二维傅里叶变换

1、二维傅里叶变换二维傅里叶变换第一页，共17页。如果一个二维函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么( , )( ) ( )g x yj x h y ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )F g x yF j x h yF j xF h x第二页，共17页。空域频域( , )( , )cossinx yrxryr( , )( , )cossinu vuv 具有圆对称的函具有圆对称的函数在极坐标下描数在极坐标下描述起来更加方便述起来更加方便r第三页，共17页。( , )( , )exp2 ()d dF u vf x yjuxvyx y cos ,sinxry

2、rcos ,sinuv20 0( cos ,sin )( cos , sin )exp2 (cos cossinsidnd)rFf rrjrrr 20 0(cos ,sin )( cos , sin )exp2cos() d dFf rrjrr r 20 0( , )( , )exp2cos()d dFrf rjrr ( , )( cos ,sin )FF ( , )( cos , sin )f rf rr第四页，共17页。( , )( , )exp 2 ()d df x yF u vjuxvyu v cos ,sinxryrcos ,sinuv20 0( cos , sin )(cos ,s

3、in )exp 2 (coscossinsind)df rrFjrr 20 0( cos , sin )(cos ,sin )exp 2cos() d df rrFjr 20 0( , )( , )exp 2cos()d df rFjr ( , )( cos ,sin )FF ( , )( cos , sin )f rf rr第五页，共17页。20 020 0( , )( , )exp2cos()d d( , )( , )exp 2cos()d dGrf rjrrf rGjr 极坐标系下的Fourier transformation第六页，共17页。本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导利用

4、这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他函数的FT，起到化难为简的作用这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。第七页，共17页。线性性质 设 有a.和的FT等于FT的和叠加性b.幅值按同样的比例缩放均匀性c.同时具有叠加性和均匀性线性性质性( , ) ( , ),( , ) ( , )F u vF f x yG u vF g x ya a, ,b b为常数为常数( , )( , )( , )( , )F af x ybg x yaF u vbG u v第八页，共17页。对称性 若 则证明：( , ) ( , )F u vf x y F ( , )(,)F

5、 x yfuvF ( , )( , )exp2 ()d d( , )exp 2 ()() )d d(,)F x yF x yjuxvyx yF x yju xv yx yfuv F第九页，共17页。对称性的一些其他情形若f(x,y) 为偶函数，则F(u,v) 也是偶函数， 即: 若f(-x,-y) = f(x,y), 则F(-u,-v) = F(u,v)。若f(x,y) 为奇函数，则F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则F(-u,-v) = -F(u,v)。(,)(,)( , )(,)(,)(,)(,)( , )fxyFuvF u vfxyfxyFuvFu

6、vf x y 第十页，共17页。迭次FT 以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的倒立像，即： ( , )(,)F F f x yfxy( , )exp2 ()d d exp2 ()d d( , )exp2 ( ()()d d ( , ) (,)(,)( , )f x yjuxvyx yjuxvyu vf x y dxdyju xxv yyu vf x yxx yy dxdyfxyf x y 第十一页，共17页。4、FT的坐标缩放性质 若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=Ff(x,y),则有：证明：略光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空

7、间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。1 (,)(, )|u vF f ax byFaba b第十二页，共17页。、FT的平移性 若Ff(x,y)=F(u,v),且x0,y0为常数，则有证明：空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。0000 (,)exp2 () ( , )f xxyyjuxvyF u vF第十三页，共17页。FT的体积对应关系假设，Ff(x,y)=F(u,v)，则有(0,0)( , )(0,0)( , )Ff x y dxdyfF u v dudv第十四页，共17页。卷积定理(Convolution Theorem)相关定理

8、(Correlation Theorem)第十五页，共17页。卷积定理 (convolution theorem)设Ff(x,y)=F(u,v), Fg(x,y)=G(u,v)，则有 即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。 两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。 若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像, 卷积定理即表示: 两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。 ( , )* ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )*( , )F f x yg x yF u v G u vF f x y g x yF u vG u v第十六页，共17页。 ( )* ( )( ) ()exp(2)d( )()exp(2)d( ) ( )exp(2)( )(