 太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的

2、夹角有平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，但框边的平行性没有改变。所改变，但框边的平行性没有改变。二、投影分类二、投影分类1.中心投影中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影这个平面上的中心投影（投影线均通过投影中心的投影称为中心投影）（投影线均通过投影中心的投影称为中心投影）。 其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形，能反映物体的实形，一般来说，人的视觉、照片、美

3、术作品等都是中心投一般来说，人的视觉、照片、美术作品等都是中心投影影中心投影的性质中心投影的性质中心投影的投射线交于一点。中心投影的投射线交于一点。点光源距离物体越近，投影形成的点光源距离物体越近，投影形成的 影子越大影子越大 。中心投影后，直线变成直线，平行中心投影后，直线变成直线，平行线可能变成相交直线。线可能变成相交直线。2.平行投影平行投影 投影线相互平行投影线相互平行的投影称为平行投影。其中，投影的投影称为平行投影。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影；投影线垂直于投影面线倾斜于投影面叫平行斜投影；投影线垂直于投影面叫叫平行正投影平行正投影简称简称正投影正投影（1 1）点的平行投影）

4、点的平行投影：已知图形：已知图形F F，直线，直线l l与平面与平面相交，过相交，过F F上任一点上任一点M M 作直线作直线l l平行于平行于l l，交平面，交平面于点于点M M，则，则M M叫做叫做点点M M在平面在平面内关于直线内关于直线l l的平行投影的平行投影( (象象).).（2 2）图形的平行投影）图形的平行投影：如果图形：如果图形F F上的所有点在平面上的所有点在平面内关于内关于直线直线l l的平行投影构成图形的平行投影构成图形F F，则，则F F叫做图形叫做图形F F 在在内关于直内关于直线线l l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l l 叫做投射线。叫

5、做投射线。相关概念相关概念三三. 平行投影的性质：平行投影的性质： 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：下性质：1直线或线段的平行投影仍是直线或线段的平行投影仍是直线或线段直线或线段;2. 平行直线的平行投影是平行直线的平行投影是平行或重合平行或重合的直线；的直线；3平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长平行且等长；4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等全等；5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于在同

6、一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。这两条线段长度的比。 当投射线和投射面成当投射线和投射面成适当的角度适当的角度或改或改变图形变图形相对于投射面的位置相对于投射面的位置时，一个空时，一个空间图形在投射面上的间图形在投射面上的平行投影平行投影（平面图（平面图形）可以形）可以形象地表示这个空间图形形象地表示这个空间图形。像。像这样用来表示空间图形的平面图形，叫这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的做空间图形的直观图直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法，依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准，一种较为简单国家规定了统一的标准，一种较为简

7、单的画图标准是的画图标准是斜二侧画法斜二侧画法。xyoXYO 先观察一个正方形，如何把它画成先观察一个正方形，如何把它画成水平水平放置的直观图放置的直观图呢？我们用一个呢？我们用一个平行四边形平行四边形来表示它。那么这个平行四边形有什么要来表示它。那么这个平行四边形有什么要求呢？求呢？四四. 斜二测画法：斜二测画法： 斜二测画法是斜二测画法是国家规定国家规定的统一的的统一的画直观画直观图图的一种方法，它的规则是：的一种方法，它的规则是： （1）在已知图形所在的）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互空间中取水平平面，作互相垂直的轴相垂直的轴Ox，Oy，再作，再作Oz轴，使轴，使xOz=90，且

8、，且yOz=90.（2）画直观图时，把）画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对画成对应的轴应的轴Ox、Oy、Oz，使，使xOy=45（或（或135），），xOz=90，xOy所确所确定的平面表示水平平面定的平面表示水平平面;（3）已知图形中，平行于）已知图形中，平行于x轴、轴、y轴或轴或z轴轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、轴、y轴或轴或z轴的线段轴的线段. 并使它们和所画坐标轴并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的坐标轴的位置关系相同位置关系相同；（4）已知图形中）已知图形中平行于平行于x轴和轴

9、和z轴轴的线段，的线段，在直观图中在直观图中保持长度不变保持长度不变，平行于平行于y轴轴的线的线段，长度为段，长度为原来长度的一半原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图标轴，就得到了空间图形的直观图 所以，画图的关键是正确地画出所以，画图的关键是正确地画出水平放水平放置的图形。置的图形。横不变，纵减半，平行关系不变横不变，纵减半，平行关系不变例、用斜二测画法画水平放置的正六边例、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图形的直观图(1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为x轴，对称轴轴，对

10、称轴MN所在直线为所在直线为y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的x，y轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点O，使，使xOy=45.OxyABCDEFMNOyxxyOABCDEFMNOxyABCDEFMN 1.2OMNN 2 以为中心,在X 上取A D =AD，在y 轴上取M N =以点为中心,画B C 平行于x 轴,并且等于BC;再以M 为中心,画E F 平行于x 轴,并且等于EF.AxyOBCDEFMNOxyABCDEFMN 3 连接A B ,C D ,E F ,F A ,并擦去辅助线x 轴和y 轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A B C D E FxyOABCDEFM

11、NABCDEF:画法按如下步骤完成ABxyOC,中在已知的正三角形第一步ABC.,轴为取对称轴轴所在的直线为取yCOxAB使轴轴、画对应的,yx.045yOx使./,OCCOOBBOOAAOx21轴上取在第二步CABOxy045.,的直观图就是正三角形形角三的所得连结第三步ABCCBACBCAABC2911图例例2.画水平放置的正三角形的直画水平放置的正三角形的直观图。观图。例：例：水平放置的矩形水平放置的矩形ABCD长长AB4，宽，宽BC2，以，以AB、AD为轴为轴作出斜二测直观图作出斜二测直观图ABCD，则四边形，则四边形ABCD的面积为的面积为()A4 B2 C4 D2答案答案B解析解析

12、 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，平行线在斜二测直观图中仍为平行线， 四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形， DAB45，AB4， 2=4SS直原练习题：练习题：1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中平行投影的性质，下列说法中不正确不正确的是（的是（ ）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段）直线或线段的平行投影仍是直线或线段 （B）平行直线的平行投影仍是平行的直线）平行直线的平行投影仍是平行的直线 （C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等图形全等 （

13、D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比影的比等于这两条线段的比B2. 直线的平行投影可能是（直线的平行投影可能是（ ） （A）点）点 （B）线段）线段 （C）射线）射线 （D）曲线）曲线A3. 两条不平行的直线，其平行投影不可能两条不平行的直线，其平行投影不可能是（是（ ）（A）两条平行线）两条平行线. （B）一点和一条直线）一点和一条直线 （C）两条相交直线）两条相交直线 （D）两个点）两个点D4. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为是一个底角为45，腰和上底的长均为，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是的等腰梯形，那么原四边形的面积