材料力学第8章

1、第八章 变形能法材料力学研究力对物体的内效应，将研究对象看成是变形固体。变形固体在达到并维持新的平衡状态时，内部就有了势能，称之为变形能。根据能量守恒定律，外力做的功W全部转化为物体内部的变形能U，因而在数值上应有 U=W (8-1) 这就是变形能原理变形能原理。它可表述为：在整个加载过程中，物体在整个加载过程中，物体的变形能在数值上等于外力做的功的变形能在数值上等于外力做的功。 采用与变形能的概念有关的定理和原理来解决问题的方法，统称为变形能法变形能法。8、1 杆件变形能的计算杆件变形能的计算8、2 莫尔定理莫尔定理8、3 计算莫尔积分的图形互乘法计算莫尔积分的图形互乘法8、4 卡氏定理卡氏

2、定理8、5 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 8.1 杆件变形能的计算杆件变形能的计算一、基本变形时的变形能一、基本变形时的变形能 现在来研究在几种基本变形下的变形能计算。1.轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩 对于等直杆的轴向拉伸或压缩，在线弹性范围内，外力于杆件的轴向变形量呈线性关系。ABoplD (a)plD l(b)plD 由式（8-1）可知，此功等于储存于杆件内的变形能。这样杆件的变形能可写为 (8-2a)a.若内力沿杆件的轴线连续变化，即N=N(x)，可以先计算轴线长度为dx的微段内的变形能dU，然后沿杆件长度对dU进行积分 此时杆件的变形能为 (8-2b)221()

3、222N lEAUWP llEAlD D12WP lD,NlNPlEAD 2( )2llNx dxUdUEAb.若内力是呈阶梯形变化的，可以先计算出各杆件的变形能，然后再通过求和得到整个结构的变形能 (8-2c)式中m为组成结构的拉压杆件的数目。 拉压杆件的单位体积内的变形能（比能或能密度）为 (8-3)2112mmiiiiiiN lUUEA221222dUEudVEABoM j2.圆轴扭转圆轴扭转(a)lMjjM 对于圆轴的扭转，当外力偶矩由零开始逐渐增加至最终值M时，扭转角也由零逐渐增至最终值。在线弹性范围内，M与 的关系也是一条斜直线，如图所示。 (b) 根据式（8-1），此功等于储存于

4、圆轴中的扭转变形能。圆轴只在两端受外力矩作用时，扭矩为12WM,nnpM lMMGI于是，圆轴的扭转变形能可写为 (8-4a)a.若内力偶矩沿圆轴的轴线连续变化，即 可得到整个圆轴的变形能为 (8-4b)221222pnpGIM lUWMGIl2( )2nllpMx dxUdUGI( )nnMMxb.若内力偶矩沿轴线阶梯形变化，得到整个圆轴的变形能为2112mmni iiiipiM lUUuGI(8-4c)圆轴单位体积内的变形能，即纯剪切状态下的比能为 (8-5)3.平面弯曲平面弯曲a.对于直梁的平面弯曲，以自由端受到集中力偶矩的等直悬臂梁为例。当集中力偶矩从零开始逐渐增至最终值时，悬臂梁自由

5、端的转角也从零逐渐增至最终值图(a)。221222dUGudVG(b)ABoqeMqeMl(a)eMj其中与 呈线性关系。集中力偶矩在梁变形过程中所作的功可以用三角形OAB的面积来表示(图b)即 且纯弯曲梁的变形能为 (8-6a)12eWMqeMeM lEIqeMM221222eM lEIUWMEIlqqb.对于直梁的横力弯曲情况，可以从梁的x处取出一长为dx的微段，微段两侧分别作用有弯矩和剪力（图a）。一般地说，弯矩与剪力应是截面位置坐标x的函数。于是对于图b所示微段，利用式（8-6a）可以求出其变形能为对dU沿整个梁长的积分便可得到全梁的变形能为2( )2Mx dxdUEI2( )2llM

6、x dxUdUEI(a)ABlxdxEI1P2Pdx(b)( )xQ( )xM( )xM( )xQdq综上所述，杆件的变形能在数值上等于杆件变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，且在静载荷情况下，由式(a)、(b)和(c)表示杆件的变形能可统一表示成 (8-7)式中的P和分别表示广义力和与其相应的广义位移。即当P表示力时，表示位移；当P表示力偶矩时，表示角位移。在弹性体的情况下，广义力与广义位移之间的关系是线性的。12UWP二、弹性变形能的主要特征二、弹性变形能的主要特征(1)变形能是广义力或广义位移的二次函数，不能简单叠加。若用 和 分别表示由外力和单独作用时梁的横截面弯矩，那么当共同作

7、用时，梁的变形能为2221212( )( )( )( )( )222llllM x dxM x dxM x M x dxM x dxUEIEIEIEI1( )Mx2( )Mx12UUU1212( )( )lMx Mx dxUUEI(2)变形能仅与外力的最终值有关，而与加力次序无关。(3)当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。(4)杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对非线弹性体变形能将变为()nlllUNdlM dMdqD 三、变形能的普遍表达式三、变形能的普遍表达式如图，表示广义力作用点沿其作用方向上的广义位移，可以写成 (e)式中 代表由广义力 引起的广义力 的作用点

8、沿作用方向上的广义位移，余下类同。而 为与结构有关的常数。12iiiiimi1 122iimmPPPP1212()imiimiiiiPPPPPPPPP1m1 i1PiPiP1p2p12mpm在按比例加载过程中， 也是常数，所以 与 也是线性关系。于是所做的功为 ，各载荷所作功之和在数值上等于结构的变形能，即 (8-8)这一结论称之为克拉贝隆原理克拉贝隆原理。它可叙述为线弹性体的变形能等于每一线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。1miiPPPPiiP12iiP112miiiUWP四、组合变形时的变形能四、组合变形时的变形能 利用变形能

9、的普遍表达式（8-8），可得到承受弯曲、扭转和轴向拉压联合作用的杆件变形能。现于杆件中截取一长为dx的微段，若两端横截面上的轴力、弯矩和扭矩分别 、 和 (对微段dx而言， 、 和 应看成外力)( )M x( )nMx( )N x( )M x( )nMx( )N xdx( )N x( )nMx( )nMx( )M x( )M x( )N x两个端截面间的相对轴向位移、相对转角和相对扭转角分别为 、 和 。由于 、 和 各自引起的变形是相互独立的，那么按式（8-8），微段dx内的变形能应为于是整个组合变形杆件的变形能为上式的积分，即 （8-9）dqdj( )N x( )M x( )nMx111(

10、 ) ()( )( )222ndUN x dlM x dMx dqjD 22( )( )222nllllnM dxNx dxM x dUdUEAEIGIq()dlD22( )( )222nnM dxNx dxM x dEAEIGIq223(22),2P aP aEAEA222,(12)2P aP aEAEA2 32 32 32 3,632P lP lP lP lEIEIEIEI例1:试求图所示的正方形桁架试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求结构的变形能，并求A、C两点两点的相对位移。已知各杆的抗拉的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度压刚度EA相同。相同。解：轴力为： 变形能为：22ABBCCD

11、ADNNNN2222555111224(1)2222i iAB iBDiiiiN lN lNlP lUEAEAEAEABACDppl例1:试求图所示的正方形桁架试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求结构的变形能，并求A、C两点两点的相对位移。已知各杆的抗拉的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度压刚度EA相同。相同。外力做的功为因为U=W,故有由此可以求出12ACWP21(22)2ACP lPEA(22)ACPlEABACDppl例例2:图为一平面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。解解AB段：BC段：变形能为：11()M xPx2()M xPa刚架的抗弯刚度与抗拉刚度分别为

12、EI和EA222112222000()()()22allMxd xMxd xNxd xUE IE IE A1()0N x 2()N xpdy 2221122000()()22allP xd xP ad xPd xE IE IE A22()(1)232P aaPlE IE ApBACal2X1x变形能：A截面竖直位移：221()(1)2232APaaP lWPUEIEA2(1)232APaaPlEIEA例例2:图为一平面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。若a=l,且各杆横截面为直径等于d的圆形，l=10d,pBACal2X1x343APlPlEIEA得：例例2:图为一平

13、面刚架，试求图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。端的竖直位移。上式括号内的第二项小于0.05%，故在求解抗弯杆件结构的变形或位移时，一般可 以不考虑轴力的影响。3243(1)34PlIEIAl343(1)36400PlEIpBACal2X1x例例3:图示半圆形等截面曲杆位于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。解：由图b可以看出，截面mn上的扭矩和弯矩分别为APROjdjpAmRmndj(b)j(1cos )nMPRjsinMPRj变形能为:整个曲杆的变形能:dUUmndj(b)j例例3:图示半圆形等截面曲杆位

14、于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。2222npM RdM RdGIEIjj23223(1cos )sin22pP RdP RdGIEIjjj j2323344pP RP RGIEI23223(1cos )sin22llpP RdP RdGIEIjjj jldU设A的竖直位移为 ,在变形过程中，外力所做的功在数值上等于曲杆的变形能，即:由此求得:AWA例例3:图示半圆形等截面曲杆位于图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的的作用，求作用，求A点的垂直位移。点的垂直位移。mn

15、dj(b)j2323344pP RP RGIEI12APU33322pPRPRGIEI8.2 莫尔定理莫尔定理莫尔定理是一种能够求解在复杂载荷作用下的结构任一处广义位移的有效工具。现在以梁为例，利用变形能的概念和特性来导出莫尔定理。假设梁在外力 , 作用下发生弯曲变形，如图a所示。今要确定在上述外力作用下，梁上任意一点C的挠度 。22( )2lMx dxUEI12C1p2pAB(a)首先由外力可求得梁的弯矩首先由外力可求得梁的弯矩M(x),尽而由式（尽而由式（8-6b)求出变求出变形能形能U在C点作用一个单位力 此时梁的弯矩为 而梁内储存的变形能为 接着将 ， 重新加到梁上。在 ， 重新加载的

16、过程中，单位力 又完成了数值为 的功。于是在图c的情况下，梁的变形能为02( )2lMxdxUEI(b)BAC0p01 0( )Mx122100100UUUP0p2p1pCBA(c) 因为在 和 共同作用下的弯矩为 ，所以还可以表示为 两式是相等的，即： 021( )( )2lM xMxUdxEI0200( )( )2M xMxUUdxEI0P12，0( )( )M xMx将(a)和(b)式代入并考虑 可得： （8-10）这就是莫尔定理莫尔定理也称莫尔积分莫尔积分。莫尔定理还可以求解平面曲杆的弯曲变形，对于小曲率曲杆，可把莫尔积分推而广之，得到求曲杆弯曲变形的莫尔积分 （8-11）00( )(

17、 )lM x MxPdxEI0( )( )sM s MsdsEI01 利用莫尔定理计算桁架节点位移公式 （8-12）计算组合变形结构位移的莫尔公式：01miiiiiN N lEA01( )( )miiliiM x MxdxEI0011( )( )( )( )mmniniiilliiniiMx MxN x NxdxdxGIEA使用莫尔定理的注意事项：使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 点，沿所求的方向加时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为

18、功的量纲。例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。2( )2qxM x xlqA(a)x1(b)由单位力引起的弯矩为0( )Mxx 解解 悬臂梁的弯矩方程为按莫尔定理得A截面的挠度为 240()()28lq xd xq lxE IE IxlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。00( )( )lAM x MxfdxEIx1(c)由单位力偶引起的弯矩为: 0( )1Mx 由莫尔定理得00( )( )lAM x MxdxEIqxlqA(a)x1(b)例：例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算

19、自由端A截面的挠度和转角。2301()( 1)26lqxqldxEIEI例：桁架中各杆的抗拉(压)刚度EA君相同，试求B、D两点间的相对位移。31452llP2PDACB31452llDA111CB例例 圆截面钢架受力如图a所示，整个钢架的抗扭刚度分别为 和EI，若不计剪力对变形的影响，试求钢架C截面沿竖直方向的位移。pGIABlq(a)Cl在计算钢架内力时，各段内力的正负可仍遵循杆件在各种基本变形下的内力的符号规定。BC段 AB段 211()2qxM x 011()Mxx 22()M xqlx 22()2nqlMx 022()Mxx 02()nMxl 1x2x2x1x(b)ABC1ABl(a

20、)Clq利用式（8-13）可以求得C截面的数值位移为 221122212000()()()()()()22lllpqxqlxl dxqlxxdxdxEIEIGI000112222212000( )( )()()()()lllnnCpM x MxM x MxMx Mx dxdxdxEIEIGI4411242pqlqlEIGI例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数( )(1cos )MPRjjpAdsdjjR(a)解解 曲杆由载荷引起的弯矩为在A点作用一个集中力得弯矩0( )(1cos)MRjjA1(b)0( )( )AlM s MsdsEI例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常

21、数A点的竖直位移为pAdsdjjR(a)A1(b)322013(1cos )2PRPRRdEIEIjj00( )( )MMRddsEIjjj0( )( )AsM s M sdsEIq0( )1MjA(c)例例 试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数在A点施加一单位力偶矩，可求出:00( )( )MMRdEIjjj20(1cos ) 1PRRdPREIEIjjpAdsdjjR(a)A1(b)83 计算莫尔积分的图形互乘计算莫尔积分的图形互乘法法对于等截面梁的弯曲变形，在这种情况下,抗弯刚度EI为常数 (8-10)变为 （a）由于式中的 是由单位力引起的内力因而必定由直线或折线组成。00( )

22、( )lMx MxPdxEI01()()lMx Mx dxEI0( )Mx 设在载荷与单位力作用下的一段长为l的直杆的M(x)和 图分别为如图的形式。其中的图为一段 斜直线。 此直线方程为 0()Mxk xb0( )Mx0( )MxCxxl0( )Mx0( )Mx( )M x( )M x将上式代入（a）式得 (b) 若用表示M(x)图形的面积，用 表示M(x)图的形心位置坐标，则（b）式成为 （c）那么根据(c)式，莫尔积分公式可写成1()()cckxbkxbEIEI00( )( )clMMx MxdxEIEI01()()lMxMx d xE I1( )( )llkM x xdxbM x dx

23、EIcX 将 代入 得 (b) 0()Mxkxb01()()lMx Mx dxE I01()()lMx Mx d xE I1( )( )llkM x xdxbM x dxEI若用表示M(x)图形的面积，用 表示M(x)图的形心位置坐标，则成为 (c)1( )( )llkMx xdxbMx dxEI1()()cckxbkxbEIEIcX上式中的 实际上是图中 M(x)与 图的形心C相对应的纵坐标( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M x( )0M xl1()()cckxbkxbEIEIck xb0( )Mx若用 来表示之，那么根据莫尔积分公式可写成1()()cck xbkxbE

24、IEI00( )( )lM x MxPdxEI00( )( )clMMx MxdxEIEI( )M x( )M xdxxcxCx0cMx0( )M x( )0M xl0cM这种将计算等直梁变形的莫尔积分运算简化为图形间的代数运算的方法称为图形互乘法，简称图乘法图乘法。只要是求等直杆（包括分段等直杆）的变形或位移，都可以使用图乘法。 abh3l+a3l+blCh n+2 (n+1)llCn+2 lh4 3llC4 lh8 5llC8 3l顶点三角形 ： 12lh二次抛物线：23lh二次抛物线：13lhn 次抛物线：11lhn例例 1 外伸梁受载如图所示。若抗弯刚度EI为常量，试求外伸端C的挠度。

25、 AqBCeMla解解 ： 梁在荷载作用下的弯矩图，如图所示。 28ql1 1C2 2CeMC3 3AqBCeMla其中面积为 的抛物线部分是由均布载荷引起的，面积为 和 的折线部分是由集中力偶引起的。由单位力作用引起的 图由图给出。 2123 8qll212eM l 3eM a 28ql1 1C2 2CeMC3 31230( )MxAqBCeMla图中三部分图M(x) 的形心对应的 的值可利用线段之间的比例关系求出。可求的C截面的挠度为0001122331()cfMMMEI21 212()()()3 82232eeqlaaalM lM aEI3()3224eMalaqalE IE IABC1

26、01M02M03Ma0cM例2 抗弯刚度EI为常量的钢架如图a所示，试求A截面的竖直位移。BCAq2a2a解:首先画出钢架在载荷作用下的弯矩图，如图所示。22qa22qaBCAq2a2a 计算A截面的竖直位移，需要在A截面作用一个竖直方向的单位力,然后画出相应的 图。 CBA12 a2a02M01MBCAq2a2a22qa22qa22C1C1( )oMx如图，并利用相应的公式，可以求出AB和BC两杆的弯矩图面积为23112222aqaqa232282233qaaqaCBA122qa22qa22C1C1 在图d中与和的形心对应的 为0143Ma0254MaBCAq2a2a2 a2a02M01M0

27、cM 于是由式可求出A截面的竖直位移001122AMMfEIEI43314856(2)334qaqaaqaEIEI1()()cck xbkxbEIEICBA1 例3:已知抗弯刚度EI为常量，试求中间铰C两侧截面的相对转角。 AqBCDaa/2a/2a/2解: 在利用莫尔定理计算中间铰C两侧截面的相对转角时，应该在C铰的两侧截面上各作用一个 单位力偶矩，且方向相反（图b）。 (a)(b)ABDC11AqBCDaa/2a/2a/2这是因为中间铰C两侧截面的相对转角即C铰两侧截面的转角之和，在竖直上等于上述的一对单位力偶矩在各自角位移（转角）上所做的功之和。 (a)(b)ABDC11AqBCDaa/

28、2a/2a/2 由荷载引起的子母梁的弯矩已按叠加法画成图c的形式由单位力偶矩引起 图，则在图 d中给出。28qa4pa4pa32101M02M03M04MqABCDaa/2a/2a/2ABCD1133C11C22C44C0( )Mx28qa4pa4pa33C11C22C44C32101M02M03M04M计算莫尔积分的图乘法公式求得C铰两侧截面的相对转角为1()()cck xbkxbEIEI0000112233441()CMMMMEIq0000112233441()CMMMMEIq2123138424qaPaaaEI 11211(1)24223242Pa aPaa 3217()1648qaPa

29、EI28qa4pa4pa33C11C22C44C32101M02M03M04M8.4 卡氏定理卡氏定理一、卡氏定理及其证明一、卡氏定理及其证明 设一抗弯刚度为EI的等直悬臂梁的自由端A受集中力P的作用，不难求出悬臂梁内储存的变形能为梁内的变形能在数值上等于外力功W，即2222 30( )226llMx dxP x dxP lUEIEIEI12AUWPfplxABAf由此求出悬臂梁自由端的挠度为 若将梁的变形能U对A截面处的集中力P求偏导数则有这正好等于自由端挠度。33APlfEI2 33()63UP lPlPPEIEIAUfP即梁的变形能对集中力P的偏导数等于P力作用点沿P力作用方向的位移。此

30、即为卡氏卡氏定理定理。卡氏定理可以叙述为：弹性体内的变形能对任一载荷的偏导数等于该载荷作用点沿载荷作用方向的位移。即 （8-15）nnUP现在以梁为例来证明这一定理。设作用在梁上的一组静载荷 使梁发生弹性变形。与这些载荷响应的位移为 。在变形过程中，上述载荷所做的功等于梁内储存的变形能，即变形能U为载荷 的函数，可以表示为 (a)12 ，12UU PP （ ，）12 ，12 、1p2pnp12n(a)如果给上述载荷中的某一个 以增量 ，则变形能U也将有一增量 ，这样梁的弹性变形能可以写成 (b)改变加载次序，首先在梁上加 ，然后再作用 首先加 时， 引起其作用点沿着与其同方向的位移 此时梁内的

31、变形能应为 nPndPnnUdPP1nnUUUdPPndP12 ，ndPndPnd12nndP d作用载荷 的变形能仍为（a）式，同时 在 方向上引起了位移 ，因此又继续完成了 的做功。于是在上述改变次序的加载全部完成后，梁内储存的变形能应为 (c)12PP、ndPnnndPnP212nnnnUdP ddPU因为弹性体内的变形能只取决于载荷与变形的最终值，而与加载次序无关，所以忽略二阶微量，即可得 （8-15）这是卡氏定理卡氏定理的表达式。卡氏定理只适用于线弹性结构。卡氏定理只适用于线弹性结构。12UU12nnnnnnUUdPdP ddPUPnnUP二、卡氏定理的特殊形式二、卡氏定理的特殊形式

32、 1、桁架、桁架 若整个桁架由m根杆组成，那么整个结构的变形能可用式（8-2c）计算，即 按照卡氏定理有 （8-16） 212miiiiN lUEA1mi iinininN lNUPEAP2、直梁、直梁 对于发生平面弯曲的直梁，变形能可以用式（8-6b）计算，即应用卡氏定理得 2( )2lMx dxUEI2( )()2nlnnUMx dxPPEI 上式中只有弯矩M（x）与载荷 有关，积分变量x和 无关，因而可以将被积函数先对 求偏导数，然后再积分。 （8-17）( )( )nlnnUM xM xdxPEIPnPnPnP3、平面曲杆、平面曲杆 平面小曲率曲杆，其应力分布与直梁很相似。弯曲变形能可

33、以写成按照卡氏定理得 （8-18）222( )2sMs dsUabEI( )( )nsnnUM sM sdsPEIP4、组合变形杆件、组合变形杆件 对于承受拉伸（压缩）、弯曲和扭转联合作用的杆件，变形能可以由式（8-9）写出，即应用卡氏定理得 （8-19） 222( )( )( )222nlllnMx dxNx dxMx dxUEAEIGInnUP( )( )( )( )( )( )nnlllnnnnN xN xM xM xMxMxdxdxdxEAPEIPGIP解解：AC段 ： 11( )()2eePMM xMxl11()1eM xxMl 11()2M xxP例例1: A截面的转角和梁的中点截

34、面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACeM/2L/2LpBACeM1X/ 2L/ 2LBC段 ：pBACeM1X/ 2L/ 2L例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACeM1X/2L/2L2X22()()2eMPM xxl22()eM xxMl22()2eM xxMA截面的转角:例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACeM1X/ 2L/ 2LpBACeM1X/2L/2L2X( )( )AleeUMxMxdxMEIMq121102222201()(1)21()2316leeleePMxxMdxEIllPMxM lP

35、lxdxEIllEIEIC截面的挠度为:例例1: A截面的转角和梁的中点截面的转角和梁的中点C的挠度。的挠度。pBACeM1X/ 2L/ 2LpBACeM1X/2L/2L2X( )( )clUM xM xfdxPEIP122211220011()()2222lleeeMMxxPPxMdxxdxEIlEIl231648eM lPlEIEI三、卡氏定理的特殊处理三、卡氏定理的特殊处理卡氏定理计算结构某处沿某一方向的广义位移，需要有与所求广义位移的形式及方向相应的广义外力。如果在所求广义位移处并没有与之相应的广义力，则不能直接应用卡氏定理求结构的位移，而需要采用附加力法，即设想在所求的广义位移处附加

36、一个与所求位移相应的广义力，然后再应用卡氏定理进行求解。 例例2 求刚架B带内的水平位移和C点的转角。解解:AB段：BC段： 11( )()fM xPaP x11()fM xxP22()M xPx2()0fM xPlaABCp(a)BACpfp2x(b)B截面的水平位移为 (d) B截面的水平位移为 (e)( )( )BlfM xM xdsEIP22BPalEIlaABCp(a)BACpfp2x(b)111220011()( )0lafPaP xx dxPxdxEIEI321()23fP lPalEI应用卡氏定理，并在积分前令等于0，求得C截面的转角为 和 为正值，说明其方向与附加力、附加力偶矩方向相同。1220011()(1)()(1)()2laCPadxPxdxEIEIPaalEIqCqBlaABCp(a)BACpfp2x(b)例例3 求B点的竖直和水平位移。解解:任意横截面mm上的